复变函数复变函数复变函数 (22).pdf

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1、内江师范学院学报J OUR NA LO FN E I J I AN GNO RMA LUN I V E R S I T Y第3 2卷第2期N o.2V o l.3 2“限制辐角法”的注记储亚伟,王 雪,张 杰*(阜阳师范学院 数学与统计学院,安徽 阜阳 2 3 6 0 3 7)摘 要:通过构造反例,首先指出“限制辐角法”在计算单值分支时的使用误区;其次,建立“限制辐角法”的使用条件,从而拓宽“限制辐角法”的使用范围,保证单值分支计算结果的唯一性.此外,给出“限制辐角法”三个新的应用实例.关键词:单值分支;辐角;误区;使用条件;注记D O I:1 0.1 3 6 0 3/j.c n k i.5

2、1-1 6 2 1/z.2 0 1 7.0 2.0 0 9中图分类号:O 1 7 4.5文献标志码:A文章编号:1 6 7 1-1 7 8 5(2 0 1 7)0 2-0 0 5 8-0 60 引言复变函数的研究对象主要是解析函数,其研究层次是函数的可导(或可微).在复变函数最基本的实例 基本初等函数中,除了多项式函数外,其他单值函数(如ez、三角函数、双曲函数等)均可用ez表示.由于ez具有周期性,因此除根式函数外,对数函数、反三角函数、反双曲函数等都是多值函数.为了研究函数的解析性,必须讨论上述多值函数的单值化问题,这是初等多值函数的不变主题.在可单值分支区域确定后,用来计算单值分支的方法

3、主要有两种:辐角改变量法和限制辐角法1-3.前者使用方便、适用范围广,但略显抽象,且存在两个使用误区4;后者直观具体、易于接受,在限定的辐角范围内,能求出具体的分支数,但适用范围较窄.本文在拓宽“限制辐角法”使用范围的同时,重点在于建立“限制辐角法”的使用条件.首先,通过构造反例,指出“限制辐角法”在计算单值分支时的使用误区;其次,按照“是否为支点”的标准,分两种情况建立“限制辐角法”的使用条件,此条件不但能拓宽“限制辐角法”的使用范围、保证计算结果的唯一性,也将有效地克服相关的教学难点.文末给出“限制辐角法”三个新的应用实例.1 预备知识引理13 设D为f(z)=nP(z)(其中P(z)为z

4、的有理分式,n2为整数)的可单值分支区域,f(z)在z0D的初值为f(z0)的单值分支在z1D的终值f(z1)为f(z1)=|f(z1)|ei Ca r gf(z)ei a r gf(z0),(1)其中,C为D内以z0为起点、z1为终点不穿过割线的约当曲线.定义13 设C是复平面内不通过点a的一条简单曲线,z0是C的起点,z1是C的终点.当动点z从z0沿C不穿过割线连续变动到z1时,向量a z所旋转的角称为a r g(z-a)在C上的间接改变量,简称辐角改变量,记为Ca r g(z-a).使用定义1求Ca r g(z-a),相当于把坐标原点平移到了a点,求向量a z所旋转的角,我们称这种平移原

5、点的算法为“间接辐角改变量法”.与此对应,有下面的“直接辐角改变量法”.定义24 设C是复平面内不通过点a的一条85*收稿日期:2 0 1 6-0 8-0 7 基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 3 7 1 3 3 0),安徽省教育厅自然科学基金重点项目(K J 2 0 1 4 A 1 9 6),安徽省质量工程项目(2 0 1 5 j x t d 0 2,2 0 1 4 z y 1 3 8,2 0 1 5 j x t d 1 2 1,2 0 1 5 g x k 1 4 9)作者简介:储亚伟(1 9 7 7-),男,安徽阜阳人,阜阳师范学院副教授,理学博士.研究方向:几何分析万方数据2 0

