复变函数复变函数复变函数 (6).pdf

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1、复平面闭曲线的绕数及其应用摘要：给出实参数闭区间上的复平面连续闭曲线的绕数的一种定义并证明它的一些重要的性质，由此得到关于复数多项式的代数基本定理的一种推广形式。利用复平面上连续闭曲线的绕数性质给出 Brouwer 不动点定理的 2 维形式的一个证明。关键词：闭曲线；绕数；代数基本定理；不动点定理中图分类号：O174.5文献标志码：A文章编号：1009-8666（2017）04-0001-050引言在复变函数论中，Cauchy 积分定理的推导需要利用闭曲线的绕数性质，而且 Cauchy 积分定理的表达公式中也包含着闭曲线的绕数：定理 1(Cauchy 积分定理)1-2如果函数 f(z)是开盘上

2、的解析函数且 是 上的连续可微的闭曲线，那么对于不在 上的任一点z0，都有，其中即为曲线 关于点z0的绕数。绕数表示闭曲线 沿着逆时针方向绕着z0点转了多少次。它有多种表达式，可参考文献3。定理 1 中的绕数由下式定义1：。（1）这里我们给出(1)式所定义的等式的合理性的解释：若将闭曲线 用复数指数形式来表示（其中），则。因此。（2）收稿日期：2016-11-06作者简介：林庆泽（1994），男，广东揭阳人。广东工业大学硕士研究生，研究方向：数学与数据统计分析；尚亚东（1963），男，陕西周至人。广州大学教授，博士生导师，研究方向：非线性偏微分方程理论与应用。1由于其中 lnr 的总变化量对闭

3、曲线 来说为零，故等于 i 乘以 的总变化量。本文从研究点z0=(0,0)时的情形出发，证明了连续闭曲线绕数的一些重要的性质，并由此得到代数基本定理的一种以极限的形式来表示的推广形式，最后利用连续闭曲线的绕数性质给出 Brouwer 不动点定理的 2 维情形的一个简短的证明，由此显示出闭曲线的绕数性质在处理分析问题中的重要性。1绕数的若干性质我们先假设复平面上的闭曲线 在实参数闭区间a,b上是连续可微的，且不经过原点(0,0)，由(1)式，此时的闭曲线 关于原点的绕数为：。（3）命题 1假设复平面上的闭曲线 在实参数区间a,b上是连续可微的，且不经过原点(0,0)，则有。证明 定义a,b上的函

4、数，则有，。由于，因此是一个常数，又由于曲线 是闭的，因此，即，所以。证毕。命题 2假设复平面上的闭曲线 在实参数区间a,b上是连续可微的，且不经过原点（0,0）和负实轴，则闭曲线 的绕数为零，亦即 n（）=0。证明因为闭曲线 在实参数区间a,b上是连续可微的，因此函数对于变量0,+）是连续的，又因为闭曲线 不经过原点（0,0），因此 f（t,）是关于变量 t,的连续函数，故是关于变量0,+）的连续函数。因为当+时，在a,b上一致趋于 0，故4-5。由于，因此。由命题 1，有n（+）0，故，从而有n（）=0 证毕。命题 3 假设复平面上的闭曲线1，2，n在实参数区间a，b上是连续可微的，且都不

5、经过原点(0,0)，则：1）；2）如果，那么 n(1)=n(2)。证明1）=2=。2）命=2/1，由 1）知.故只需证明 n()=0 即可。由于，即不经过原点和负实轴，故由命题 2 知，n()=0。证毕。前面定义绕数时都假定闭曲线 是连续可微的，下面定义一般的连续闭曲线的绕数。定义 1 现假定(t)是复平面上不经过原点（0,0）的连续闭曲线，参数 ta，b，故存在 0，使得坌ta，b，都有 (t)。由 Fourier 级数理论6-7，也存在三角多项式，其中，使得坌ta，b，都有。现定义(t)的绕数为 n()=n(P)。我们证明这样定义的绕数是合理的。命题 4定义 1 所定义的 n()是唯一的。

6、证明假设三角多项式 P1(t)和 P2(t)都满足定义 1 的条件，因为，则有，从而由命题 3 知，。证毕。前面的命题 1、命题 2 和命题 3 都是假定闭曲线(t)是连续可微的，下面证明它们对于闭曲线(t)是连续的情形也是成立的。命题 5假设复平面上的闭曲线 在实参数闭区间a，b上是连续的，且不会经过原点（0,0），则有。证明这是显然的。证毕。命题 6假设复平面上的闭曲线 在实参数区间a，b上是连续的，且不经过原点（0,0）和负实轴，则闭曲线 的绕数为零，亦即 n()=0。证明存在着 0，使得坌q（-，0，坌ta，b，有(t)-q叟。取三角多项式 P(t)使得坌ta，b，(t)-P(t)3，

