复变函数复变函数复变函数 (21).pdf

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1、收稿日期:2016-09-15基金项目:安徽省高等学校质量工程项目(2013jyxm553，2014zy138);安徽省高等学校省级教学团队项目(2015jxtd121，2015jxtd023)。作者简介:储亚伟(1977-)，男，安徽阜阳人，阜阳师范学院数学与统计学院副教授，理学博士，主要从事几何分析研究。一类单值分支确定问题的教学探讨 摘要 在复变函数的教学中，多值函数的单值分支确定问题一直是教学的难点，也是研究的热点之一。文章从现行教材中一个颇具争议的例题出发，在给定割线的条件下，给出两种确定根式函数单值分支的直接方法，并运用这两种方法从不同角度给出上述例题的正确解法，不但保证了计算结果

2、的唯一性，有效地解克服了教学难点，也解决了相关文献对现行教材的争议问题。关键词 多值函数;单值分支;割线;辐角 中图分类号 O1745 文献标识码 A 文章编号 1009-9042(2016)11-0108-03在分析数学中，无论是讨论函数的连续性、可导性或解析性，还是研究函数的可积性，都需要在单值函数的前提下进行，因此，多值函数的单值化一直是分析数学在介绍其研究对象 函数时必须面对的重要问题。常见处理多值函数的方法主要有两种:一是统一规定范围，如中学数学中规定或复变函数中规定辐角的取值;另一种是割破复平面，获取单值区域，从而得到多值函数的单值解析分支。然而，在使用后一种方法确定单值分支函数值

3、时，得到的结果往往不唯一。1一道颇具争议的例题在教材 2 中有这样一道例题例 1(1)证 f(z)=3z(1z槡)在将 z 平面适当割开后能分出三个单值解析分支。(2)求在点 z=2 取负值的那个分支在 z=i 的值。因 f(z)的支点是 0，1，教材选取的支割线如下:“将 z 平面沿正实轴从支点 0 到 1 割开，再沿负虚轴割开”，在割开后的 z 平面 G 内，f(z)能分出三个单值解析分支。对于问题(2)，教材的解法如下解法一设 z=r1e11，1z=r2ei2，则fk(z)=3r1(z)r2(z槡)ei1(z)+2(z)+2k3，zG，k=0，1，2当 z=2 时，1=0，2=，r1=2

4、，r2=1。由fk(2)=3槡2ei(2k+1)30知 k=1，因此f1(i)=3|i|1i槡|ei2+74+23=(槡2)13ei(512+)=6槡2e512i.解法二由公式f(z2)=|f(z2)|eiCargf(z)eiargf(z1)(11)知，当 z 从 z1=2 沿 G 内一条简单曲线 C 变动到z2=i 时，由图 1，Cargz=2，Carg(1z)=34，于是Cargf(z)=13 Cargz+Carg(1z)=13(2+34)=512.再由题设，可设 argf(2)=(允许相差 2 的整数倍)。故f(i)=3|i|1i槡|eiei512i=6槡2e512i.(12)在教学过程

5、中，当使用解法一时，学生对 z=2时，1=arg2=0，2=arg(1)=以及当 z=i 时，1=argi=2的接受没有任何问题，但对教材给出的 2=arg(1i)=74而非常规思路下 2=4易存质疑。事实上，若取 2=4，则f(i)=3|i|1i槡|ei24+23=6槡2e34i6槡2e512i，即在相同的单值区域内，同一解析分支在相同第 32 卷第 11 期储亚伟等:一类单值分支确定问题的教学探讨点处取值不同!这当然是不可能的。究竟在教材给定的单值区域 G 内，2(i)应取74还是4?由此产生的“如何确定多值函数在单值区域内的确定分支”问题引起许多学者的讨论。针对上述问题，大部分学者均从辐

6、角改变量的角度，按照解法二的思路给出了如下解释:2(2)=，而定点从 2 变到 i 时，Carg(1z)=34，因此2(i)=arg(1i)=+34=74，即教材的两种解法都是正确的。而文献 1使用了规定统一辐角范围的方法，得到 2(i)=4。针对上述问题与争议，本文使用两种直接的方法，得出在教材给定割线的单值区域 G 内，2(i)的正确值应是4，并阐明 2(i)=74的条件，解决了相关文献对现行教材的争议问题。2单支分支求值的两种直接方法一般地，当 0 与 1 均是根式函数 f(z)=nP(z槡)(其中 P(z)为 z 的有理分式)的支点时，在给定支割线的前提下，我们可以使用以下两种直接的方

7、法来确定单支解析分支在指定点处的值:一是直接求辐角改变量的方法。设 p1(z)为函数 P(z)的一个因子函数(如例 1 中的 z 与 1z)，其辐角改变量的直接求法如下:首先，把给定点 z1、z2代入函数 p1(z)的表达式，得 p1(z)对应的始、终点 z1=p1(z1)、z2=p1(z2);其次，求以原点为始点的辐角函数 argz 沿着不穿过割线从始点 z1连续变化到终点 z2时的改变量Cargz，这便是函数 p1(z)对应于 z1连续变化到 z2时的辐角改变量;再次，求 P(z)各因子函数辐角改变量之和，即为 CargP(z)，从而求得 Cargf(z)=1nCP(z);利用初值条件，把