6、1 7年2月储亚伟,王 雪,张 杰:“限制辐角法”的注记简单曲线,z0是C的起点,z1是C的终点.当动点z从z0沿C不穿过割线连续变动到z1时,相应地,动点z从z0=z0-a不穿过割线连续变动到z1=z1-a,此时向量o z所旋转的角称为a r g(z-a)在C上的直接改变量,简称辐角改变量,记为C da r g(z-a).类似地,可定义a r g(a-z)在C上的直接改变量C da r g(a-z).显然,“直接辐角改变量法”需要先把C的起点与终点代入函数,再以向量o z按动点z不穿过割线方向所旋转的角来计算辐角改变量(若动点z可以按照顺、逆时针两种方向变换且均不穿过割线,则选择与C同向的路

7、径变换).2 一个反例例1 在复平面内,取割线为 2,+00-1,1(如图1),在割开后的复平面D内,求f(z)=(z-2)(z+i)(z-i)在点z0=1的初值f(1)=2 e3 2i的那个分支在z1=-1的值.图1 例1解法一(限制辐角法)由于沿着2从正实轴割开,可限定a r gz(0,2)(允许相差2 的整数倍).于是当z=z0=1时a r g(z-2)=,a r g(z+i)=4,a r g(z-i)=7 4.(2)由fk(1)=2 ei+4+7 4+2k2=2 e3 2i,k=0,1知k=0.当z=z1=-1时,a r g(z-2)=,a r g(z+i)=3 4,a r g(z-i

8、)=5 4.(3)从而f0(-1)=6 ei+3 4+5 42=6 e3 2i=f0(1).(4)解法二(辐角改变量法)由公式(1)知,当动点z从z0=1沿D内一条简单曲线C不穿过割线连续变动到z1=-1时,由图1知Ca r g(z-2)=0,Ca r g(z+i)=2,Ca r g(z-i)=3 2.于是Ca r gf(z)=12Ca r g(z-2)+Ca r g(z+i)+Ca r g(z-i)=12(2+3 2)=.再由题设,可设a r gf(1)=3 2(允许相差2 的整数倍).故f(-1)=|-3|2|ei ei3 2=6 e2i 6 e3 2i=f0(-1).(5)对比(4)与(

9、5)可得,在相同的单值区域D内,同一解析分支在相同点处的取值不同!这当然是不可能的.事实上,在给定单值区域内,由初值确定的单值分支一定是单值函数,它在定点处的值是唯一确定的,因此,上述两个结果中至少有一个不正确.到底两种解法孰是孰非?问题的症结在哪儿?在限定的辐角范围a r gz(0,2)内,通过计算函数在始、终点的“辐角改变量”可以看出,解法一(限制辐角法)的求解过程存在问题:由(2)及(3)知,各个因子函数在使用“限制辐角法”得到的辐角改变量分别为 a r g(z-2)=a r g(-1-2)-a r g(1-2)=-=0=C1a r g(z-2),a r g(z+i)=a r g(-1+

10、i)-a r g(1+i)=3 4-4=2=C1a r g(z+i),a r g(z-i)=a r g(-1-i)-a r g(1-i)=5 4-7 4=-2=C1a r g(z-i),从而“限制辐角法”对应的函数f(z)的辐角改变量为 a r gf(z)=12 a r g(z-2)+a r g(z+i)+a r g(z-i)=12(2-2)=0=95万方数据内江师范学院学报第3 2卷第2期C1a r gf(z)=Ca r gf(z),其中,C1为任一条从z0=1穿过割线 0-1,1连续变动到z1=-1的约当曲线.本例在使用限制辐角法求解时,默认的变化曲线必穿过割线 0-1,1,这与“变化曲线

11、不穿过割线”这一可单值化的前提条件相冲突.因此,这种情况不能使用限制辐角法.像例1这样,使用“限制辐角法”与“辐角改变量法”产生单值分支求值结果不确定的现象往往给初学者带来很大困惑,因此,在单值分支的确定或求值时,明确这两种解法的使用条件是非常必要的.下面将分情况讨论“限制辐角法”的使用条件.“辐角改变量法”的情况,请参考文献4.3“限制辐角法”的使用条件在可单值分支区域D内,设构成多值函数f(z)的割线的有限支点为a1,a2,am(m1为整数).3.1 是f(z)的支点定理1 设f(z)在可单值分支区域D内的割线由有限支点a1,a2,am(m1为整数)及 构成.(i)若a1,a2,am均落在

