复变函数复变函数复变函数 (7).pdf

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1、本栏目责任编辑：梁书计算机工程应用技术平面几何的复方程解释摘要：平面几何代数化得平面解析几何.初等数学以及微积分学中刻画曲线一般依赖于直角坐标方程.复数集C与平面点集形成一一对应，由于复数运算特征简洁性及多样性，平面几何问题归结为复数方程或复参数方程将从形式和内容上都得到极大的简化！该文通过将直线、圆以及椭圆等曲线转化为复数方程并进行对比分析、拓展性分析，展示了复数理论在平面几何上的广泛应用和强大功能。关键词：平面几何；复数方程；复参数方程中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2017)30-0240-02平面解析几何的本质：建立正交坐标系x-O-y，用二元数组(x

2、,y)表示平面上的点.复数z=x+iy与(x,y)明显一一对应，故平面上的问题都可以归结为复数的问题1.复数具有自身特殊的运算规律，运用复数可以从新的角度探索和解释平面上的几何规律2。约定：Z(x,y)，OZ，z=x+iy三者可以不加区分。1 直线和圆的方程1.1 平面直角坐标系下直线的一般方程平面直角坐标系下直线的一般方程为：l:ax+by+c=0(a,b,cR)这里a,b不同时为0，向量s=(-b,a)为l的向矢。利用坐标变换：x=12()z+z，y=12i()z-z(1)直线l方程转化为l:12()a-ib z+12()a+ib z+c=0.令=()a+ib/2，直线方程可写成：l:z+

3、z+c=0(2)称(2)为直线l复数形式一般方程。分析 向矢s 对应着复数-b+ia=i2，所以i表直线l的方向。如果给定直线上两点z1,z2，则直线上任意点z应满足：l:z-z1=t(z2-z1)(3)称(3)为两点确定的直线复参数方程。若给定关于直线堆成的两点p,q(p,q为复常数)则应有：|z-p|z-q=1(4)(4)也是直线的一般方程。1.2 平面直角坐标系下圆周以(x0,y0)为心，r为半径的标准方程平面直角坐标系下圆周以(x0,y0)为心，r为半径的标准方程为：(x-x0)2+(y-y0)2=r2(5)令z=x+iy，z0=x0+iy0，则圆方程变成|z-z02=r2或者|z-z

4、0=r(6)如图1，设两点p,q分别位于圆周Cz0,r内外，满足：(p-z0)-(q-z0)=r2这个等式表明p,q位于从圆心出发的同一条射线上，且到圆心的距离之积等于半径的平方。这样的两点p,q称为关于圆周Cz0,r对称(图1)。图1由于p-z0q-z0=()p-z0-(q-z0)|q-z02=r2|q-z020所以有正实数00)表示z对应向量伸展倍(若0)表示z对应向量逆时针旋转，称ei为旋转因子。注：当m,n,均为负数时，对应变化分别为左移、下移以及顺时针旋转。初等数学中的圆锥曲线标准方程都是在轴线与坐标轴平行时给出，当曲线发生旋转后，方程形式将变得复杂，虽然可以运用正交变换进行坐标旋转

5、，但过程还是太过复杂。例如，旋转正交变换需要求特征值、特征向量，特征向量组还要经过正交化、规范化才能得到正交合同矩阵实现旋转变换：xy=cos-sinsincosxy复数因其运算模式的多样化，表达旋转非常简单。用复方程表达曲线的精髓在于复数的加法和减法本质为二维向量运算，从点z1指向点z2的向量可以简单的表示为z2-z1。参考文献：1 Ahlfors L.Complex Analysis.McGraw-Hill,1979.2 Jones G.A.Complex Functions-An Algebraic and GeometricViewpoint.Singerman D.Cambridge Univerity Press,1987.3 龚晟.简明复分析M北京：北京大学出版社,1996.4 杨泽恒,付卓如.大学复变函数课程与高中数学的衔接J.大学数学,2013(1).5 钟玉泉.复变函数论M.4版.北京：高等教育出版社,2013.图3