复变函数复变函数复变函数 (20).pdf

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1、51 3、初等多值函数初等多值函数 一、目的要求一、目的要求 1、掌握函数多值性产生及支点、分支等概念.2、分析并掌握对数函数、幅角函数、整根式函数的分支、支点及相应概念和性质的异同点，灵活运用指数函数、幂函数的映照性质.3、判别函数具有多个有限支点的情形，掌握反三角、反双曲函数的运算.二、重难点二、重难点 1、重点 多值性的产生，解析（连续）分支的确定及多个有限分支的情形，幅角函数、对数函数、及根式函数.2、难点 对多值函数单值分支性质的讨论.三、三、教法与教学手段教法与教学手段 课堂讲授法、采用启发式、并以例明理；突出核心；电教.四、四、教学内容（教学内容（约约 3 34 4 课时课时）定

2、义定义 2.82.8 单叶函数单叶函数 设函数()fz在区域 D 内有定义，且对于内任意不同的两点12,z z有()()12f zf z，称()fz在 D 内为单叶的，并称 D 为()fz的单叶区域.若 D 为()fz的单叶区域，则()fz在 D 内为单叶函数.（一一）多值函数引导多值函数引导 幅角函数幅角函数 对()0wArgz z=，它不是一般意义下的复变初等函数.已知其为多值函数.1.1.wArgz=多值性的产生多值性的产生.（1）若在0z=的充分小的一个邻域()0N内任取一条简单闭曲线 C，使()0I c，取定1zC，让动点 z 自1z出发，照一定方向沿 C 绕旋转一周，则()arg0

3、z始，有()arg02z终，（逆时针为加，顺时针为减），若绕 k 周，有()arg=02zkk终逆，顺.（2）若在z=的充分小邻域()N（即0zk，k 充分大）内任取一条绕的简单曲线 C(即zR=在()I c中)，取定1zC，让动点自1z出发沿 C 的一个定向（绕）连52 1 1z x y 1 1z 续变动到1z点，则 ()arg0z始，()arg=02z终顺，逆（3）对0,z，在0z的任一个充分小的邻域()0N z内（使 0 与均不含在此邻域内），任取一条简单闭曲线 C，依上述方法取定1zC=，当 z 自1z出发绕0z一周后，则 ()()arg=arg=0zz始终.由上面的讨论易知 wArg

4、z=的多值性是由于动点绕0z=及z=旋转而产生的，所以要使它成为单值函数，就要求定义域 D 内任意的简单闭曲线不饶 0 和.考虑复平面除去负实轴（包含 0）而得的区域 D，显然，在 D 内Argz的主值()argargzz为一单值连续函数，()arg2zkk+也如此，故幅角函数在 D 内能分解成无穷多个单值连续函数，每一个函数称为幅角在 D 内一个单值连续分支.结论结论 （1）取区域 D=z 平面包含 0 的负实轴，在 D 内，()()()arg2,arg,kkwArgzzkzk=+是无穷多个单值函数，其中每个单值函数都称为Argz的一个单值分支.对固定的k，kw称为Argz的第k个分支.特别

5、地，0argwz=称为Argz的主（值）支.满足上述情况时，称wArgz=可以分解成无穷多个单值分支，且任意两分支之间相差2的整数倍.（2）由于wArgz=在 D 内连续().13Exp，故每个分支kw在 D 内亦连续，从而称wArgz=在 D 内可以分解成无穷多个连续单值分支.注注 1.称上述负实轴（包含）为割线.2.当割线k为任一条连接0和的扩充（无界）简单连续曲线时，Argz在1DC k=内可能分解成无穷多个单值连续分支.2.2.单值分支的确定单值分支的确定 x y z 53 命 题命 题 在wArgz=的 一 个 确 定 的 分 支argz上，若111,argzDz=，则 对z,0D