12、从原点出发的射线l上(设l与正实轴的夹角为(-2,0),则可限制辐角的范围a r gz(,2+)(可相差2 的整数倍),且可以直接使用“限制辐角法”求在z0D的初值为f(z0)的单值分支在z1D的终值f(z1)=|f(z1)|ei a r gf(z1).(i i)若a1,a2,am不全落在任一条从原点出发的射线上,但含有 的割线落在某条从原点出发的射线l上(不妨设l与正实轴的夹角为(-2,0),则可限制辐角的范围a r gz(,2+)(可相差2 的整数倍),当f(z)的终、始点辐角差满足 a r gf(z)=a r gf(z1)-a r gf(z0)=Ca r gf(z)(6)便可 以 使 用

13、“限 制 辐 角 法”计 算 单 值 分 支 的 值f(z1),其中C为从起点z0出发不穿过割线连续变化到终点z1的约当曲线.证明(i)根据假定,f(z)的割线均落在从原点出发的射线l上(设l连于),因此可以限制辐角的范围a r gz(,2+)(可相差2 的整数倍).由于在Dl上f(z)没有其他的割线,从而对任何从起点z0出发不穿过(l上的)割线连续变化到终点z1的 约 当 曲 线C,a r gf(z)沿C的 改 变 量Ca r gf(z)与f(z)的终、始点辐角差 a r gf(z)相等,根据 公 式(1),可 以 直 接 用“限 制 辐 角 法”求f(z1).割线共线于l时的具体讨论与实例

14、也可参考文献5-6.(i i)含有 的割线落在某条从原点出发的射线l上,因此可以限制辐角的范围a r gz(,2+)(可相差2 的整数倍),则单值分支在终点z1的值便可以用指数式表示为f(z1)=|f(z1)|ei a r gf(z1).根据公式(6),函数f(z)的终、始点辐角差Ca r gf(z)与a r gf(z)沿C的直接辐角改变量Ca r gf(z)相等,这就排除了在例1中使用“限制辐角法”时所出现的,默认的变化曲线会穿过Dl之外其他割线而造成 a r gf(z)不同于Ca r gf(z)的可能性.把(6)代入公式(1)得f(z1)=|f(z1)|ei a r gf(z1)=|f(z

15、1)|eia r gf(z1)-a r gf(z0)+a r gf(z0)=|f(z1)|ei Ca r gf(z)ei a r gf(z0),即使用“限制辐角法”与“辐角改变量法”的结果一致,二者所求均为单值分支在点z1的值.证毕.注1 由定理1可见,例1中造成“限制辐角法”出错的原因在于该法对应的变化曲线穿过了割线.读者可以验证,若取i之一与2相连的线段、另一个与 相连的直线为割线,在所得单叶区域内也不能使用“限制辐角法”,这些问题均可归因于Ca r gf(z)=0=a r gf(z)=a r gf(z1)-a r gf(z0),即不满足公式(6).3.2 不是f(z)的支点此时,类似于定

16、理1的讨论可得定理2 设f(z)在可单值分支区域D内的割线由有限支点a1,a2,am(m1为整数)构成.(1)若a1,a2,am均落在从原点出发的射线l上(设l与正实轴的夹角为(-2,0),则可限制辐角的范围a r gz(,2+)(可相差2 的整数倍),直接使用“限制辐角法”求在z0D的初值为f(z0)的单值分支在z1D的终值f(z1)=|f(z1)|ei a r gf(z1).(2)若a1,a2,am不全落在任一条从原点出发的射线上,但割线中有一段落在某条从原点出发的射线l上(设l与正实轴的夹角为(-2,0),则可限制辐角的范围a r gz(,2+)(可相差2 的整数倍),当f(z)的终、始

