复变函数复变函数复变函数 (25).pdf

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1、第二类曲线积分、复变函数积分的一个性质摘要:论述了关于面、线、点对称的曲线上的广义奇、偶函数的第二类曲线积分及关于原点对称的曲线上的奇、偶复变函数积分的一个性质。关键词:对称变量;广义奇函数;广义偶函数中图分类号:O241.4文献标识码:A 文章编号:1005-1090(2003)02-0069-02A Property of Curvilinear Integral about Coordinateand Complex integrationCHEN Yong-heng,WANG You-de,XU Hong-xiang(M athematical&Physical Science Dep

2、t.,Liaoning Institute of Technology,Jinzhou121001,China)Key words:symmetrical variable;generalized odd function;generalized even functionAbstract:A property of curvilinear integral about coordinate of generalized odd and even functionin the symmetrical curve about plane,line and point is discussed,w

3、ith the property of complex in-tegration of odd and even function in the symmetrical curve about origin also studied.文献 1应用了对称区域上的奇、偶函数的二、三重积分、第一类曲线、曲面积分的性质,简化了运算。本文将这一性质推广到各种对称曲线上的第二类曲线积分及复变函数的积分中去。空间曲线的对称性可分为关于坐标面对称、关于坐标轴对称及关于坐标原点对称三种情况。而有向曲线除曲线形状对称外,还有方向对称和方向反对称(即形状对称的两部分中的一个取反方向时,两者的方向才对称)两种情况。如

4、 xOy 坐标面上的曲线 :x2+y2=4(逆时针方向),若将看做关于坐标原点对称时,其方向也对称;而将看作关于 x 轴对称时,其方向反对称。定义 1 若曲线关于xOy坐标面对称,则称坐标z为对称变量;若 关于 x 轴对称,则称坐标 y、z 为对称变量;若关于坐标原点对称,则称坐标x、y、z为对称变量。定义 2 设函数 f(x,y,z)在曲线 上有定义,曲线 关于 xOy坐标面(或 x 轴,或坐标原点)对称,如果对 上任一点(x,y,z)处,关于对称变量 z(或 y,z,或 x,y.z)有 f(x,y,-z)=-f(x,y,z)(或 f(x,-y,-z)=-f(x,y,z),或f(-x,-y,

5、-z)=-f(x,y,z),那么称函数 f(x,y,z)为上的广义奇函数;如果有 f(x,y,-z)=f(x,y,z)(或 f(x,-y,-z)=f(x,y,z),或 f(-x,-y,-z)=f(x,y,z),那么称函数f(x,y,z)为上的广义偶函数。定理 1 若函数 f(x,y,z)在有向光滑空间曲线 上连续,曲线由形状及方向都对称的两部分1,2构成,f(x,y,z)关于对称变量为广义奇(偶)函数,则第二类曲线积分有(1)若1与2关于xOy坐标面对称,则f(x,y,z)dx=0(f(x,y,z)dx=21f(x,y,z)dx)f(x,y,z)dy=0(f(x,y,z)dy=21f(x,y,

6、z)dy)f(x,y,z)dz=21f(x,y,z)dz(f(x,y,z)dz=0)(2)若1与2关于x轴对称,则f(x,y,z)dx=0(f(x,y,z)dx=21f(x,y,z)dx)f(x,y,z)dy=21f(x,y,z)dy(f(x,y,z)dy=0)f(x,y,z)dz=21f(x,y,z)dz(f(x,y,z)dz=0)(3)若 1与 2关于坐标原点对称,则收稿日期:2002-05-09作者简介:陈永衡(1947-),男,辽宁盖州人,副教授。f(x,y,z)dx=21f(x,y,z)dx(f(x,y,z)dx=0)f(x,y,z)dy=21f(x,y,z)dy(f(x,y,z)d

