复变函数复变函数复变函数 (24).pdf

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1、71 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 复积分是研究解析函数的一个重要工具，Cauchy 积分定理及 Cauchy 积分公式尤其重要，它们是复变函数论的基本定理及公式.1、复积分的概念及简单性质复积分的概念及简单性质（2 课时）一、目的和要求一、目的和要求 1、充分理解复积分的定义，掌握复积分的计算方法.2、记住一些常见结论及复积分的基本性质.二、重难点二、重难点 1、重点 复积分的定义、算法、重要积分及结论.2、难点 对复积分定义本质的理解及算法.三、教学方法三、教学方法 课堂讲授法，采用启发式教学；补充例题以说明物体的本质.四、教学手段四、教学手段 电教、CAI 演示.（约课时）

2、（一一）、复变函数积分的定义、复变函数积分的定义（复习 Riemann 积分定理，提问）1 1、几点的约定几点的约定（复习）（1）今后除特别的声明外，所论及的曲线皆指光滑或逐段光曲线，因而也是可求长的.（2）周线是指逐段光滑的简单闭曲线，自然是可求长的，仍以“反时针”为正，“顺时针”方向为负.（3）有向曲线 C:Z=Z(t),t，表示一条以 a=()为起点，以 Z=()为终点的曲线.定义定义 3.13.1 （分割，求和，取极限）设 C：Z=()t，t，为 Z 平面上一条有向线段，函数()f z在 C 上有定义，顺着 C 从 a 到 b 方向 C 上任取分点：a=011,nnzzzzb=将 C

3、分成 n 段弧kk-1kzz，做和数：()()nnk1k=11=()nkkkkkSfzfzz=当分点无限增多，且10maxkk nZ=时，和数nS的极限存在且为；则称()f z72 在 C 上（沿 C）可积，称为()f Z沿 C（从 a 到 b）的积分；记为：()cf z dz，即 =()cf z dz 并用()cf z dz表示取反向时的积分.注注 1、复积分为一种有向积分；2、若()f Z沿 C 可积，则()f Z在 C 上有界；（二二）、复积分的计算方法、复积分的计算方法 例例 3.3.1 1 设 C 为连接点 a 与 b 的任一曲线，试证：（1）cdzba=（2）221().2czdz

4、ba=（已知()f zZ=在 C 可积）证证 （1）因()()111,nnkkkf zSzzba=故 max0lim,=b-a.kncnSbadz=即 （2）因()1,kkfz=选则得 111k=1=(),nkkkzzz 但我们又可选kkz=，则得 121=(nkkkkzzz=），由定理 3.1 可知积分czdz存在，因而nS的极限存在，且应与12及的极限相等，从而应与121+2（）的极限相等，令()22221121111+(),222nkkkbazz=（）故()221.2czdzba=定理定理 3.3.1 1 ()f z沿曲线 C 连续，()(,)(,)f zu x yiv x y=+，则(

5、)f z沿 C 可积，且()cccf z dzudxvdyivdxudy=+证证 设 73 1,1,kkkkkkkkkzxiyxxx yyy=+=()(),kkkkkkkkkiuu vv =+=我们可以得到：()()11nnkkkkSfzz=1()()nkkkkkuivxi y=+()11()nnkkkkkkkkkkuxvyiuyvx=+上式右端的两个和数是对应的两个曲线的分和数，用()f z沿 C 连续，故 u(x,y)及v(x,y)沿 C 连续，故这两个曲线积分存在，故()cf z dz 存在，且公式成立.2 2、参数方程法参数方程法 设 C 为光滑曲线()()()zz tx tiy t=

6、+()t，则()z t在,上连续且导数()()()z tx tiy t=+不为 0，若()f z沿 C 连续，令()(),()(),()()()fz tu x ty tiv x ty tu tiv t=+=+由公式 3.1 可得：()cccf z dzudxvdyiudyvdx=+()()()()()()()u t x tv t y t dtiu t y tv t xdt=+（t）()()fz tz t dt=或：()()()()Re()Imcf z dzfz tz t dtifz tz t dt=+例例 3.3.2 2（重要积分）设 C 为以 a 为心，为半径的圆周的有向曲线，则：2(1)0

7、(1,()nci ndznza=且为整数）证证 设 C 的参数方程为：z-a=,02ie，故：22002;inicdzi e didizae=74 当 n 为整数且 n1时，()22(1)100ii nnninncdzi e diedeza=22100cos(1)sin(1)nindind =0 补例补例 3.3.3 3 计算积分：（1）1;zdzz=（2）1;zdzz=（3）1;zdzz=（4）1;zdzz=解：单位圆周的参数方程为：(02ize=），则idzie d=故：（1）12(zdziz=重要积分）；（2）210=0;izdzie dz=（3）221000;iiizie ddzdze

8、e=（4）221002;iizdzie ddze=（三三）、复变函数积分的基本性质、复变函数积分的基本性质 设()(),f zg z沿曲线连续，则有、()()(ccf z dzf z dz=为常数）；、()()()()cccf zg zdzf z dzg z dz+=+()()()1k1(Cnkkcknkkckfz dzf z dz fz=沿 连续，为复常数）、设曲线是由曲线12,nC CC连接而成，则：()()1()=ncccf z dzf z dzf z dz+75 4、()()c,cf z dzf z dz=其中-c表示沿 C 负向积分；5、()()()cs;ccf z dzf zdzf