17、点辐角差 a r gf(z)06万方数据2 0 1 7年2月储亚伟,王 雪,张 杰:“限制辐角法”的注记满足公式(6)时,便可以使用“限制辐角法”计算单值分支的值f(z1).注2 当 不是f(z)的支点时,现行文献主要采用“辐角改变量法”3-5来计算单值分支在定点的值.事实上,只要满足定理2,也可以用“限制辐角法”来计算,且计算过程直观具体、易于接受.注3 为了避免陷入计算“辐角改变量”的误区,公式(6)中Ca r gf(z)应理解为为f(z)沿着变化曲线C的直接辐角改变量C da r gf(z).注4 定理2的情形(2)中,条件“满足公式(6)”不可少,反例如下:例2 在复平面内,取割线为

18、2,300-1,1(如图2),在割开后的复平面D内,求f(z)=4(z-2)(z-3)(z+i)(z-i)在点z0=1的初值f(1)=-44的那个分支在z1=-1的值.解法一(限制辐角法)由于沿着 2,30从正实轴割开,可限定a r gz(0,2)(允许相差2 的整数倍).于是当z=z0=1时.a r g(z-2)=a r g(z-3),a r g(z+i)=4,a r g(z-i)=7 4.(7)由fk(1)=44 ei+4+7 4+2k4=-44,k=0,1,2,3知k=0.当z=z1=-1时a r g(z-2)=a r g(z-3),a r g(z+i)=3 4,a r g(z-i)=5

19、 4.(8)从而f0(-1)=42 4 ei+3 4+5 44=42 4 e i=f0(1).解法二(辐角改变量法)由公式(1)知,当动点z从z0=1沿D内一条简单曲线C不穿过割线连续变动到z1=-1时,由图2知Ca r g(z-2)=0=Ca r g(z-3),Ca r g(z+i)=2,Ca r g(z-i)=3 2,于是Ca r gf(z)=14Ca r g(z-2)+Ca r g(z-3)+Ca r g(z+i)+Ca r g(z-i)=14(2+3 2)=2.(9)再由题设,可设a r gf(1)=(允许相差2 的整数倍).故f(-1)=42 4 ei ei2=42 4 e3 2i4

20、2 4 e i=f0(-1).由于 a r gf(z)=02=Ca r gf(z),根据定理2,本例不能使用“限制辐角法”求解,即解法一是错误的.图2 例24 应用举例使用“限制辐角法”计算单值分支在定点的值时,现行文献往 往要求 是 函数f(z)的 支 点 且f(z)的所有支点均落在从原点出发的同一条射线上,从而所有割线也只能在同一条射线上(即割线共线).使用定理2或条件(6),可以把“限制辐角法”应用到更加一般的情形(如 不是支点或割线不共线等).例3(不是支点、割线共线的情形)在复平面内,取-1,10 为割线(如图3),在割开后的复平面D内,求f(z)=(z+1)(z-1)在点z0=12

21、的上岸取值为32i的那个分支在z1=i的值.图3 例3解 由于割线段-1,10落在正实轴上且16万方数据内江师范学院学报第3 2卷第2期考虑的是点z0=12的上岸,故可限定a r gz(0,2)(允许相差2 的整数倍).于是当沿z=z0=12上岸取值时a r g(z+1)=0,a r g(z-1)=,(1 0)由fk(12)=32ei0+2k2=32i,k=0,1知k=0.当z=z1=i时a r g(z+1)=4,a r g(z-1)=3 4,(1 1)从而f0(i)=2 ei3 4+42=2 i.注5 由(1 0)(1 1)知,当限制a r gz(0,2)(允许相差2 的整数倍)时,限制辐角