6、z,argz由1arg z所唯一确定，记为()11argargzz=.如 argarg2zi=表Argz的主（值）支；()argarg66z=表3w，即Argz的第 3支.例例 1 1 试求分支()argarg12wz=在zi=处的值.解解 由于0arg22,kwzkwkk=+=+，将1z=代入得 2021kk=+=.所给分支为102ww=+，故()()1052222w iw i=+=+=.简单地说，确定分支即确定k的取值.3.3.多值函数支点的概念多值函数支点的概念 （1）设为 z 平面上的一个点，若当 z 沿着某一条简单闭曲线 C 绕旋转一周后，多值函数()wf z=从它的一个分支变到相邻

7、的另一分支，则称为()f z的一个支点.（2）若按一定方向沿 C 绕有限周后，()f z仍回到出发时的那一支，则称为()f z的代数支点，否则，称为()fz的超越支点.显然显然 0z=与z=为()wf z=的超越支点.注注 对每一个固定的k，()arg2arg10kwzk=+=在 D 内为单值连续分支（函数），但它在边界（即割线负实轴）上不连续，我们可以将它扩充成在割线()0z 上、下沿连续，扩充的值称为其上、下沿的取值.显然，在割线的上、下沿，它的取值不同.eg在Re0zz=上，arg=arg=-zz上下，（主支）()arg,z .（二二）对数函数对数函数 1 1、对数函数的定义对数函数的定

8、义 （1）若0z，由等式wze=所决定的复数w，称为 z 的对数函数，记作 wLnz=.（2）设iArgzzz e=，wuiv=+,由wze=得 54 ,uzeArgzv=lnarg2,arg,uzvArgzzkzk=+()lnln2wLnzziArgzzi argzk=+=+，(arg,kz .注注 任何不为零的复数 z 都有无穷多个对数，其中任意两个相差2 i的整数倍.相应于Argz的主值argz，定义Lnz的主值为 lnargziz+，即 ()lnlnarg argzzizz=+从而 ln2,Lnzzk i k=+相应于k的wLnz=的值，记作 ()()lnarg2kkwLnzzizk=

9、+.2 2、有关有关Lnz与实对数函数的比较与实对数函数的比较 （1）定义域不同 0及+.（2）实对数函数为单值的，负对数函数是多值的，且任二值之间相差2的整数倍.（3）z 取正实数，Lnz的主值lnlnzz=为实对数函数.例例 2 2 求()()1,1,Ln LnLn i及()34Lni+.解解 1ln1arg1 22,Lnik ik i k=+=()()()1ln1arg1221,Lnik iki k=+=+1lnarg22,2Lniiiik iki k=+=+()()()34ln34arg3424ln5234ln521,3Lniiiik ii arctgk ii arctgki k+=+

10、=+=+3.3.对数函数的性质对数函数的性质 性质性质 1 1 设12,z z，12,0z z,则有 55 ()1212Ln zzLnzLnz=+,1122zLnLnzLnzz=.证证 ()()()121212121212lnlnLn zzln zziArg zzzziArgziArgzLnzLnz=+=+=+(*)111222121212lnlnzzzLnlniArgzzzzziArgziArgzLnzLnz=+=+=(*)(*)及(*)理解为 左边的多值函数的任一值一定有右边两个多值函数的各一值与它对应，使有关等式成立，反之亦真.例例 指出下面推理的错误（伯努利(Bemoulli)理论）.

