复变函数复变函数复变函数 (80).pdf

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1、复变函数第六章学习指导 一一、知识结构知识结构 Re,Re,6.16.6s f as f留数的定义留数理论 留数的计算定理留数定理定理复变函数沿围线积分 计算积分留数的应用实变函数的某些积分判定解析函数的零点分布 二二、学习要求学习要求 理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。三三、内容提要内容提要 定义 6.1 设)(a为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：az，若)(zf在az0上解析，则称 czzf)d(i21 为)(zf在点a的或留数，记作),(Resaf或)(Res a，即 czzfaf)d(i21),(Res （6.1）定义 6.2 设z

2、为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：z，若)(zf在 zR内解析)(R，则称 czzf)d(i21 为函数)(zf在点z的留数，记作),(Resf或)(Res，即 czzff)d(i21),(Res （6.6）柯西留数定理 定理 6.1 设区域G是由围线c的内部构成（如图），若函数)(zf在G内除含有限个奇点naaa,21外解析，且在cGG上除点naaa,21外连续，则 njjcafzzf1),(Resi2)d(（6.2）留数在计算某些实积分上的应用 njjzzQzPxxQxP1),)()(Resi2d)()(（6.11）njjzkxkzzQzPxxQxP1ii),e)()(Resi2de)(

3、)(6.14)四四、典型例题典型例题 例 1 设)1(25)(zzzzf，求)0,(Res f 解法 1 由（7.1）式得 41d)1(25i21)0,(Reszzzzzf 41dz125i21zzzz 0)125(zzz 2 a1 c1 a2 c2 a3 c3 an cn G c 注意：这里的积分路径的半径并非只能取41，只须使半径小于 1 即可满足定义 6.1 的条件 解法 2 因点 0z为)(zf的孤立奇点，所以，在310:)31,0(*zN内有 zzzzf1)1(25)(0)52(nnzz 032nnzz 由此得21c，依（6.2）式得2)0,(Resf 解法 3 因点0z为)(zf的

4、一级极点，所以，依（7.3）式得)1(25lim)0,(Res0zzzzfz 2 解法 4 因点0z为)1(25)(zzzzf的一级极点，所以，由（6.4）式得 0)1(25)0,(Reszzzzf 2 例 2 设zzzfe)1()(2，求),(Resf 解 取圆周2:zc，由（6.6）式得 czzzfde1i21),(Res2 czzzde1i212 0 例 3 计算积分1,d12i212azazzz 解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由122 azz求出被积函数的奇点有 121aaz 与 122aaz 因1a，所以，12z，又因121zz，故11z，即在积分路径内部只有被积函数的

5、一个奇点1z 其次，经检验，由（6.2）式得),12i2(Resi2d12i21212zazzzazzz )(i2)(limi22111zzzzzzzz 122a 例 4 计算积分xxxxd1242 解 经验证，此积分可用（6.11）式计算 首先，求出1)()(242zzzzQzP在上半平面的全部奇点令 0124 zz 即 22424)12(1zzzzz 222)1(zz )1)(1(22zzzz 0 于是，)()(zQzP在上半平面的全部奇点只有两个：i2321 与 i2321 且知道，与均为)()(zQzP的一级极点 其次，算留数，有)()()()(lim),)()(Res2zzzzzzz

6、QzPz i34i31)()()()(lim),)()(Res2zzzzzzzQzPz i34i31 最后，将所得留数代入（6.11）式得),)()(Res),)()(Res i2d1242zQzPzQzPxxxx 3 例 5 计算积分0,de22iaxaxx 解 经验证，该积分可用（6.14）式计算 首先，求出辅助函数22ie)(azzfz在上半平面的全部奇点 由022 az解得iaz 与iaz为)(zf的奇点，而0a，所以，)(zf在上半平面只有一个奇点 ia，且ia为)(zf的一级极点 其次，计算留数有)i)(i(e)i(lim)i,e(Resii22iazazazaazzazz i2e

7、aa 最后，由（6.14）式得)i,e(Resi2de22i22iaazxaxzx aae 容易得到 aaxaxxedcos22 与 0dsin22xaxx ttttttxxxd12)12,11(Rad)sin,(cosRa222220 例例 6 6 计算积分|tan dznz z（n为正整数）.解解 s i n t an co s zzz以1 (0,1,2,)2kzkk 为一阶极点，故得 12sin1Restan(cos)kkzzkzzz 于是由留数定理得 k|2tan d2iRestan 2i()4 ikzznznnz zzn 例例 7 7 已知泊松积分公式20d2tet，计算积分20si

8、ndxx，20cosdxx的值.解解 因222icosisinxxxe，故只需求出积分2i0dxex的值并取实部和虚部即得所求积分的值.取被积函数为2ize，积分路径C为一半径为R的4扇形的边界，如图 5.6 所示由于2ize在 C 所围区域内解析，所以 2id0zCez 即 222iiiddd0 xzzOAABBOexezez 在OA上，x从 0 变化至R；在AB上，izRe，从 0 变化至4；在BO上，i4zre，r从R变化到 0.因此上式成为 i0i222 i22iiii4400didd0RxR er eRexeR eeer 或i22222icos2sin2i44000(cosisin)

9、ddidRRrRRxxxeereRe 当R时，上式右端的第一个积分为 ii24401id22222reere 而第二个积分的绝对值 222ic o s 2s i n 2is i n 24400iddRRReReRe 22440d(1)4RRReeR x y A R B O 图 5.6 由此可知，当R时，第二个积分趋于 0，从而有 22011(cosisin)di2222Rxxx 故 22001cosdsind22xxxx 这两个积分称为菲涅耳积分，在现代光学的研究中有着十分重要的应用.例例 8 8 计算积分 105|2d(i)(1)(4)zzzzz.解解 被积函数的有限远奇点是：i,1,4注意其中4z 在积分区域外，根据留数和定理有 R e s(i)R e s(1)R e s(4)R e s()0ffff 由于1,i在积分圆周内部，由留数定理和无穷远点留数的计算方法 105|2d2iRes(i)Res(1)(i)(1)(4)2iRes(4)Res()zzffzzzff 1055104411Res(4)lim(4)()lim(i)(1)3(4i)zzfzf zzz 105211Res()Res,00(1/i)(1/1)(1/4)fzzzz 故得 105510510|2d12i2i0(i)(1)(4)3(4i)3(4i)zzzzz