复变函数复变函数复变函数 (82).pdf-得力文库

资源描述

《复变函数复变函数复变函数 (82).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数复变函数复变函数 (82).pdf（8页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、161 2、分式线性变换分式线性变换一、教学目的和要求一、教学目的和要求 1、掌握并运用分式线性变换的分解，递变换和常用变换公式.2、灵活运用分式线性变换的保形性、保交比性、保圆性、保对称点性的性质.二、重难点二、重难点 1、重点一般分式线性变换、递变换性质和常用线性变换.2、难点众多性质的灵活应用及数分和几何的交汇理解.三、教学方法三、教学方法课堂讲授为主、启发式、以例明理.四、教学时数四、教学时数约 3 课时.五、教学手段五、教学手段电教、CAI 课件演示.六、教学内容六、教学内容（一一）分式线性变换及其分解分式线性变换及其分解 1 1、概念概念定义定义 1 1 称形如()

2、()0 7.3azbwadbcczd+=+的函数为分式线性变换.简记为()wL z=.注注分式线性变换()azbwL zczd+=+的递变换存在且为分式线性变换()0dwbzadcbcwd+=.经补充定义后，我们总任为分式线性变换()wL z=是定义在上的，且在上是保域的.（7.3）将扩充 z 平面一一地因而单叶地变成扩充w平面.2 2、分式映照的基本性质分式映照的基本性质 azbwczd+=+0c=，整线性变换，abwzdd=+0c，除dzc=外处处解析 dzwcazwc=z 处解析且w zw=162 dwbzcwa+=易得定义 7.7 变换和构成了扩充 z 平面与扩充w平面间的共形变换.

3、3 3、分式线性变换的分解分式线性变换的分解命题命题分式线性变换（7.3）总可以分解成下述五个简单类型变换的复合()()()w=L z*abcadwcc czd=+()()()()()()()()()()0,1 w=237.31415ike zwkzhwzwzhwzwzwz=+=+=整线性变换反演变换其中（1）、（2）、（3）和()为简单线性变换.关于单位元周的对称变换()17.5wz=，有 w1z=且对称点 w、z 都在过单位圆心 0 的同一条射线上；（7.5）把 Z 平面上的单位圆周映成w 平面上的单位圆，并且把单位圆周内（外）部映成单位圆周外（内）部另外，我们还规定圆心 0 与为

4、关于单位圆周的对称点.例例 1 1 试将变换+=341zwiz分解成四个简单线性变换的组合解解 ()()()()431313431iabcadwiicc czdii izzi=+=+=+故可以分解为 123221433451,3454arctan,33iizzi zzizzzzezze z wzi=+=+=0c=，dbzwaa=，在w +解析且wz=0c，除awc=外处处解析 awzcdwzc=（,R为旋转角，旋转变换）（0,为伸缩率，伸缩变换）（平移变换）（关于单位元的对称变换）（关于实轴的对称变换 163 例例 2 2 证明对称变换wz=不是一个分式线性变换分析分析对于实轴的对称变换

5、下，实数仍变成自己，而实数之外的点就不能变成自己证证反证法若wz=是一个分式线性变换()0azbwadbcczd+=+则 11110,00abzcdabzbcdacdbzd+=+=+=该变换为恒等变换wz=与已知矛盾.4、除恒等变换 w=z 之外，一切分式线性变换（7.3）恒有两相异或一个重不动点（即自己变成自己的点）（详细证明见288P，例 7.4）分式线性变换的复合仍是分式线性变换.(二二)分式线性变换的共形性分式线性变换的共形性将分式线性变换分解成整线性变换和范演变换的复合，易见它们在分母不为 0 的有限点处皆为共形的考虑在无穷远点的共形性，首先应定义曲线在无穷夹角的概念.由教材的

6、定理 5.3 对无穷远点情形的讨论，启发我们有定义定义 7.7.3 3 二曲线在无穷远点的夹角为，就是指它们在反演变换下的象曲线在原点处的夹角为，从而我们有定理定理 7.7.7 7 分式线性变换（7.3）在扩充 Z 平面上是共形的.注注在无穷远处不考虑伸缩率的不变性证明详见下289290P-P（三）分式线性变换的保比性 1.1.概念概念定理定理 7.7.4 4 设扩充复平面上有四个互异点1234,z z z z 定义其交比为()314112344232,=:zzzzz z z zzzzz 记作1234,z z z z，当其中有一点为无穷远点时，应将包含此点的项用 1 代替，如()23

7、4423211,=:z z zzzzz 定理定理 7.7.8 8 在分式线性变换下，四点的交比不变证证设()0az bwadbcczd+=+，则 164 ()1,2,3,4jjjazbwjczd+=+()()()()()()()123412343,4,1,2,jkjkjkadbczzwwjkw w w wz z z zczdczd=+定理定理 7.7.9 9 三对对应点唯一确定是一个线性变换，即若一个分式线性变换将三个相异点123,z z z变成三个相异点123,w w w，则此变换是唯一的且由下式唯一确定 ()()12341234,w w w wz z z z=例例 3 3 求将 2，i