11、注注 1n=时，lnlnzz=；1n时，lnlnzz.命题命题 对(),0,zzLnzLnz=.证证 （1)()22zz=（2)()22LnzLnz=（3)()()LnzLnzLnzLnz+=+（4)()22LnzLnz=（5)()LnzLnz=解解 该命题不真，若argz，则 ()()lnarg2lnarg21,Lnzzizk iLnzzizki k=+=+故()LnzLnz.该命题证明中，1)3)正确，但 3)推 4)错误.此因LnzLnz+可视为两个相同数集各取一元素相加得到的和的数集，而2Lnz只为Lnz中每一数的 2 倍所成数集，显然,2Lnz仅为Lnz的一个真子集，2LnzLnzL

12、nz+.性质性质 2 2 Lnz在区域Re0,Im0Dz zzzz=+=中可以分解成无穷多个56 单值连续分支（连续由复合函数连续性证）()()lnarg2,arg,kkwLnzzizkzkz=+.同样地，对每个k（固定），kw称为Lnz的第k个单值分支.特别地，0k=时，记()lnlnarg2zzizk=+为Lnz的主支（有时也用lnz表Lnz的某确定分支）.*.对数函数分支的确定 同Argz一样，Lnz的一个分支在 D 上一点的值可唯一确定其在 D 内任一点的值，于是常用下面方法描述其分支 ()1lnln12ln2,wzi kzik i k=+*.支点:同Argz的讨论易得 0z=及z=是

13、lnwz=的超越支点.*.割线上下沿的取值:00=ln,lnwzi wzi+=上下,其它分支相应加、减的整数倍.性质性质 3 3 Lnz的每个单值分支在区域 D 内为解析的，且()1ln zz=，从而称lnwz=是D 内（多值）解析函数.证证 因任一分支与主支相差一常数，故只需对主支()0lnln10wz=进行讨论.0zD，则()0N zD，对()0zN z，令00ln,lnwz wz=，则 00,wwzeze=00000000000lnln111limlimlimwwwwwzzwwwwzzwweezzeeezww=连续性.（其中，因ln z在 D 内连续，故0zz时，0ww）从而，ln z在

14、 D 内处处有导数，且()1ln zz=，即 ln z在 D 内解析.推论推论 多值函数Lnz在区域 D 内可以分解成无穷多个单值解析分支 ()ln2lnarg2,argkwzk izizk izk=+=+.57 4.4.对数函数的映照性质及对数函数的映照性质及wze=的单叶性区域的单叶性区域 （1）先考虑wze=的映照性质,因wze=的周期为2k i，即 带形区域 2Im2,kBw kwkk=+，在 z 平面上的像相同，故仅考虑0B在wez=下的映照性质.易见，wze=把直线0vv=变成从原点出发的射线0v=（不含 0），把线段0uu=变成圆周0ure=（去负实轴部分），当w平面上动直线0v

15、=扫动到直线0vv=时，在变换wze=下的像为 z 平面上从射线0=扫动到0v=的角形区域，把w平面上带形v映成 z 平面上的区域 D.显然，()kBk都是wze=的一个单叶性区域，而wze=的单叶性区域为w平面上平行于实轴，宽不超过2的带形区域.思考思考 Im2wz eGww=+的像？0Im2wz eGww=的像？（2）lnwz=的映照性质 由wze=的映照性质，wLnz=的第k个单值分支()kkwLnz=把区域 D 双方单值映照成kB的宽为2的带形区域 2Im2,kBw kwkk=+.例例 3 3 在 z 平面上取负实轴做割线，试求此域中 D 中多值函数Lnz的一个分支0v 0ure=wz

16、e=lnwz=v=0vv=v=0uu=0vv=v z w 58 ()()()12wf zfi=，并求出及()()2f ifi、及()1f 上和()1f 下.解解 02,wLnzwk i k=+,将1z=代入上式得()0122wk ii+=，即 221k iik=故所求分支为 102lnarg2wwizizi=+.从而()3lnarg22f iiiiii=+=,()()52ln2arg22ln22fiiiiii=+=，()1ln12fiii=+=上，()1ln123fiii=下.()931.2:20 xp.（三三）幂函数幂函数 1.1.基本概念基本概念 定义定义 设为一复常数，当0,z 时，定义