7、故。从命题 2 知，n(P)=0，亦即 n()=0。证毕。命题 7假设复平面上的闭曲线1，2，n在实参数区间a，b上是连续的，且不经过原点（0,0），则：1）；2）如果，那么 n(1)=n(2)。证明1）由命题 4，这是显然的。2）记，则 0。取三角多项式 P1(t)和 P2(t)满足坌ta，b，且。则。由命题 3 可知 n(P1)=n(P2)，亦即 n(1)=n(2)。证毕。2绕数的若干应用2.1代数基本定理的推广命题 8令 f(z)是定义在复平面上的连续复值函数，如果存在一个正整数 n 和一个非零复数 z0，使得，那么方程 f(z)=0 在复数域上至少有一个根。3证明用反证法。假设，f(z

8、)0。定义闭曲线，其中。分两步证明：1）证明。由于是一个常函数，故由绕数的定义知成立。因为，因此存在R0，使得当zR 时，。则由命题 7 知，令，则当 rR 时，。故当 rR 时，因此。证毕。2）证明是关于的连续函数。取定任一，记，由 f(z)的连续性，存在着 0，使得当时，。因此由命题 7 知，时，从而是关于的连续函数。因为绕数是整值函数，故 1)和 2)相互矛盾。证毕。由命题 8，我们直接得到下面的代数基本定理：定理 2（代数基本定理）2，7如果i0，1，2，n，且，则多项式方程在复数域上至少有一个根。证明因为，所以由命题 8，定理得证。2.2Brouwer 不动点定理的证明引理 1记，是

9、 D 到 C 的连续函数，则存在一点，使得。证明用反证法。1）假设，。定义闭曲线，其中 r0，1，t0，2。由假定，得且，故 n(0)=0 且闭曲线不经过原点及负实轴，故由命题 6知，从而。2）取定任一 r00，1，因为，由的连续性，存在着 0，使得当时，。因此由命题 7 知，时，从而是关于 r0，1的连续函数。因为绕数是整值函数，故 1)和 2)相互矛盾。证毕。定理 3（Brouwer 不动点定理）8记，是 D 到 D 的连续函数，则存在一点，使得。证明 用反证法。假设，.对于，定义 I（z）为以为始点、经过点z的射线与的交点。则 I（z）是 D 到 C 的函数，且存在着非负实函数 h（z）

10、使得。因为 I（z）C，因此，也就是：。（4）由于，式（4）有且只有一个非负的函数型解，即：4参考文献：1AHLFORS L V.Complex analysisM.3th ed.Beijing：China Machine Press，2004：114-120.2华罗庚.高等数学引论：第三分册M.北京：高等教育出版社，2009：95-97.3MCINTYRE M，CAIRNS G.A new formula for winding numberJ.Geometriae Dedicata，1993，46（2）：149-159.4华罗庚.高等数学引论：第二分册M.北京：高等教育出版社，2009：9

11、6-99.5华东师范大学数学系.数学分析：下册M.第 4 版.北京：高等教育出版社，2010：185-201.6ZORICH V A.Mathematical analysis（I）M.Berlin：Springer-Verlag，2004：526-551.7RUDIN W.Principles of mathematical analysisM.New York：McGraw-Hill，2004：184-190.8BORDER K C.Fixed point theorems with applications to eeconomics and game theoryM.Cambridge

12、：Cambridge University Press，2009:28-30.The Winding Number of Closed Curvein the Complex Plane and its ApplicationsLIN Qinze1，2，SHANG Ydon2（1.School of Applied Mathematics，Guangdong University of Technology，Guangzhou Guangdong 510520，China；2.School of Mathematics and Information Science，Guangzhou Uni

13、versity，Guangzhou Guangdong 510006，China）Abstract：A definition of winding number of the continuous closed curve in the complex plane，with realparameter interval，is defined，and its several important properties are proven.Base on these，a generalizationof the fundamental theorem of algebra concerned wi

14、th the complex polynomials is deduced.Finally，by virtueof the properties of the winding number of the continuous closed curve in the complex plane，the two-dimensional form of the Browers fixed point theorem is proven.Keywords：Closed Curve；Winding Number；Fundamental Theorem of Algebra；Fixed Point Theorem。（5）由式（5）可知，h（z）是连续的，故 I（z）是 D 到 C 的连续函数。由引理 1，存在一点，使得，而由 I（z）定义知，对于，I（z）=z，得出矛盾。证毕。