8、，-2 相应的变成-1，i，1 的分式线性变换解解所求分式线性变换为()()1,1,2,2,iwiz=即 12222:12wzwiizii+=得 632ziwiz=定理定理 3.3.9 9 设 C 为扩充 Z 平面上的一个圆周，C是扩充 W 平面上的一个圆周，则必存在分式线性变换 w=L(z)使得()C wL z C=（具体作法可以在两圆周上分别取三点，据定理 7.9 可得，但此分式线性变换并不唯一，固三点可任意取）（四）分式线性变换的保圆（周）性（四）分式线性变换的保圆（周）性约定约定扩充复平面上，一条直线可视为半径为无穷大的圆周（无限圆周），从而有w=L(z)下，扩充 Z 平面上

9、的圆周定理定理 7.7.1010（保圆性）在分式线性变换 w=L(z)下，扩充 Z 平面上的圆周变为扩充平面上的圆周()=L，所界的圆（1d或2d）共形变换所界的圆（1D或2D）（如下图）3z 2z 1d 1z 2d 3w 1D 2w N 1w 165 注注（1）在扩充复平面上，直线可视为经过无穷远的圆周，当或()=L为直线时，其所界的圆是以它为界的两个半平面.（2）确定圆周所界区域在 w=L(z)下对应域（圆）有如下两种方法:在一个区域内，例如1d中，取一点0Z，如果()001W=L ZD则可断定()11D,L d=否则()21D=L d 在上任取 3 点，123,Z ZZ当沿123,Z

10、 ZZ顺次绕行时，1d在观察者的左侧，对应的，沿123,W W W顺次绕行时，在观察者前进方向左侧的区域即为1d的象.分式线性变换把有限圆周 C 变成直线的条件是 C 上的某点0Z变成证证仅证反演变换即可,因为扩充复平面上的圆周方程为 20AAZ ZZZCAC+=其中、CR,且当 A=0 为直线，将 1WZ=,即1WZ=代入证明（五）分式线性变换的保对称点性（五）分式线性变换的保对称点性定义定义 7.7.5 5 (1)若为一条直线（无限圆周）,则对称点即是通常定义（即为线段12z z的中垂线）（2）若()120,zaRRz z=+满足 12zz和在自 a 出发的同一射线上（()()()

11、12argargzaza=212za zaR=，则称12,z z是关于的对称点规定规定 z=与 z=a 为对称点注注 12,z z是关于的对称点()()()()212212zazaRzazaR=或定理定理 7.7.1111 扩充 Z 平面上两点12z，z关于圆周对称的的充要条件是通过12z，z的任意圆周都与正交保对称点性保对称点性定理定理 7 7.12 12 若分式线性变换()wL z=将扩充 Z 平面上的圆周映成扩充 w 平面上的圆周，则关于的对称点12z，z的像()()12L,zL z关于对称.（证明用定义和定理 7.11）166 由于线性变换具有保角（共形）性、保交比性、保圆性

12、和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中起着重要的作用.（六六）分式线性变换的应用分式线性变换的应用例例 4 4 把上半 Z 平面变成上半 w 平面的线性变换，可以写成 azbwczd+=+（7.12）其中，,a b c dR,且0adbc 解（证）解（证）由于上述线性变换将实轴变为实轴，且当 z 为实数的时候()20dwadbcdzczd=+即实轴变为实轴是同向的，故上半 z 平面共形映射成半w平面.注注分式线性变换（7.12）同时把z平面上的实轴变成w平面上的实轴，且把半z平面共形变换变成下半z平面.例例 5 5 求将上半z平面Im0z 共形映射成单位圆|1w 的分式线性变

13、换()wL z=，且符合()1,(0)0L ii L=+=解设所求变换为azbwczd+=+，其中,0a b c dIR adbc将(0)L代入 0b=(0)(,)azzwae fIRczdezf=+由 221()12ifieL iiefeiffe+=+=+故 21zwz=+例例 6 6 试求将上半z平面变成单位圆的线性变换()()0(Im0)wL zL aa=且解解由题设知（1）0zaw=据保对称点不变性，得（2）za=关于实轴得对称点0|1zaww=关于得对称点w=.v u 0 u y z 0 x 167 （3）Im0|1zw=（保圆性），由（1）（2）可设zawkza=，由（3）将0

15、的充要条件是通过12,z z的任意圆周都与正交（证明详见 T.B.P295）保对称点性保对称点性定理定理 7.127.12 若分式线性变换()wL z=将扩充z平面上的圆周映成扩充w平面上的圆周，则关于的对称点12,z z的象12(),()L zL z关于对称.（证明利用定义和定理7.11）由于分式线性变换具有保角（共形）性，保交比性，保圆性和保对称点性，它在处理边界为圆弧直线的区域的变换中，起着重要的作用.（六）分式线性变换的应用（六）分式线性变换的应用例例 4 4 把上半z平面变成上半w平面的线性变换可以写成（此处不是扩充平面）azbwczd+=+(7.12)其中，,0a b c dIRadbc且解（证）解（证）由于上述线性变换将实轴变成实轴，且当z为实数时 20()dwadbcdzczd=+即实轴变成实轴是同向的，故上半z平面共形映，即 1|11zakaz=故 1izaweaz=七七、小结小结从实用性角度出发，强调三个特殊的分式线性变换.八八、作业作业 P318 4、7 九九、预习要求预习要求预习3 并思考如下问题 1、还有哪几类主要区域可经共形映射变成标准区域？2、两条弧所围成的区域是否都可变成标准区域？如何实现？十十、后记后记参阅文献【1】、【4】、【6】

展开阅读全文