17、 z 的次幂函数为 Lnzwze=.在为正实数的情形，补充规定 当0z=时，0z=.()lnarg2zizkLnzzee+=()lnarg2ln2zizkzi keeee+=()ln10,k=从而，z取不同值的个数等于()lnzek取不同值的个数，因，故2k i未必为2 i的整数倍，即 2k i未必为周期.2.2.幂函数幂函数wz=的分支情况的分支情况 （1）当n=时，对k,221k ikiee=，故此时z为单值函数.（2）设mn=，其中,m n，且(),1m n=时,22mk ik inee=有 n 个不同值，所以z为一个多值函数.特别地，当1n=，nwz=为根式函数.59 （3）支点及分支

18、 可以验证 0z=及z=为z的支点，0w 1w；0w 0w；从而，0z=及z=为z的代数支点.在以负实轴及原点为割线的区域 D 内，mnz可以分解成n个单值连续分支kw，arg2,1mzkmimnnnkkwzzekn+=.（3）当为无理数或虚数时，2 k iz 取无穷多个不同值，故此z为一个无穷多值函数，同样可以验证,0z=及z=为z的超越支点，且在区域 D 内可以分解成无穷多个单值连续分支.3.3.幂函数的解析性幂函数的解析性 在区域 D 内，对z的某一分支lnzze=可以看作由e及ln z=的复合，且e为指数函数在解析，ln z=在 D 内解析，故在共同区域 D 内，z解析，且:()()1

19、,lneezz=，()()lnln11zzzeezz=.在区域 D 内，对Lnz的一个解析分支，z也有一个相应的单值分支，它在 D 内亦解析，且()1zz=.故 z在 D 上可以分解成有限或无限个单值解析分支.例例 4 4 求多值函数12zz=在正实轴上取负实值的那一个解析分支.解解 1arg222 0,1zk izzz ek+=，由题意，当1k=时，arg220zkie+，1k=，故所求解析分支为()arg221izzze+=.绕 z=0 逆时针转一周 绕 z=0 逆时针转 n 周 60 4.4.根式函数的映照性质根式函数的映照性质 ()2nwz n=为nzw=的反函数，由上面讨论知 nz在

20、以负实轴及原点为割线的区域 D 内，可以分解成n个单值解析分支 ()()arg2arg10izknnnkkwzz e+=类似于对数函数的讨论知（详见6163.:T Bpp ）.mzw=把w平面上张度为2n的角形kT ()22 0 1kkknnnnn+=都变成 z 平面上除去原点及负实轴的区域 D.nwz=的第k个单值解析分支()()0 1nkkwzkn=把区域 D 双方单值映照成()22 0 1kkkTwknnnn+=张度不超过2n的角形区域.5.5.一般指数函数一般指数函数 定义定义 设为一个非零有限复数，定义lnzzwe=为 z 的一般指数函数.注注 它是无穷多个独立的，在 z 平面上单值

21、解析的函数，当e=时，ze表示无穷多独立的在单值解析函数，只有当Lne取主值时，ze才同通常实单值指数函数一致.例例 5 5 求ii，1i及()12i+.解解 ()()()2lnarg2ln2kiiiik iiiiieeek+=，其主值为()20ek=.()()ln1arg1 2ln121iik iiikeeek+=,其主值为 01e=.61 ()()()()()()()()()11n21ln2 22ln2 2ln2 2ln2 22cosln2sinln2ii Lik ikkikkeeeeeik+=+主值()ln2cosln2sinln2ei+.（四四）具有多个有限支点的多值函数具有多个有限支

22、点的多值函数 1.1.关于多项式的根式函数关于多项式的根式函数 分化多值为单值分值 ，记argcz表示沿 C 从起始到终点时幅角改变量.例例 6 6 讨论函数()()1f zzz=的支点及分支情况.解解 （1）先求函数()fz的支点.由于z的支点为0z=及 故()fz的可能支点为0z=，1z=及z=.（2）验证支点.在0z=的一个小邻域()0N中，任取简单闭曲线0C，使()00C，当 z 自0C上一点出发，沿正向绕行一周后，0arg2Cz=.又 ()()()()argarg 1221,0,1zzkiwf zzz ek+=202=iwwew+=终始始 故0z=为的()fz一个支点 同样可证 1z

