复变函数复变函数复变函数 (8).pdf-得力文库

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1、21 3、复数函数复数函数一、一、目的和要求目的和要求 1、掌握复变函数及相关的定义，掌握复变函数极限连续的定义及其等价刻画定理，找出复变函数和数学分析的异同.2、复述出极限连续的性质，掌握复球面及无穷远点的相关概念及相关规定定，掌握拓扑性质.二、二、重难点重难点 1、重点复变函数概念极限连续及等价刻画.2、难点复变极限，无穷远点的某些概念.三三、教教法和教学手段法和教学手段课堂讲授法采用启发式，讨论式；使用网络平台与手机开展信息化教学四四、教学内容教学内容（共 2 课时）（一一）基本概念基本概念（提问处）复习单、多值复变函数的概念，引入定义（从映射角度考虑）取两张复平面 z平

2、面和w平面，此时()wf z可视为z平面到w平面的一个映射（变换），设E、F分别为z平面和w平面上的点集.（1）若,zEwF 与之对应，称()wf z为E到F的内映射（or 入变换），即()f EF（2）若(),()f EFzEf zw 且使，则称()wf z称为E到F的映射（满变换）（3）若()f EF则对F中的任一w，存在一个（几个）点z，使()f zw则，在F上也确定了一个单（多）值函数，它成为()wf z的反函数或变换()wf z的逆变换，记为1()zfw，若()wf z，1()zfw均为单值函数，则称()wf z，是EF的一个双方单值照应或一一变换.注注（1）映射这一概念的引入，对

3、于复变函数论的进一步发展，特别是在解析函数的几何理论方面起着重要作用，因它给出了函数的分析表示和几何表示的综合，此综合是函数论发展的基础和新问题不断出现的源泉之一，生物理学的许多领域中有着重要作用.（4）当f是满射时，对,wF 有1()f fww当()wf z为双方单值射影时，对,zE 有1()f fzz.22 例例 1 1 在变换wiz下，圆周|1|1z 变成何曲线？解解设,iizrewe，因为()2,2iiwizerer 故wiz把z平面上的圆周|1|1z 变成w平面上圆周|1wi 例例1 1 问函数2wz把下列z平面上曲线映成w平面上何曲线？（1）以原点为心；z为半径，在第一象限里的圆

4、弧.（2）倾角为3的直线.（3）双曲线224xy 解解（1）2|,2wzArgwArgz变成以原点为心，4 为半径，在u轴上方的半圆.（2）把 3的直线视为两对线 arg3z及 arg3z经2wz后变成2arg3z的射线.（3）2222()2wzxiyxyixy，因为,xyIR所以在w平面上的像为4u 的直线.（二）复数（二）复数的极限与连续的极限与连续 1、极限极限（1）定义设()f zw为定义在点集E上的函数，0z为E聚点，若0,0,w 对0，00|zz当时()zE恒有 0|()|f zw，则称()f z沿E于0z有极限0w，记为 00lim()zzz Ef zw 注注 E为平面点集，

6、性质（1）若极限存在，则极限必唯一.（2）若(),()f z g z沿E于0z有极限，则其和、差、积、商（分母极限不为 0）沿E在0z的极限为原函数在0z点的极限的和差积商.定理定理 1 1.2 2 设()(,)(,)f zu x yiv x y于点集E上有定义.000zxiy为 E 定位聚点，则 0000lim()zzf zwuiv 的充要条件是 000(,)(,)lim(,)x yxyu x yu 000(,)(,)lim(,)x yxyv x yv 24 证明证明因为 000()(,)(,)f zwu x yui v x yv 由 0000|(,)|()|(,)|()|u x yuf

7、 zwv x yvf zw 可证必要性由 000|()|(,)|(,)|f zwu x yuv x yv 可证充分性.例例 4 设0lim()zzf z，则()f z在0z的某个去心邻域内有界.证证 0lim()zzf z，故对1,0，使得当00|zz时，有|()|1|()|()|1|f zf zf z （三（三）连续性连续性定义定义 1 1.1717 设()wf zE在点集上有定义，0zE为的聚点，且0,zE若 00()lim()()zzz Ef zf z 即对任给的0，有0，只要0zz，zE，就有 0f zf z 则称()f z沿 E于0z连续.若()f z在 E的每一个点都连续，则

8、称()f z在E上连续或()f z为E上连续函数.例例3 3 （1）设 1()()(0),(0)02zzf zzfizz 试证()0f zz 在无极限，从而在0z 不连续.证证设(cossin)zri，则 221()()2zzf ziz z 25 221()()21 2 cos2sin22cos sinsin2zz zzirrriir 当0(0)z时，()0f z 当0()4z时，()1f z 故0()f zz在处无极限，从而在0z 处不连续.（2）问()f z I m/(1|),0zzz，在原点是否连续？0,0z 解解令zxiy，则 22Im1|1zyzxy 故()0f zz 在处连续.

9、（四（四）复变函数的性质复变函数的性质性质性质 1 1 设(),()f z g z沿E于0z连续，若(),()f z g zE在连续，则上述函数在E上连续.性质性质 2 2 设函数0()f zEz沿于连续（或在E上连续），且(),f EG函数()wg在00()f z（或 G）连续则复变函数()wg f z沿E于0z（or 于E）也连续.性质性质 3 3 定理 1、3 设()(,)(,)f zu x yiv x y于点集E上有定义，000zxiyE，则f沿E于0z连续的充要条件为二元实函数(,),(,)u x y v x y沿E于00(,)xy连续.证用定理 1、2 把极限值变为函数值即

10、得.性质性质 4 4 设0()f zz在处连续，且0()0f z，则0()f zz在点的某个邻域内恒为 0；证明证明因为0()f zz在连续，故对0|()|02f z，0，当0|zz时，有 26 000|()|()()|()|()|02f zf zf zf zf z，故0()f zz在的邻域0()Nz内恒不为 0、注注证明不连续（在点0z处）方法.a、在该点无定义 b、在0z无极限（极限值0()f z）分析中的聚点定理，闭集合定理及有限覆盖定理仍然成立.性质性质 5 5 设()f z为有限闭集E上的连续函数，则（1）|()|f zE在上有界，即0M，使|()|,f zMzE；（2）|()|f zE在上取得最大值和最小值；（3）()f zE在上一直连续0,0，对E上满足12|zz的任意两点1212,|()()|zf zf z及z 有；注注性质 5 对区域未必成立，如 1|1,()1Dzzf zz 五五、小结小结复函数的极限，连续及关系.六六、作业作业 P43 12 七七、说明与预习要求说明与预习要求 1、预习思考题（1）如何使用紧致集（有界闭集）来表示复数？（2）扩充复平面上无穷远点的领域、广义连续等如何定义？2、参考文献1，6

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