复变函数复变函数复变函数 (9).pdf

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1、收稿日期:2014 10 08*基金项目:河南省自然科学基金项目“多乘积规划的全局最优化算法研究”(编号:142300410352);河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目“一类整环上一亢多项式环的理想的构造及其应用”(编号:2014GGJS 193)作者简介:王磊(1983)男，河南沁阳人，焦作师范高等专科学校应用数学研究所讲师，硕士，主要从事于基础数学复分析研究.复变函数中未定式极限的求解*摘要:在复变函数中，由于自变量 z 属于复平面，因此未定式的极限求解问题是比较麻烦的，并且教材中没有求解未定式极限的相关法则和定理 通过利用洛朗展式和阶的性质法，在此给出并论证了两种求解未定式极限的方法

2、，一个是改进后的洛必达法则，一个是零点或极点的阶的比较法关键词:复变函数;未定式极限;洛必达法则;零点的阶;极点的阶;洛朗展式中图分类号:O174 51文献标识码:A文章编号:1672 3465(2014)04 0070 030 引言在实分析中，如数学分析，高等数学等相关课程中，未定式的极限是可以利用洛必达法则求解的，洛必达法则是利用拉格朗日中值定理证明得出的 但在复分析的复变函数课程里，微分中值定理是不成立的，例如复指数函数 ez就是一个周期函数，但是其导数恒不为 0，明显罗尔中值定理不成立，罗尔的后续定理如拉格朗日中值定理，柯西中值定理随之亦不成立，本文进行了详细的阐述另外，在 zz0时，

3、分式未定式极限的求解中，我们会注意到 z0点往往就是分子，分母的零点或者极点，而复变函数课程中对零点的阶，极点的阶是有详细研究的，本文顺势给出了阶的比较法求解未定式极限1 未定式00型的极限复变函数教材中是没有洛必达法则的，只在第二章习题中给出了一个残缺版的洛必达法则，形式如下1:若 f(z)和 g(z)在点 z0解析，且 f(z0)=g(z0)=0，g(z0)0，则有limzz0f(z)g(z)=f(z0)g(z0)这个结论可以通过导数的定义法来证明，在此省略 我们需要注意到的是，结论式右侧是没有极限号的，直接是 f(z)和g(z)在点 z0处的导数之比，这个结论应用时只有一次求导机会，如果

4、求导后还是未定式，就没办法了，所以我们称之为残缺版洛必达法则那么复变函数中有没有和实分析里形式相仿的洛必达法则呢?这个还是有的，我们摘抄了一个如下，洛必达法则2:设复变函数f(z)和g(z)满足(1)在点z0的某去心邻域0|z z0|r内定义可导(即解析);(2)limzz0f(z)=limzz0g(z)=0(3)极限limzz0f(z)g(z)存在，则有limzz0f(z)g(z)=limzz0f(z)g(z)我们可以看到和实分析中的洛必达法则的形式是非常一致的，应用起来也是非常方便的，在参考文献 2中有很多例题去应用其实，上述形式的洛必达法则还是可以改进的，因为复变函数中解析性是非常好的，

5、如无穷可微，级数展开等等，本文给出如下形式的洛必达法则:定理 1 1设复变函数f(z)和g(z)满足(1)在点z0的某去心邻域0|z z0|r内解析;(2)limzz0f(z)=limzz0g(z)=0，则有limzz0f(z)g(z)=limzz0f(z)g(z)证明:由条件 1 去心邻域内解析，故由洛朗定理知，函数 f(z)和 g(z)均可展开为洛朗级数即双边幂级07王磊，等:复变函数中未定式极限的求解数，形式如:f(z)=+n=cn(z z0)n，g(z)=+n=bn(z z0)n下证没有负幂部分即主要部分，若在点 z0解析，则为泰勒级数，无负幂;若在点 z0不解析，则点 z0是孤立奇点

6、，由条件2 limzz0f(z)=limzz0g(z)=0 知，点 z0为可去奇点，无负幂 并且展开式中常数项为零(因展式两侧同取极限为 0)，我们用自然数 p，q 表示正则部分中首个不为零的项综上，可知级数展式为:f(z)=cp(z z0)p+cp+1(z z0)p+1+cp+2(z z0)p+2+g(z)=bq(z z0)q+bq+1(z z0)q+1+bq+2(z z0)q+2+其中 cp，bq 0则有limzz0f(z)g(z)=limzz0cp(z z0)p+cp+1(z z0)p+1+cp+2(z z0)p+2+bq(z z0)q+bq+1(z z0)q+1+bq+2(z z0)q

