复变函数复变函数复变函数 (33).pdf

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1、一种复级数收敛半径判定的新方法及其应用收稿日期:2011 03 03;修回日期:2011 04 01作者简介:罗光耀(1956 年 )，男，重庆市人，讲师，从事数学研究摘要:对形如n=0cnz(n)的级数的收敛域(约定收敛域为开域)，作了较深入的探讨，把级数的数域扩张到复数域，对指数也作了较大的扩展，并且得出了两个定理，给出了这种复级数的比较简单的判定方法，并作了较严格的理论证明。关键词:函数项级数;幂级数;阿贝尔定理，收敛半径;收敛区间中图分类号:O15文献标志码:A定理 1复级数n=0cnzkn+b(k R+，b 0)与复级数n=0dnzn(其中 dn=cnk)有相同的收敛半径。注 dm=

2、cmk的举例说明:设cn=1n(n+1)，k=23n=0cnzkn=n=01n(n+1)z23nm=0dmzm=n=012n32n3+()1zm=n=092n(2n+3)zm证明先考虑 k Q+，设 k=ts(最简分数)，则n=0cnzkn+b=zbn=0cnztns，又 设n=0cnzkn+b与n=0dnzndn=asn()t的收敛半径分别为 R，R1，将参考文献中的数域扩张到复数域，由参考文献中定理 2有:R=R1若 k R+，则 k*Q+，Q+，k*k k*+，z0:|z0|R1，n=0dnzn0绝对收敛，令 dn=cnk*则n=0cnzk*n+b绝对收敛，取 足够小，使得|z0|k*R

3、k*1，即n=0cnz(k*)n+b均绝对收敛，若|z0|k|z0|k*+，则|cnzkn+b0|cnz(k*+)n+b0|，n=0|cnzkn+b0|n=0|cnz(k*+)n+b0|，即n=0cnzkn+b绝对收敛，即 R R1;若|z0|k|z0|k*，同理可证 R R1，总有:R R1同理可证 R R1 定理 1 证毕。推论 1n=0cnkzn(k R+)与n=0cnzn的收敛半径分别为则 R=R1k1。证明由定理 1，n=0cnkzn与n=n0cnzkn+b=zkn0+bm=0cmzkm(kn0+b 0)有相同的收敛半径 R，而n=0cnzknzk=tn=0cntn，|t|R1|z|

4、R1k1，由此知 R=R1k1，证毕。例 1求级数n=02n+12nz槡22n+1的收敛半径。方法一(用定理1)k=槡22，1k=槡2，cnk=c槡2n=槡2 2n+12槡2n，c槡2nc槡2(n+1)=槡2 2n+12槡2n2槡2(n+1)槡2 2(n+1)+1=槡2 2n+1槡2 2(n+1)+12槡2(n+1)2槡2nn 2槡2，即 R=2槡2方法二(用推论 1)用推论 1 中的公式求:R1=limn|cncn+1|=limn|2n+12n2n+12(n+1)+1|=2，n=12n+12nz槡22n+1的收敛半径 R=R2槡21=2槡2。例 2求级数n=22n+12nz12n1的收敛域。

5、解由例 1，R=R21=22=4，验证知 z=4 时级数发散。所以，n=22n+12nx12n1的收敛域为 D:|z|4推论 2级数n=0cnzkn+b(k R)，在 z:|z|R1k1收敛，在U0(0，R1k1)发散，其中 R1为n=n0cnzn的收敛半径。例 3求级数n=02n+12nz2n+1的收敛域。解由上知，R1=2，R1k1=212=1槡2，由推论 3，级数的收敛域为 D:|z|1槡2。定理 2设复级数n=n0cnz(n)中，令1(m)=n|，(n)=m，m，n N，m0=min m|m=(n)N，dm=c1(m)，则n=n0cnz(n)与m=m0dmzm有相同的收敛半径。证明设n

6、=n0cnz(n)与m=m0dmzm的收敛半径分别为R1，R2 z0:|z0|R2，m=m0dmzm0收敛，即m=m0c1(m)zm0绝对收敛，由此知n=n0cnz(n)0绝对收敛 R1 R2，同理可证，R1 R2。故 R1=R2，证毕。推论 3设n=n0cnzn与n=n0cnz(n)的收敛半径分别为 R1，R，令 m=(n)，limnmn=limn(n)n=k 0，则R=R1k1证明z0:|z0|R1，n=n0Cnz0收敛，limnmn=limn(n)n=k 0，mn有界，0，当 n 充分大时，有nm 1knm+，取|z0|1m()n=|z1|R1，则当n充分大时有|z1k0|m=|z0|m

7、k|z0|mnm+()=|z1+m()n0|n=|z1|n，或者|z1k0|m=|z0|mk|z0|mnm()=|z1m()n0|n=|z1|n，|cn(z1k0)m|=|cn|(z1k0)m|cn|z1+m()n0|n|cn|z1|n，由n=n0cnzn1绝对收敛知n=n0cn(z1k0)(n)m=(n )n=n0cn(z1k0)m收敛，即R R1k1，同理可证:R R1k1，故有:R=R1k1。证毕。773第 4 期罗光耀:一种复级数收敛半径判定的新方法及其应用例 4求级数n=02n+12nz2n2+n+1n的收敛域。解由例 1，n=02n+12nzn的收敛半径 R1=2，由定理2，(n)

8、=2n2+n+1n，limn(n)n=2R=212=槡2，又|z|=槡2=212时，2n+12nz2n2+n+1n=2n+12n22n2+n+12n=(2n+1)2n+12n(2n+1)212 1，|z|=槡2=212时，n=02n+12nz2n2+n+1n发散，故所求收敛域为 D:|z|槡2参考文献:1罗光耀，郭华 求函数项级数收敛区间的一种新方法 J 大学数学，2008(6):169-172 2袁德美 传送系统效率的比较 J 重庆工商大学学报:自然科学版，2004(1):68-72 3袁华春 导数的哲学思考和教学省思 J 重庆工商大学学报:自然科学版，2009(4):72-73 4张俊祖，

9、葛键 关于正项级数收敛性的一个判别准则 J 陕西教育学院学报，2001(2):29-31 5张一方 正项级数敛散性的微分判别法 J 云南师范大学学报:自然科学版，1999(3):56-58 6贾达明，范新华 正项级数敛散性的一种简易判别法 J 昌吉学院学报，2002(3):101-103 7王良成，张强 与 Hermite-Hadamrd 不等式相关的 2 个映射 J 重庆理工大学学报，2011(4):102-105 8田艳芳，程新跃 一类具有指数形式的 Einstein(，)一度量 J 重庆理工大学学报，2011(4):112-116A New Method for Determining

10、Convergence Radiusof Complex Series and Its ApplicationLUO Guang-yao1，ZHANG Li-sha2(1 School of Mathematics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China;2 School of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqi

11、ng 400067，China)Abstract:The convergence field，which is defined as open field in this paper，of the series liken=0CnZ(n)isdeeply discussed，the field of series is expanded into complex field，the exponent is also largely expanded，and twotheorems are obtained A relatively simple method for determining this kind of complex series is given and has beenstrictly verifiedKey words:series of function term;power series;Abel Theorem;convergence radius;convergence interval873重庆工商大学学报(自然科学版)第 28 卷