23、=为()f z的一个支点.在z=的一个“充分小”的邻域()N 中，使()0,1N，任取一条绕的简单闭曲线 C，则()0,1I C.当 z 自 C 上一点出发，沿 C 绕一周后，限制幅角范围 割破 z 平面 O 1 x y z y z O 1 x 62 arg2Cz=,()arg 12Cz=.222=iwwew+=终始始 z=不是()f z的支点 综上即得，()()1f zzz=只有0z=及1两个支点.(3)分支情况.取线段01,0,xxyk=为割线，在以k为边界的区域 D 内，()()1f zzz=可分解成两个单值解析分支:()()()()argarg221,0,1izzkkf zzz ek+

24、=.例例 7 7 讨论函数()()31f zzz=的多值情况，且适当选取割线区域 D，使()f z能在D 内分解成三个单值解析分支，并求出2z=点取负值的分支在zi=处的值.解解 由于3z的支点为和 0，故()()31f zzz=的可能支点为:0z=,1 和.易验证（仿例 6）它们均为()()31f zzz=的支点()78P，取负实轴及线段01,0 xxy=，作为割线，在所得区域 D 内，()()31f zzz=可以分解成三个单值解析分支 ()()()()argarg 12331,0,1,2zzkikkwf zzz ek+=当2z=时，()()()0233101ikikf zzz ek+=所求

25、分支为 ()()()argarg 1233111zziwf zzz e+=从而()()()72524631231112iiw if iii ee+=注注 ()arg 1z=,()()337arg 1arg 1444czi=+=.结论结论 (1)对具有多个有限支点的多值函数，我们不便采取限制幅角范围的办法去分出其单值分支，而是，首先求除该函数的一切分支（先求可能支点，再验证），然后用适当联结支点以割破 z 平面.于是，在 z 平面上以此割线为边界的区域 G 内就能分出该函数分单值（解析）分支.因 G 内变点不能穿过支割线，就不能单独绕任一支点旋转一周，函数就不可能在 G 内63 同一点取不同的值

26、了.(2)类似于例 6例 7 的讨论有 对()()nwf zk z=，()()()P zR zQ z=为有理函数，其中多项式 ()()()()1212 mnP zA zazaza=，()()()()1212 lnQ zB zbzbzb=，1212,mlNM+=+=.有（a）()f z的可能支点为1212,mla aab bb和.（b）当且仅当 n 不能整除i或者j时，i或者j为()fz支点.（c）为()fz支点()|nNM.（d）若n能 整 除1212,ml 中 若 干 个 之 和，则1212,mla aab bb中对应的那几个就可以联结成割线抱成一团，即变点 z 沿只包含它们在其内部的的简单

27、闭曲线转一周后，函数值不变.这种抱成的团可能不止一个.其余不入团的点则可与和联结成一条割线.注注 若()1Q z=，便得到教材 2.24 的结论.2.2.关于对数函数关于对数函数 例例 8 8 设为 a，b 为两个不同的有限复数，讨论多值函数 ()()()()()()1 2zaf zLn zazbg zLnzb=的支点及分支情况.解解 （1）可以验证,za b=及均是函数支点.于是在以连接 a，b 的一条简单（扩充）曲线为割线的区域 D 内，()fz可以分解成无穷多个单值解析函数分支 ()()()()()lnargarg2,kfzzazbizazbkk=+.（2）可以验证,za b=为函数的支

