广州市高三数学.pdf

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1、 Middle 2021 届广州市高三第二次调研考试试题二 数学理科 2021.4 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分。只有一项为哪一项符合题目要求的。1、集合11Ax x，110Bxx，那么AB A12xx B02xx C01xx D01xx 2、假设复数z满足34ii2iz，那么复数z所对应的点位于 A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3、执行如下图的程序框图，那么输出的S值为 A4 B 3 C 2 D 3 4、从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 3 个数字组成没有重复 数字的三位数，那么这个三位数是偶数的概率为 A15 B25 C12 D35 5、

2、函数 ln1f xxx的大致图象是 A B C D 6、2cos423，那么sin A79 B19 C19 D79 7、点4,4A在抛物线22ypx0p 上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线 准线的垂线，垂足为E，那么EAF的平分线所在的直线方程为 A2120 xy B2120 xy C240 xy D240 xy Middle 8、在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M是棱11AD的中点，过1C，B，M作正方体的 截面，那么这个截面的面积为 A3 52 B3 58 C92 D98 9、Rk，点,P a b是直线2xyk与圆22223xykk的公共点，那么ab的最大值为 A

3、15 B 9 C 1 D 53 10、函数 2sin4fxx0的图象在区间 0,1上恰有 3 个最高点，那么的取值范围为 A1927,44 B913,22 C1725,44 D4,6 11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥 的三视图，那么该三棱锥的体积为 A83 B163 C323 D16 12、定义在R上的奇函数 yf x为减函数，假设m，n满足22f mm220fnn，那么当1n32时，mn的取值范围为 A2,13 B31,2 C 1 3,3 2 D 1,13 二、填空题每题5 分，总分值20 分，将答案填在答题纸上 13、点0 0O，1,3A，24B，ABmOAOP

4、2，假设点P在y轴上，那么实数m 14、?孙子算经?是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的?孙子算经?共三卷，其中下卷“物不知数中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？其意思为：“现有一堆物品，不知 它的数目.3 个 3 个数，剩 2 个；5 个 5 个数，剩 3 个；7 个 7 个数，剩 2 个.问这堆物品 共有多少个？试计算这堆物品至少有 个 Middle 15、设 5423xyxy9872987a xa x ya x y8910a xya y，那么08aa 16、在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，9CD，16BD，

5、90BDC，4sin5A，那么对角线AC的最大值为 三、解答题 本大题共 6 小题，共 70 分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、设等比数列 na的前n项和nS，1238a a a，2133nSaa521naa*Nn.求数列 na的通项公式；设nnbnS，求数列 nb的前n项和nT.18、如图，ABCD是边长为a的菱形，60BAD，EB 平面ABCD，FD 平面ABCD，23EBFDa.求证：EFAC；求直线CE与平面ABF所成角的正弦值.Middle 19、某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根

6、据以往促销的统计数据，假设实施 方案 1，预计第一个月的销量是促销前的 1.2 倍和 1.5 倍的概率分别是 0.6 和 0.4，第二个月的销量是第一个月的 1.4 倍和 1.6 倍的概率都是 0.5；假设实施方案 2，预计 第一个月的销量是促销前的 1.4 倍和 1.5 倍的概率分别是 0.7 和 0.3，第二个月的销量 是第一个月的 1.2 倍和 1.6 倍的概率分别是 0.6 和 0.4.令1,2ii表示实施方案i的 第二个月的销量是促销前销量的倍数.求1，2的分布列；不管实施哪种方案，i与第二个月的利润之间的关系如下表，试比拟哪种方案 第二个月的利润更大.20、双曲线2215xy的焦点

7、是椭圆C：22221xyab0ab的顶点，且椭圆与双曲线 的离心率互为倒数.求椭圆C的方程；设动点M，N在椭圆C上，且4 33MN，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值.Middle 21、函数 lnxf xaxbx在点 e,ef处的切线方程为2eyax.求实数b的值；假设存在2e,ex，满足 1e4f x，求实数a的取值范围.请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分 22、选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为20 xy，曲线C的参数方程为 2 3cos,2sinxy为参数，设直线l与曲线C交于A，B两点.求线段AB的

8、长；点P在曲线C上运动，当PAB的面积最大时，求点P的坐标及PAB的最大面积.Middle 23、选修 4-5：不等式选讲 1abc，证明：2211ab21613c；假设对任意实数x，不等式xa 212x恒成立，求实数a的取值范围.Middle 2021 年广州市普通高中毕业班综合测试二 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD 二、填空题 1323 1423 152590 16 27 三、解答题 17解：因为数列 na是等比数列，所以2132a aa.因为1238a a a，所以328a，解得22a.因为2135213nnSaaaa，

9、所以213Sa，即1213aaa.因为22a，所以11a.因为等比数列 na的公比为212aqa，所以数列 na的通项公式为12nna.因为等比数列 na的首项为11a，公比2q，所以111nnaqSq122112nn.因为nnbnS，所以21nnbn2nnn.所以123nTbbb1nnbb 231 22 23 2 2nn 1 23n.设231 22232nP 2nn.那么2321 222nP 413 22nn.所以1232222nnPn422n11 22nn.因为123 12n nn，Middle 所以11 2nnTn122n n.所以数列 nb的前n项和11 2nnTn122n n.18解