22、法对应的函数辐角改变量为a r gf(i)-a r gf(12)=a r g(i+1)+a r g(i-1)-a r g(12+1)-a r g(12-1)2=0.当动点z从z0=12上岸沿D内一条简单曲线C不穿过割线连续变动到z1=i时,由图3知Ca r g(z+1)=4,Ca r g(z-1)=-4,于是Ca r gf(z)=12Ca r g(z+1)+Ca r g(z-1)=12(4-4)=0=a r gf(i)-a r gf(12)满足条件(6),因此本例可以用“限制辐角法”给出直观的计算.例4(不是支点、割线不共线的情形)在复平面内,取连接i,0,1的折线为割线(如图4),在割开后的

23、复平面D内,f(z)=3(z-1)z(z-i)在点z0=-1的初值f(-1)=68 e1 3 1 2i的那个分支 在z1=-i的值.解法一(限制辐角法)由于割线段 0,10落在正实轴上,故可限定a r gz(0,2)(允许相差2 的整数倍).于是当z=z0=-1时,a r g(z-1)=,a r gz=,a r g(z-i)=5 4.由fk(-1)=68 ei+5 4+2 k 3=68 e1 3 1 2i,k=0,1,2图4 例4知k=0.当z=z1=-i时,a r g(z-1)=5 4,a r g(z-1)=5 4,a r g(z-i)=3 2.从而f0(-i)=68 ei3 2+3 2+5

24、 43=68 e1 7 1 2i.解法二(辐角改变量法)由公式(1)知,当动点z从z0=-1沿D内一条简单曲线C不穿过割线连续变动到z1=-i时,由图3知Ca r g(z-1)=4,Ca r gz=2,Ca r g(z-i)=4,于是Ca r gf(z)=13Ca r g(z-1)+Ca r gz+Ca r g(z-i)=13(4+2+4)=3.再由题设,可设a r gf(-1)=1 3 1 2(允许相差2 的整数倍).故f(-i)=68 ei3ei1 3 1 2=68 e1 7 1 2i=f0(-i).注6 由于例4中的割线由两条不共线的线段组成,在限制辐角时,选择了只考虑其中一条水平的割线

25、,即令a r gz(0,2)(允许相差2 的整数倍).读者可以验证,若考虑另一条竖直的割线,即令a r gz(-3 2,2)(允许相差2 的整数倍),所得结果不变.例5(是支点、割线不共线 的 情 形)7设f(z)=3z(1-z)将z平面沿正实轴从支点0到1割开,再沿负虚轴割开(见图5),在割开后的z平面D内,求f(z)在点z=2取负值的那个分支在z=i的值.解 由于沿着0从负虚轴割开,因此可取a r gz(-2,3 2)(允许相差2 的整数倍).于是当z=2时,a r gz=0,a r g(1-z)=,由fk(2)=32 ei(2k+1)30,k=0,1,2知k=1.当z=i时,a r gz

26、=2,a r g(1-z)=-4.再由题设,可设a r gf(2)=(允许相差2 的整26万方数据2 0 1 7年2月储亚伟,王 雪,张 杰:“限制辐角法”的注记图5 例5数倍).从而f1(i)=3|i|1-i|ei2-4+2 3=62 e3 4i.注7 当限制a r gz(-2,3 2)(允许相差2 的整数倍)时,限制辐角法对应的函数辐角改变量为a r gf(i)-a r gf(2)=a r g i+a r g(1-i)-a r g2-a r g(1-2)3=-4=Ca r gf(z)满足定理1的条件(6),其中Ca r gf(z)是当动点z从z0=2沿D内一条简单曲线C不穿过割线连续变动到

27、z1=i时,函数f(z)=3z(1-z)的直接辐角改变量.注8 例5是单值分支计算问题的典型例子,在教学中容易引起学生的困惑,因此许多文献对它均有讨论7-1 4,其使用的方法主要是“辐角改变量法”.本文根据定理1,给出该例的另一种解法.注9 对f(z)=nP(z)(其中P(z)为z的有理分式,n2为整数)类型的单值分支求值问题,文献8 采取统一规定辐角范围的方法.令a r gz(-,a r gP(z)(-,a r gf(z)(-,得到f(i)=62 e3 4i,此处统一规定辐角范围落在(-,的方法消除了单值分支求值的不确定性,但与本文的“限制辐角法”不同.参考文献:1刘士强,林玉波.关于初等多