28、点，但z=不是()g z支点，于是在以连接 a，b的直线段（任意简单曲线均可）为割线的区域内，()g z可以分解成无穷多个单值解析函数分支 64 ()()()lnargarg2,kzagzizazbkkzb=+.结论结论 对于对数函数()()()P zLnf zQ z=，其中()(),P zQ z为多项式，()()(),1P zQ z=，则有 （1）()P z及()Q z的零点均是()fz的支点.（2）当()P z与()Q z次数相同时，不是()fz的支点.3.已知单值解析分支的初值()1f z，计算终值()2f z.方法方法 1 1 利用1z处的值求出具体分支表达式（即确定k），再把2z代入

29、求值.方法方法 2 2 借助于每一单值分支()fz的连续性，先计算当 z 从1z沿曲线 C（不穿过割线）到终点2z时，()fz的幅角改变量()argCf z，再计算终值 ()()()()()()()2112argargargarg222if zf zf zif zf zf zef ze+=()()()()1argarg22Cif zif zf zf zee=其中()argCf z与()1arg f z的取值无关，()1arg f z可以相差2的整数倍.当把zG换成 G 内动点时，即()()()()1argarg1Cif zif zf zf zee=为此单值解析分支的表达式.例例 9 9 试证

30、在将 z 平面适当割开后，函数()()341f zzz=能分出四个单值解析分支，并求出割线上岸取正值的那一支在1z=之值.解及证解及证 4|1、4|3且()4|1 3+,知()f z的支点为 0，1.可以在 z 平面上取线段0 1，为支割线，得一以它为边界的区域 D,在 D 内可以把()fz分成四个单值解析分支.()()1argarg3arg 1413 044CCCf zzz=+=+=y -1 0 1 x 65 ()()()304411 11iifee=()()4418122 1ii=+=+例例 1010 设函数()()1f zzz=的可单值分支分区域为 D.（1）求在支割线0,1上岸取正值的

31、那一支()0fz的表达式；（2）求()()()()0000011,4,3,3,2fffififyi+之值.解解 因为2|1且()2|1 1+，故此函数的支点为0,1，在 z 平面上取线段0,1为支割线，得一以它为边界的区域 D，()f z在 D 内可以分解成两个单值解析分支.（1）设()()11izzr z e=，()()221izzrz e=，则 ()()()()()()()123212,0,1zzzikfzr zrz ezD k+=.当 z 在0,1上岸时，120,0=（见上图）,()221 200kkfzrr ek=.故所求分支表达式为 ()()()()()()()1232012 zzz

32、ifzr zrz ezD+=,或者 ()()()()()1argarg 102012 CCizzifzr zrz eezD+=.（2）因1D，故()()02011 22ifei+=（见上图）因4D，故()()()0043 412ifei+=（见下图 1）因3D，故()2 234412031212iifiee+=（下图 2）因3D，故()4112 234412031212iifiee+=（图 3）66 又 ()()()1argarg 1201argarg 1201112221211=0422110322ccccizzizziifyiiyiy eiy eiy eiyyiy eiyy+=+=+=+=

33、+等腰时（图）时（图）注注 解这类题的要点 即作图、观察，当动点 z 沿 C（C 在 D 内且不穿过割线）从起点1z到终点2z时，各固定幅角的连续改变量()arg,arg 1,CCzz，即观察向量,1,zz的幅角改变量，由此可计算()Cf z.练习练习 求函数()()()()3112zzzf zz+=，当3z=时，()30f的那一支在zi=处的值.解解 （1)支点-1，0，1，2 及，取以 2 为始点的负实轴为割线，()f z在割破 z 平面的区域 D 内能分割成三个单值解析分支.（2)所求分支解析表达式为 ()()()()()()arg03112 ,Cif zizzzf zeezD CDz+

34、=,其中,()()()()()1argarg1arg1arg234CCCCCf zzzzz=+=.（3)()()3,arg1,arg144CCiD CDzz=,y i -1 0 1 2 3 x 67 ()1arg,arg222CCzzarctg=，()()()()311arg3 4422632311220iictgarctgiiif ieiez+=.例例 1111 求函数()()12zz在指定点123,32izz=+的导数，其中w取单值解析分支 arg122wiw e，argw，即当()()12wzz=取正值时，w亦取正值.解解 记w=，()()12wzz=，其中w取所设的单值分支.()()1