8、 Cargf(z)代入公式(11)，可求得唯一确定的值 f(z2)。第二种解法是确定辐角法(注意，此法不同于传统意义上规定统一辐角范围的方法)。熟知，当 0 与均为多值函数支点时，可以沿 0 从负实轴割开，此时可取 argz(，;也可沿 0 从正实轴割开，此时可取 argz(0，2)。一般地，当实轴正向与过原点割破复平面的射线夹角为(2，0)时，可取argz(，2+(可相差 2 的整数倍)。确定辐角范围后，可具体求出 P(z)的各因子函数在 z1、z2处的落在该范围的辐角;下面只需要将 z1代入 f(z)确定分支数，再把 z2代入第 k 支即可。应用到例 1，我们有解法 1(辐角改变量法)如图

9、 2，当定点从 z1=2 沿 G 内一条不穿过割线的简单曲线 C1变动到 z2=i 时，Cargz=2。对于分量函数 1z，z1=2 与 z2=i分别对应于 z1=1 与 z2=1i，当定点从 z1=2 变动到 z2=i 时，分量函数 1z 的辐角改变量等于定点 z1=1 沿 G 内一条不穿过割线的简单曲线 C2变动到z2=1i 时(见图 2)argz 的改变量，即为 Cargz=54。从而Cargf(z)=13 Cargz+Carg(1z)=13(254)=4.再由题设，可设 argf(2)=(允许相差 2 的整数倍)。由公式(11)知，f(i)=3|i|1i槡|eie4i=62槡e34i(

10、21)解法 2(确定辐角法)在本例中，由于沿着 0从负虚轴割开，因此可取 argz(2，32(允许相差 2 的整数倍)。于是当 z=2 时，argz=0，arg(1z)=，由fk(2)=3槡2ei(2k+1)30知 k=1。当 z=i 时，argz=2，arg(1z)=4。再由题设，可设 argf(2)=(允许相差 2 的整数倍)。从而f1(i)=3|i|1i槡|ei24+23=6槡2e34i注 1从上例可以看出，对于以当 0 与 1 为支点的根式函数，上述两种的方法得到的结果是相同的，从而保证了单值分支求值的唯一性。注 2对 f(z)=nP(z槡)的单值分支求值问题，文献 1 采取统一规定辐

11、角范围的方法:令argz(，argP(z)(，argf(z)(，也得到 f(i)=6槡2e34i，所用的方法与本文不同。注 3使用本文介绍的两种方法均可验证，当选901吉 林 工 程 技 术 师 范 学 院 学 报2016 年 11 月以 0 为始点的射线 L 为割线时，只要 L 落在第一象限或其辐角(4，)时，例 1 中的 f(i)=6槡2e34i;而当 L 落在第二象限或(4，0)时，f(i)=6槡2e512i。参考文献:1 王凡彬 一类多值解析函数的计算问题 J 嘉应学院学报(自然科学版)，2009，27(6):5-8 2 钟玉泉 复变函数论(第 4 版)M 高等教育出版社，2013 3

12、 李志广，石磊 一类多值函数的单值化方法J 山西大同大学学报(自然科学版)，2009，25(6):13-16 4 王凡彬 关于一类复多值函数的计算问题 J 内江学院学报，2006，21(2):10-12 5 朱顺东 关于求根式函数单值解析分支上辐角的一点注记 J 安徽师范大学学报(自然科学版)，2006，29(4):329-331 6魏立明 对一个教学难点的研究J 贺州学院学报，2008，24(3):106-108 7张萍萍 根式函数的函数值计算J 滨州学院学报，2009，25(6):64-67 8 张忠诚，柳翠华 确定多值函数单值解析分支值的一种简易方法 J 长春师范大学学报，2010，29

13、(10):3-5 9 黄志刚，孙桂荣 从一道多值解析函数题的解法谈起 J 河西学院学报，2011，27(2):26-29 10 冯志新 复数域中两类函数的单值分支问题 J 衡水学院学报，2012，14(1):29-32On the Teaching of Determination of a Certain Type of One Valued BranchCHU Ya-wei，WANG Xue，XU Chuan-you(School of Mathematics and Statistics at Fuyang Normal University，Fuyang Anhui 236037，Ch

14、ina)Abstract:The determination of one valued branch of a multiple valued function remains to be difficulty inthe teaching of functions of complex variable，and it is also a hot issue in related researches The paperproposed 2 direct methods to determine one valued branch of radical functions and resolve the example withthe 2 methods respectively This did not only ensure the uniqueness of the results and resolve a difficulty inteaching but also settle a dispute in current textbooks between different scholarsKey words:Multiple Valued Function;A One Valued Branch;Secant;Argument011