9、 z d=其中()()22dzdxdyds=+=表示弧微分 证明上式只需用下列不等式即可：()()()111nnnkkkkkkkkkfzfzfs=3 3、积分估值、积分估值（定理 3.2）定理定理 3.3.2 2 若()f z沿曲线 C 连续，且有正数 M,使()f zM，L 为 C 之长，则：()cf z dzML 证证 由不等式：()11nnkkkkkfzMzML=，取极限即得证.4 4、数学分析中的积分中值定理不能直接推广到复积分上来、数学分析中的积分中值定理不能直接推广到复积分上来.反例反例 222000cossin0ie ddid=+=而()200ie 例例 3.3.4 4 试证2c

10、2dzz，其中 C 为连接 i 和 2+i 的直线段 证证 C 的参数方程为()()()z=1-20t itit+2(0t1)zti=+沿 C，21z连续，且 222111141ztz=+而 C 之长为 2，由定理 3.2 可得：2cdz2z 例例 3.3.5 5 （1）设为上半单位圆周（逆时针旋转），则zedzez （2）C 为单位圆周，则2csinz2dzez 76 分析分析 这类题目的求解往往先写出路径（C和）的参数方程，再应用积分估值定理（有时还要用到三角不等式）证证 （1）z,0,ititetdzie dt=：在上 cose1tzeez=（cost1）故 zeedzzzdzez（2）

11、C：,02,ititzetdzie dt=，在 C 上 22sinz11222izizizizzizizeeeeeeeeziz=+=又因为Reezzzee=，故 2csinsin2cczdzzdzedzezz=例例 3.3.6 6 试验证：()()2z=r22(0,)dzrrarzazara+证证 若 a=0，由重要积分易得：2z=rdz=0z，不等式成立 若a0，则由复积分的基本性质得：()()2222z=222rzrzrdzdzdzrzazazarara=+五、小结五、小结 1、复积分定义；2、有向积分存在条件；3、复积分的单参数算法；六、作业六、作业 142P 2、3 七、后记七、后记（

12、补充材料）1 1、有关有关 J Jordanordan 不等式不等式 2sin02（）应用 77 例例 1 1 证ce,izdz其中 C 为圆周z=R的上半圆周从+R 到-R；证证 C：zRe(0)i=-2Rsinsin22c00022eRdizizRRce dzedzeRdeRd=()2120RRee=例例 2 2 若Irizrcedzz=其中rC是从 r 到-r 沿z=r的上半圆周，试证明：rr0limI0,limIrri=分析分析 用 Jordan 不等式及积分估值，估计rrI-0I-i及可任意小 证证 C,0izre=：，则 sincos00iireirirrieIre diedre+

13、=（1）()()2sinsin220002210,rrrvrIedededevr=（2）sincos0-1rirrIiied+=（）故 sincos00-1rrirrrrIiede dre+=(11)zzzzC eez e 故 r0lim=rIi 2 2.有关多值函数积分的计算有关多值函数积分的计算 例例 3 3 计算积分c1 I=dzz（）(2)lncIzdz=这里 C 表示单位圆周z=1按反时针方向从 1 到 1 取积分，而被积分数分别取为按下列条件决定的单值解析分支()11=11=-1及；()2 ln1=0及ln1=2 i 78 注注 对多值函数约定，积分号里的多值函数的一个单值解析分支

14、，由它在积分路线上某点的值分出，若积分路线为闭曲线，则给定被积函数的那个点，就当作积分路线的起点（当然积分值可能依赖于这个挑选的起点），这里 z=1 就当作积分的起点.解解 （1）()()()arg22kz=z e0arg2,0,1zkizk+=按条件1=1，取 k=0，即可取分支：()arg2z=ze0arg2ziz 在 C 上，令,02ize=（即 C 的参数方程）于是 2222arg0022240iiizcciizdzdzie dIie dezee=按条件1=-1取 k=1，即取分支()arg220arg2zizz ez+=在 C 上，令,02ize=，于是 2222222arg2000

15、24iiizccidzdzIdie diedie dze+=（2）()()lnlnarg20arg2,kzzizkzkz=+按条件ln10=，取 K=0，即取分支 lnlnarg(0arg2)zzizz=+在 C 上，令,02ize=，于是()()()()22002ln120iiicIzdziie die d ieii=按条件ln12 i=，取 k=1,即取分支()lnlnarg+2(0arg2)zzizz=+在 C 上，令,02ize=，于是：()20ln2icIzdziie d=+()()()22002iiie d iie d i=+79 ()21220iieiiei=+=3 3预习要求预习要求 思考以下问题：（1）若()c0f z dz=，则()f z在 C 内部构成的区域 D 是否解析？（2）若()f z在 D 内解析，0,Z ZD，为什么()0zzfd能确定一个函数？4 4参考文献【参考文献【1 1】、【】、【5 5】、【】、【6 6】