复变函数复变函数复变函数 (48).pdf

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1、唯一性定理及其应用 摘要：给出唯一性定理及其推论的一些讨论，由此给出一个求解析函数的简便方法 关键词：唯一性定理；调和函数；解析函数 中图分类号：O174.5G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2017.05.015 Uniqueness theorem and its application YUAN Xing-hua（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）AbstractAbstract：Gives some discussion about uniquenes

2、s theorem，and then gives a simple method to get analytic function Key wordsKey words：uniqueness theorem；harmonic function；analytic function 唯一性定理是复变函数中比较重要的内容之一，这在很多教材和文献中都有讨论1-5从解析函数零点的孤立性和唯一性定理出发，可以用定义域内某个点的邻域内的取值情况（一小段弧或一个收敛点列上的取值情况）来决定它在整个定义域中的取值由此，根据唯一性定理的不同表达形式，可以得出解析函数唯一性定理在解析区域上的本质内容 引理 1（解析

3、函数零点的孤立性）625 设()f z在zaR-中解析，不恒为零，且()0f a=，则存在a的一个邻域，使得()f z在这个邻域中没有异于a的零点，即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的 引理 2625 设()f z在区域D内解析，如果()f z在D中的圆内恒为零，则()f z在D内恒等于零 定理 1625 设()f z为区域内D不恒等于0的解析函数，则对于()f z的每一零点0z，均存在一个邻域0N，使得0z为()f z在0N内的唯一零点 定理 2625 设函数()f z及()g z在区域D内解析，nz是D内彼此不同的点列，且 nzaD，如果对一切n，都有()()nnf zg z=，则在D内恒

4、有()f z=()g z 推论 1 设区域D含有实轴上一段c，函数()(),i,u xyv xy+与()(),0+i,0u zv z在区域D内解析，则在D内有()()()(),i,0+i,0u xyv xyu zv z+=，其中：izxy=+推论 2 设区域D含有虚轴上一段c，函数()(),i,u xyv xy+与()()0,i+i0,iuzvz-在区域D内解析，则在D内有()()()(),i,0,i+i0,iu xyv xyuzvz+=-，其中：izxy=+例 1 已知调和函数22(,)u xyxxyy=+-，求解析函数()()(),i,fzu xyv xy=+，且满足()if=1i-+收稿

5、日期：2017-01-02 基金项目：南通大学教学改革课题（2014B7）作者简介：袁邢华（1978-），男，江苏海门人，讲师，硕士，从事复变函数研究E-mail： 66 高 师 理 科 学 刊 第 37 卷 解法 2xuxy=+，2yuxy=-，于是()()i(2)i2xyfzuuxyxy=-=+-根据推论 1，令xz=，0y=，得()2ifzzz=-，所以()22i2f zzzc=-+由()i1if=-+可以求得i2c=，故所求解析函数为()22ii22f zzz=-+解法 2 由于()()i(2)i2xyfzuuxyxy=-=+-，根据推论 2，令0,ixyz=-，得()2ifzzz=-

6、，所以()22i2f zzzc=-+由()i1if=-+可以求得i2c=，从而有()22ii22f zzz=-+例 2 已知解析函数的虚部()22,yv xyxy=+，且()20f=，求(),v xy为虚部的解析函数()f z 解法()2222xxyvxy-=+，()22222yxyvxy-=+，故有()()()222222222iixyxyxyfzvvxyxy-=-=-+根据推论1，令xz=，0y=，得()2ifzz=-，所以()if zcz=+因为()20f=，所以i2c=-，故()ii2f zz=-解法 2 由于()()()222222222iixyxyxyfzvvxyxy-=-=-+，

7、根据推论 2，令0 x=，iyz=-可以得到()if zcz=+因为()20f=，所以i2c=-，故()ii2f zz=-根据例 12 可以对解析函数变形的方法和主要过程简记为()()()()()(),i,0,0i,0u xyv xyyzx u zv zw zf z+=+替变数变结且以 代待形函式形后的果()()()()()(),i,00,ii0,iu xyv xyxzyuzvzw zf z+=+-i变数变结且以代替待形函式形后的果 由例 12 可以看出，解析函数唯一性定理的使用，既简化了该类问题的求解，避免了反复求导的繁琐，又加深了对前后课程内容的联系7-8 参考文献：1 余家荣复变函数论M3 版北京：高等教育出版社，2000 2 吕彦鸣复变函数M北京：化学工业出版社，2010 3 储亚伟，汪代明解析函数唯一性定理的两点应用J阜阳师范学院学报，2005（4）：71-72 4 杨林生解析函数唯一性定理的应用J河北师范大学学报，2007（4）：5-7 5 钟玉泉复变函数论M3 版北京：高等教育出版社，2004 6 吴桂荣解析函数唯一性定理的一个应用J高等数学研究，2004（1）：25 7 袁邢华最大模原理及其应用J高师理科学刊，2011，31（5）：5-6，10 8 袁邢华，蒋巧云关于复积分的计算J高师理科学刊，2016，36（5）：48-50