10、：证明：连接BD，因为ABCD是菱形，所以ACBD.因为FD 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以ACFD.因为BDFDD，所以AC 平面BDF.因为EB 平面ABCD，FD 平面ABCD，所以EBFD.所以B，D，F，E四点共面.因为EF 平面BDFE，所以EFAC.如图，以D为坐标原点，分别以DC，DF的方向为y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.可以求得31,022Aaa，31,022Baa，30,0,2Fa，0,0Ca，31,322Eaaa.所以0,0ABa，313,222AFaaa.设平面ABF的法向量为,nx y z，那么0,0,n ABn AF即0,3130222ay

11、axayaz 不妨取1x，那么平面ABF的一个法向量为1,0,1n.因为31,322CEaaa，Middle 所以cos,n CEn CEn CE3 68.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为3 68.19解：依题意，1的所有取值为 1.68，1.92，2.1，2.4，因为11.68P0.60.50.30，11.92P0.60.50.30，12.1P0.40.50.20，12.4P0.40.50.20.所以1的分布列为 依题意，2的所有取值为 1.68，1.8，2.24，2.4，因为21.68P0.70.60.42，21.8P0.30.60.18，22.24P0.70.40.28，22.4

12、P0.30.40.12.所以2的分布列为 令iQ表示方案i所带来的利润，那么 Middle 所以115 0.30EQ 200.50250.20 19.5，2150.42EQ 200.46250.12 18.5.因为12EQEQ，所以实施方案 1，第二个月的利润更大.20解：双曲线2215xy的焦点坐标为6,0，离心率为305.因为双曲线2215xy的焦点是椭圆C：22221xyab0ab的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a，且22306aba，解得1b.故椭圆C的方程为2216xy.因为4 323MN，所以直线MN的斜率存在.因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为

13、ykxm.代入椭圆方程2216xy得221612kxkmx2610m.因为221224 1 6kmk 2124m 22160km，所以221+6mk.设11,M x y，22,N xy，根据根与系数的关系得122121 6kmxxk，2122611 6mx xk.那么2121MNkxx22121214kxxx x222222411211616mkmkkk.因为4 33MN，即222222411211616mkmkkk4 33.Middle 整理得4222183979 1kkmk.令211kt ，那么21kt.所以221875509ttmt15075189tt752 30593.等号成立的条件是

14、53t，此时223k，253m 满足221 6mk，符合题意.故m的最大值为153.21解：函数 f x的定义域为 0,11,.因为 lnxf xaxbx，所以 2ln1lnxfxax.所以函数 f x在点 e,ef处的切线方程为eeyab eax，即eyaxb .函数 f x在点 e,ef处的切线方程为2eyax，比拟求得eb.所以实数b的值为e.由 1e4f x，即elnxaxx1e4.所以问题转化为11ln4axx在2e,e上有解.令 11ln4h xxx2e,ex，那么 22114lnh xxxx222ln44lnxxxx22ln2ln24lnxxxxxx.令 ln2p xxx，所以当

15、2e,ex时，有 11pxxx10 xx.所以函数 p x在区间2e,e上单调递减.所以 ep xplne2 e0.所以 0h x，即 h x在区间2e,e上单调递减.Middle 所以 2e=h xh2211lne4e21124e.所以实数a的取值范围为211,24e.22解：曲线C的普通方程为221124xy.将直线20 xy代入221124xy中消去y得，230 xx.解得0 x 或3x.所以点0,2A，3,1B，所以223012AB 3 2.在曲线C上求一点P，使PAB的面积最大，那么点P到直线l的距离最大.设过点P且与直线l平行的直线方程yxb.将yxb代入221124xy整理得，2

16、246340 xbxb.令 2264 4 34bb 0，解得4b .将4b 代入方程2246340 xbxb，解得3x .易知当点P的坐标为3,1时，PAB的面积最大.且点3,1P 到直线l的距离为223 1 211d 3 2.PAB的最大面积为192SABd.23解：证明：因为1abc，所以222111abc222abc23abc2225abc.所以要证明2211ab21613c，即证明22213abc.因为222abc2abc2 abbcca Middle 2abc2222 abc，所以2223 abc2abc.因为1abc，所以22213abc.所以2211ab21613c.设 f x 21xax，那么“对任意实数x，不等式212xax恒成立等价于“min2f x.当12a 时，f x 31,11,2131,.2xaxaxaaxxax 此时 min12fxf12a，要使212xax恒成立，必须122a，解得32a .当12a 时，1223x不可能恒成立.当12a 时，f x 131,211,231,.xaxxaxaxaxa 此时 min12fxf12a，要使212xax恒成立，必须122a，解得52a.综上可知，实数a的取范为3,2 5,2.Middle