复变函数复变函数复变函数 (49).pdf

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1、最大模原理的推广及其应用摘要：最大模原理是解析函数特有的性质，具有许多重要的应用.本文给出最大模原理的推广，并进一步说明其应用.关键词：解析函数；最大模原理；最小模原理；特征流形中图分类号：O 1 7 4.5文献标识码：A文章编号：1 6 7 3-2 6 0 X（2 0 1 8）0 3-0 0 0 7-0 2收稿日期：2017-11-26基金项目：福建省中青年教师教育科研项目(JAT160430)；莆田学院教学改革项目(JG201740)最大模原理是解析函数特有的性质.最大模最小模原理是解析函数论中最有用的定理之一,具有许多重要的应用.1单复变函数的最大模、最小模原理及其推论定理1（最大模原理

2、 1）设函数 f(z)在区域 D内解析，则|f(z)|在 D内任何点都不能达到最大值，除非在 D内 f(z)恒等于常数.最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模.则也是解析函数特有的性质.由此原理我们不难得出下面几个推论：推论1 1 设（1）函数 f(z)在有界区域 D内解析，在闭区域 D=D+鄣D上连续；（2）|f(z)|M(z D),则除 f(z)为常数的情形外，|f(z)|0 使|f(z)|M(z D)，则除 f(z)为常数外，|f(z)|m(z D).推论4设（1）函数 f(z)在区域 D内解析，（2）f(z)0(z D)；则除 f(z)为常数外，|f(z)在

3、 D内既不能达到最大值，也不能达到最小值.2多元复变函数的最大模、最小模原理及其推论我们分别用 Cn和 Rn表示 n 个复变数和实变数的空间，Cn=Rn+i Rn，Rn空间中的点用 x=(x1,x2,xn)，y 等表示，Cn空间中相应的点用 z=(z1,z2,zn)=x+i y，表示.定义1 2 函数 f(z)称为在点 z0Cn全纯，如果在这点的某一个邻域存在所有一阶偏导数鄣f鄣z，=1,2,n.即如果满足 C a u c h y-R i e m a n n条件鄣u鄣x=鄣v鄣y，鄣u鄣y=-鄣v鄣x,=1,2,n.其中 f=u+i vn,z=x+i y.因此，函数 f(z)在 R i e m

4、 a n n 意义下在 z0Cn全纯，如果它在这点的某一邻域分别对每一个变量全纯（当固定其余变量时）.定理2 2 若 f(z)在域 D 奂Cn全纯，在 D中一非空开子集上为零，则 f(z)在 D恒等于零.定理3（最大模原理 2）如果 f(z1,z2,zn)在区域 D 奂Cn内全纯，在闭区域 D=D+鄣D上连续，则除了 f(z1,z2,zn)为常数的情形外，那么|f(z1,z2,zn)|只能在 D的边界上取最大值.证明实际上只要证明，如果|f(z)|在 D内的一点 a=(a1,a2,an)达到其极大值，则 f(z)在 D内为常数.根据定理 2，只需证明 f(z)在一包含于 D的多圆柱 Dn(a,

5、r)为常数即可.设 b=(b1,b2,bn)为 Dn(a,r)的任一点，据假设，|f(a1,an-1,an)|f(a1,an-1,an)|，当|zn-an|0,使|f(z)|m(z D),则除 f(z)为常数外，|f(z)|m(z D).定义2 2 设 D为 z(=1,2,n)平面的有界区域，当 z1,z2,zn彼此无关地分别在 D1,D2,Dn上变动时，复数组(z1,z2,zn)的全体所构成的 Cn中的区域，称为广义多圆柱区域，以(D1,D2,Dn)表示之，即(D1,D2,Dn)=D1D2Dn.这时 D=D1D2Dn的整个边界鄣D由以下的点组成z鄣D,(z1,z-1,z+1,zn)D1D-1

6、D+1Dn，=1,2,n.而 n 维可定向的曲面=鄣D1鄣D2鄣Dn称为广义多圆柱域的特征流形，它是 D域的边界上的一部分.特别的，有下面的结论定理5 2 若函数 f(z)在广义多圆柱域 D=D1D2Dn上全纯，且在 D仍然连续，则|f(z)|在 D的特征流形上达到其最大值.类似的，我们可以得到下面结论定理6若（1）在广义多圆柱域 D=D1D2Dn上不恒为常数的全纯函数 f(z)，且在 D仍然连续；（2）f(z)0(z D)；则|f(z)在 D的特征流形上达到其最小值.3应用3.1 证明调和函数的极值原理定理7 3 一个在区域 D内不为常数的调和函数，不可能在这区域的内点达到最大值或最小值.证

7、明假定调和函数 u(z)不为常数，且在区域 D的内点z0处达到最大值.设圆盘|z-z0|(0 +)在区域 D内.做出在|z-z0|内解析的函数 f(z)，使其实部为 u(z).显然，f(z)不为常数.于是在|z-z0|解析的函数 ef(z)（不为常数）的模在 z0达到最大值 eu(z0),与最大模原理相矛盾.因此 u(z)在 z0不可能达到最大值.考虑函数 e-f(z)，可以证明 u(z)在区域 D内一点也不可能达到最小值.注：类似的，我们可得到次调和函数也是满足极大值原理 2.但由于多于一个复变量时调和函数和全纯函数的实部不是等价的，因此我们就不涉及这方面的问题.而关于单复变量的最值原理的应

8、用还有很多方面 4-8，比如利用它证明代数学基本定理、证明函数有零点存在、证明函数为常数、证明函数为分式线性函数等等.已经有很多的文章做了非常详细的证明，在此就不再详述.下面我们看一个多复变量最值的应用.3.2 证明 Cn中全纯域的圆盘性质复数平面 C1上任一开集都是全纯域，但在 Cn中并非如此的.特别的，单位圆盘在复数平面上是很有代表性的区域，它的重要性质就是它是一个全纯域.下面我们来看一下 Cn中的全纯域的圆盘性质.定义3 2 我们称 Cn中的域 D具有圆盘性质，如果对C1中的圆盘，存在一簇映射v：D，v=1,2,v在 上连续，在 全纯，使得当v=1胰v(鄣)奂奂D时，就有v=1胰v()奂

9、奂D.定理8 2 若 D 奂Cn为全纯域，则 D具有圆盘性质.证明设 v为圆盘性质定义中的一簇映射，取 K=v=1胰v()，设 D为全纯域，因而全纯凸.则对任何 f A(D),z v()，由极大值原理可知|f(z)|=|f 莓v()|s u p|f 莓v()|s u pz vv(鄣)|f(z)|=s u pz k|f(z)|.由于 D是全纯凸，K赞=z D：|f(z)|s u p|f|K，坌f A(D坌坌)中的任何点都满足上述不等式，所以v=1胰v()奂K赞奂奂D.参考文献：1钟玉泉.复变函数论M.北京：高等教育出版社，2013.2钟同德，黄沙.多元复分析M.河北：河北教育出版社，1990.3余家荣.复变函数M.北京：高等教育出版社，2014.4朱丽芹.最小模原理的证明J.济南大学学报(自然科学版)，2009,23(3):315-316.5袁邢华，吕效国，李磊.最大模原理及其应用J.高师理科学刊，2011,31(5):5-6.6彭小智，凌能祥.相依样本下回归函数分割估计的渐近正态性J.南通大学学报(自然科学版)，2009,8(4):89-94.7李云霞.最大模原理的推广J.数学的实践与认识,2000,30(2):153-155.8陈继理.复函数在代数基本定理证明中的应用J.杭州师范学院学报,2004,3(3):277-278.8-