28、值函数单值分支问题 M.兰州:兰州大学出版社,1 9 9 3:1 8,5 0-5 6.2路见可 钟寿国 刘士强.复变函数 M.2版.武汉:武汉大学出版社,2 0 0 7:3 9-4 3.3钟玉泉.复变函数论 M.4版.北京:高等教育出版社,2 0 1 3:6 5-8 4.4储亚伟,王雪,黄瑞.关于辐角改变量算法的两点注记 J.阜阳师范学院学报(自然科学版),2 0 1 6(3):1 0 2-1 0 6.5张萍萍.根式函数的函数值计算 J.滨州学院学报,2 0 0 9,2 5(6):6 4-6 7.6张忠诚.一种确定多值函数某个单值解析分支的方法 J.高等继续教育学报,2 0 0 3,1 6(6

29、):1 4-1 5.7李志广,石磊.一类多值函数的单值化方法 J.山西大同大学学报(自然科学版),2 0 0 9,2 5(6):1 3-1 6.8王凡彬.一类多值解析函数的计算问题 J.嘉应学院学报(自然科学版),2 0 0 9,2 7(6):5-8.9王凡彬.关于一类复多值函数的计算问题 J.内江学院学报,2 0 0 6,2 1(2):1 0-1 2.1 0朱顺东.关于求根式函数单值解析分支上辐角的一点注记 J.安徽师范大学学报(自然科学版),2 0 0 6,2 9(4):3 2 9-3 3 1.1 1魏立明.对一个教学难点的研究 J.贺州学院学报,2 0 0 8,2 4(3):1 0 6-

30、1 0 8.1 2张忠诚,柳翠华.确定多值函数单值解析分支值的一种简易方法 J.长春师范大学学报,2 0 1 0,2 9(1 0):3-5.1 3黄志刚,孙桂荣.从一道多值解析函数题的解法谈起 J.河西学院学报,2 0 1 1,2 7(2):2 6-2 9.1 4冯志新.复数域中两类函数的单值分支问题 J.衡水学院学报,2 0 1 2,1 4(1):2 9-3 2.N o t e so nt h em e t h o do f“l i m i t i n ga r g u m e n t”C H UY a w e i,WA N GX u e,Z H A N GJ i e(S c h o o l

31、 o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,F u y a n gN o r m a lU n i v e r s i t y,F u y a n g,A n h u i 2 3 6 0 3 7,C h i n a)A b s t r a c t:T h em e t h o do f“l i m i t i n ga r g u m e n t”i so n eo f t h et w om o s tc o mm o n l yu s e dm e t h o d sf o rt h ec a l c u l a t i o no f

32、as i n g l e-v a l u e db r a n c h.T h r o u g hc o n s t r u c t i n gc o u n t e r e x a m p l e s,t h em i s u s e s o f t h em e t h o do f“l i m i t i n ga r g u m e n t a r ep o i n t e do u tf o r t h ec a l c u l a t i o no f a s i n g l e-v a l u e db r a n c h.T h e c o n d i t i o n s f

33、o r t h eu s eo f t h em e t h o da r ed e f i n e dt h u s t oe x p a n dt h e a p p l i c a b l es c o p eo f t h em e t h o do f“l i m i t i n ga r g u m e n t”s ot h a t t h eu n i q u e n e s so f t h ec o m p u t a t i o n a l r e s u l t i sg u a r a n t e e d.M o r e o v e r,t h r e en e we x a m p l e sw h i c hc a nb es o l v e db yt h em e t h o do f“l i m i t i n ga r g u m e n t”a r ep r e s e n t e d.K e y w o r d s:s i n g l e-v a l u e db r a n c h;a r g u m e n t;m i s u s e;a p p l i c a t i o nc o n d i t i o n;n o t e(责任编辑:胡 蓉)36万方数据