7、y=0)f(x,y,z)dz=21f(x,y,z)dz(f(x,y,z)dz=0)本定理可简述为:各种形状及方向对称的曲线上的第二类曲线积分,当积分元素dx(dy,dz)中含有对称变量成分时,广义偶函数的积分为零,广义奇函数的积分为半个曲线上积分的 2倍。否则结论相反。当曲线方向反对称时,结论与本定理相反。证明只证(3)中第二式,其他证明类似。设1参数方程为 y=h(x),z=j(x),x 单调地由 a变到 b;由对称性,2为y=-h(-x),z=-j(-x),x单调地由-a变到-b,f(x,y,z)dy=1f(x,y,z)dy+2f(x,y,z)dy=baf x,h(x),j(x)h (x)

8、dx+-b-af x,-h(-x),-j(-x)-h x(-x)dx其中,后者中-h x(-x)=h-x(-x),并设-x=r,则后一积分为baf-r,-h(r),-j(r)h r(r)(-dr)=-baf-r,-h(r),-j(r)h (r)dr若 f(x,y,z)关于对称变量 x,y,z 为广义奇函数,即 f-r,-h(r),-j(r)=-fr,h(r),j(r),则f(x,y,z)dy=baf x,h(x),j(x)h (x)dx+baf r,h(r),j(r)h (r)dr=f(x,y,z)dy 若 f(x,y,z)关于对称变量 x,y,z 为广义偶函数,即 f-r,-h(r),-j(

9、r)=fr,h(r),j(r),则f(x,y,z)dybaf x,h(x),j(x)h (x)dx-baf r,h(r),j(r)h (r)dr=0 本定理可简化第二类曲线积分的计算,有时可很快地判定积分值为零。例计算曲线积分x2yz2sinzdz,其中是平面y=z 与球面 x2+y2+z2=1的交线,其方向与 z 轴成右手系。解 1:关于 坐标原 点形状 及方 向对称,被 积函 数x2yz2sinz关于对称变量 x,y,z 为广义偶函数,积分元素 dz中含有对称变量 x,y,z成分,则x2yz2sinzdz=0.解 2:关于 yOz坐标面形状对称而方向反对称,被积函数 x2yz2sinz关于

10、对称变量 x 为广义偶函数,积分元素 dz中不含对称变量 x 成分,则x2yz2sinzdz=0.对 复变函数 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),当f(z)关于z为奇函数(f(-z)=-f(z)时有f(-z)=f-(x+iy)=f(-x)+i(-y)=u(-x,-y)+iv(-x,-y),故有u(-x,-y)=-u(x,y),v(-x,-y)=-v(x,y),该两式说明复变函数 f(z)关于变量 z 为奇函数的充分必要条件是其实部u(x,y)及虚部v(x,y)两个实变量函数关于变量 x,y为广义奇函数。同理,复变函数 f(z)关于变量z为偶函数的充分必要条件是其实部u(x

11、,y)及虚部v(x,y)两个实变量函数关于变量 x,y为广义偶函数。由此,我们应以x,y作为对称变量,在二维复平面上应取曲线关于坐标原点的对称性来研究问题。定理 2 若复变函数f(z)在曲线C上连续,有向曲线C是由形状及方向关于坐标原点对称的两部分 C1,C2构成,则(1)若 f(z)关于变量 z 为偶函数,则cf(z)dz=0(2)若f(z)关于 变量z为奇函 数,则cf(z)dz=2c1f(z)dz.当曲线形状对称,方向反对称时,结论相反。证 明 cf(z)dz=cu(x,y)dx-cv(x,y)dy+icv(x,y)dx+icu(x,y)dy(1)当 f(z)为偶函数时,u(x,y),v(x,y)关于 x,y 为广义偶函数,由定理 1,cu(x,y)dx=cv(x,y)dy=cv(x,y)dx=cu(x,y)dy=0,故cf(z)dz=0.(2)当 f(z)为奇函数时,u(x,y),v(x,y)关于 x,y 为广义奇函数,由定理 1,(1)中四个积分都等于上积分的 2倍,故cf(z)dz=2c1f(z)dz.如,下列积分中曲线C的形状及方向对称,被积函数是偶函数,故积分值皆为零|z|=62iz2+1dz=0|z|=2dz(z2+1)(z2+5)=0|z|=4sinzzdz=070辽宁工学院学报第 23卷