35、2zz的支点为 1、2，代换后w=的支点为 0 和，利用复合函数求导法则 ()()()()()12123212zzdddwzdzdw dzzz=，()13163232224z zddz=，()21 163 27432376207617i arctgarctgiz ziidedzi=+=+.练习练习 求()ln 1 sinwz=+在点2iz=的导数.分析分析 应用复数代换sin z=，可使无穷多支点化为单值有限支点情形.解解 ()ln 1 sinwz=+是以()ln 1w=+和sin z=的复合函数，()ln 1w=+的支点为1=和=，割线可以取平面上从1=出发的负实轴，于是()ln 1w=+在

36、以此为界的区域 D 内单值解析.1122221sin1,222iiiiiieeeei=也不取小于负 1 的实数，故sin2iD=，依复合函数求导法则 ()221cos1cos22ln1 sin11 sin1 sin22izizii hzzzizch=+=+68 （五五）反三角与反双曲函数反三角与反双曲函数 1.1.反正切函数反正切函数 记号wArctgz=定义为tgwz=的解的总体，因 21111112121iwiwiwiwiweeizztgwei eeiziziziwLnArctgzLniziiz+=+=.2.2.反正弦函数反正弦函数 由sinwz=所决定的w称为 z 的反正弦函数，记为 s

37、inwArcz=，因 ()222 sin2210 =111iwiwiwiwiweezwieizeeizzwLn izzi=+=+，易得反余弦函数 ()21cos1ArczLn zizi=+（视作的二次方程）.3.3.反双曲函数反双曲函数 ()()221+11121ArchzLn zzArshzLn zzzArthzLnz=+=+=例例 1212 (1)求sin2Arc；（2）求()2Arctgi.解解 由题意可得()()()()()sin223ln 2322ln 232212ln 232ArciLniiiik iikkik=+=+=+69 ()()12231ln223ln3221ln322iA

38、rctgiLniik iikkik=+=+=+五、小结五、小结 双曲函数的周期性；多值函数及分支；解析性.六、作业六、作业 ()()92 13393 20 1 2 23 23,14,PP，、.七、补充及预习要求七、补充及预习要求:补充练习 1.若a，求方程cosza=的解.解解 ()()22cos11zArcaiLn aa iiLn aa=+=+.（1)若1a，则21a 为纯虚数，故 22111aaaa i+=+=,()22cos1ln1212arccos2zArcaaii arctgkaaarctgkaakk=+=+=+（此处arccosa表通常反余弦函数主值，即1a 时，复数意义（视a）下

39、的解与通常意义相同）.2)若1a，则21a .21aa，此时，()()()222cos1ln122ln1zArcaiLn aaiaak ikiaa=+=+.70 当1a 时，21aa皆为负数，此时()()()()222cos121211211zArcai Ln aaikkiln aakilnaa=+=+=+方程的解为 ()()()22arccos212ln112111akazkiaaakilnaaak+=+2.2.预习要求预习要求 预习并回答以下问题预习并回答以下问题 （1）闭曲线 C 为区域边界时，如何确定其正向？（2）比较复积分与,a b上实积分的异同？（3）举例说明 一般不能将()(),a bf z dz改成()baf z dz 3.3.参考文献参考文献 11、3 3、6 6.割口的区域 D 内的点与 z 平面上带割口的区域 G 内的点也是一一对应的；（2）的逆变换为()11iz=+，可见的支点为i，i（下图）.在下图中,当沿平面的负实轴从 0 经过-1 到时()+时，像点 z 又沿 z 平面的虚轴从i经()+到i（与在无穷远点处是一致的）.D ()11iz=+-1 0 0