7、+2+=0，p qcpbq，p=q，p q在上述极限求解中，只需要分子，分母同除以 min p，q次即可得出结论又由幂级数和的解析性，展式两侧可逐项求导，即有:f(z)=pcp(z z0)p1+(p+1)cp+1(z z0)p+(p+2)cp+2(z z0)p+1+g(z)=qbq(z z0)q1+(q+1)bq+1(z z0)q+(q+2)bq+2(z z0)q+1+亦有limzz0f(z)g(z)=pcp(z z0)p1+(p+1)cp+1(z z0)p+qbq(z z0)q1+(q+1)bq+1(z z0)q+=0，p qcpbq，p=q，p q对比可知，limzz0f(z)g(z)=l

8、imzz0f(z)g(z)，且极限值只能是常数或 得证分析:定理1 1 是不需要条件3 的，也就是说在计算未定式极限过程中，不需要保证limzz0f(z)g(z)存在性后，才能利用洛必达法则 不会出现实分析中limzz0f(z)g(z)不存在，而limzz0f(z)g(z)是有的，这样的情况定理 1 2解析函数 f(z)和g(z)不恒为0，若点z0是f(z)的m 阶零点，是g(z)的n 阶零点，则有(1)m n 时，limzz0f(z)g(z)=0，且点 z0是f(z)g(z)的 m n 阶零点;(2)m=n 时，limzz0f(z)g(z)=f(m)(z0)g(n)(z0)亦可写为分子，分母

9、展式中的首项系数之比(3)m n 时，limzz0f(z)g(z)=，且点 z0是 n m 的 阶极点;证明:由零点的阶性质1，可得 f(z)=(z z0)m(z)，g(z)=(z z0)n(z)，其中(z)，(z)在点 z0解析且(z0)0，(z0)0则有limzz0f(z)g(z)=limzz0(z z0)mn(z)(z)=(z0)(z0)limzz0(z z0)mn明显有 m n 时，极限为 0，且由阶性质知，点 z0是f(z)g(z)的 m n 阶零点;m n 时，极限为，且由阶性质知，点 z0是f(z)g(z)的 n m 阶极点;而 m=n 时，关注参考文献 1中第 167 页中阶的

10、性质证明，可知limzz0f(z)g(z)=(z0)(z0)=cmdn=f(m)(z0)m!g(n)(z0)n!=f(m)(z0)g(n)(z0)得证17焦作师范高等专科学校学报注:在参考文献 3 中，也有相关结论，其中只给出了 m=m 时的情况，不够全面例 1 求limzz06sinz3+z3(z6 6)z12(ez2 1)解:利用 sinz 和 ez的常用幂级数展开公式，易得:点 z=0 是6sinz3+z3(z6 6)的15 阶零点，是 z12(ez2)的 14 阶零点，由定理 1 2 得，limzz06sinz3+z3(z6 6)z12(ez2 1)=0若该例题分母改为 z13(ez2

11、 1)，则由定理 1 2 为展式对应首项系数比，极限为65!=120这个例题如果通过定理 1 1 去解决，是需要连续用 14 次洛必达法则的，计算量非常大2 未定式型的极限对于zz0时，分子，分母同趋于 的情况也有相似的结论，证明同样是利用双边幂级数展开，此时点z0必为分子，分母的极点，考虑重心在负幂部分即可，此时负幂部分都是有限项，在这里不详细论证了，直接给出如下结论:定理 2 1设复变函数 f(z)和 g(z)满足(1)在点 z0的某去心邻域0|z z0|r 内解析(2)limzz0f(z)=limzz0g(z)=，则有limzz0f(z)g(z)=limzz0f(z)g(z)定理 2 2

12、若点 z0是解析函数 f(z)的 m 阶极点，是解析函数 g(z)的 n 阶极点，则有(1)m n 时，limzz0f(z)g(z)=，且点 z0是f(z)g(z)的 m n 阶极点;(2)m=n 时，limzz0f(z)g(z)=cmbn即分子，分母展式中的首项系数之比(3)m n 时，limzz0f(z)g(z)=0，且点 z0是f(z)g(z)的 n m 阶零点;3 z 时，未定式00和型的极限在 z 时，也有相同的结论，只需要把前文中得到的定理修改两处:(1)极限号下的 zz0改为 z，(2)点 z0的某去心邻域0|z z0|r 改为点 的某去心邻域|z|+(扩充复球面的角度非常容易理解)即可 论证中，需要做个换元 z=1w，对复合函数 f(1w)应用前文中的定理即可得证，在此省略过程4 结语我们主要讨论的是分式未定式极限的求解问题，至于其余类型的未定式如:0 型，00型，1型，0型，我们都可以通过同除法，幂指型变形法转化为分式未定式，再用本文中的结论进行求解 参考文献 1 钟玉泉 复变函数论(第四版)M 北京:高等教育出版社，2013，8:167 168 2 高颖 洛必达法则在复变函数极限中的应用 J 科技致富向导，2010(29):81 82 3 李景和 复变函数中的一个有用的法则J 河北工业大学成人教育学院学报，2004(4):1 227