2023届广州市高三数学冲刺训练题（三 ）含答案.pdf

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1、 第 1 页（共 5 页）2023 年 广州市 普通高 中毕业 班 冲刺 训练题（三）数 学 本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1 答卷前，考 生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在 答题卡的相应位置填涂考生号。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需 改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其 他答案。答 案不 能答在试卷上。3 非选择题 必须用黑色 字迹的钢笔 或签字笔作 答，答案必 须写在答题 卡各题目指定区域内 的相应位置 上；如需改 动，先划掉 原来的答案

2、，然后再写 上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分 在 每 小题 给 出 的四个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合题目 要 求 的 1.已知集合11282xAx N，240 B x x x m，若 1 AB，则AB A.1，2，3 B.1，2，3，4 C.0，1，2 D.0，1，3 2.下列关于某 个复数z 的说法中，22zz 1zR 1i2z z R 有且只有 一个说法是错误的，则错误的是 A.B.C.D.3.已知a，b R，则 0 a

3、b 是 0 a a bb 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4.已知cos cos 13，则cos 23 A 13 B 12 C 23 D 33 5.已知数列 na的各项均为正数，记数列 na的前n 项和nS，且满足 2*12nnnaSna N，则下列说法正确的是 A.12 a B 2021 20221 aa C.nSn D.121 1 1nna a a 第 2 页（共 5 页）6.“总把新 桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、

4、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝 愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 80 元，则 可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 5 名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有 3 人 领取的礼品种类相同的概率是 A 140243 B 40243 C 2081 D 4081 7.设P 为多面 体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率为 1 2 2 3 111 1.2,3,32 kiQPQ Q PQ Q PQ Q i k 其 中 为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12QPQ，23Q PQ，1 kQ PQ遍及多面体M 的所有以P 为公共点的面。如图是正

5、四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的 离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d 的大小 关系是 A a b c d B a b d c C b a d c D cdba 8.对于任意 0 x 都有 ln 0 xx ax x，则a 的取值范围为 A.0,e B.11ee,e C.11e,e e,)D.(,e 二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分 在 每 小题 给 出 的选项 中，有 多项 符 合题目要求 全 部 选 对的得 5 分，部分 选 对 的得 2 分，有 选 错的 得 0 分 9.已知 3,1 a，1,2 b，则 下列结论中

6、正确的是 A 5 ab B 5 ab C,4ab D a与b平行 10.在锐角ABC 中，角A，B，C 所对的边为a，b，c，若sin sin cos cos3sinB C A CA a c，且 2 2 234ABCS a b c，则2cab 的可能取值为 A 3 B 2 C 142 D 3 105 第 3 页（共 5 页）11.已知双曲 线)0(1222 bbyx的左，右焦点分别为)0,(),0,(2 1c F c F，直线)(33c x y 与双曲线左，右两支分别交于,AB两点，M 为线段AB 的中点，且 4 AB,则下列说法正确的 是 A.双曲线的离心率为33 2 B.2 1 2 2 2

7、FF FM F A FM C.2 1 2 1 2 1FF FM FF FM D.12FM F A 12.已知函数 fx2 2,2 1,ln 1,1 e,xxxx 若关于x的方程 f x m 恰有两个不同解 1 2 1 2,x x x x，则 2 1 2x x f x 的取值可能是 A.3 B.1 C.0 D.2 三、填 空题：本 题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 13.若n Z，且36 n，则32nxx的展开式中的常数项为_ 14.已知,AB 为抛物线2:4 C x y 上的两点，2()1,M，若AM MB，则直线AB 的方程为_.15.将一个半 径为 5cm的水晶球 O 放在

8、如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆 PA PB PC 组成，它们两两成 60 角.则水晶球的球心到支架P 的距离是_cm.16.某牧场今 年初牛的存栏数为 1200，预计以后每年存栏数的增长率为 5%，且在每年年底卖出 100 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列1 2 3,c c c 且满足递推公式：1()nnc k r c k，nS 为数列 nc 的前n项和，则10=S _.(101.05 1.63,答案精确到 1)四、解 答题：本 题 共 6 小题，共 70 分 解 答 应写 出 文 字说明、证 明过程 或 演 算步骤 17.（10 分）已知递增等差数列na 满足151

9、0 aa，2421 aa，数列nb 满足22log 1nnba，*n N（1）求nb 的前n 项和nS；（2）若12(1)nnT nb n b b，求数列nT 的通项公式 第 4 页（共 5 页）18.（12 分）在锐角 ABC 中，角 C B A,所对的边分别为 c b a,，且)tan)(tan(22 2 2 2B A b c a c.（1）求角A 的大小；（2）若边 2 a，边BC 的中点为D，求中线AD 长的取值范围.19.（12 分）如图甲是由 正方形ABCD，等边 ABE 和等边 BCF 组成的一个平面图形，其中6 AB，将其沿AB，BC，AC 折起得三棱锥P ABC，如图乙.（1

10、）求证：平面PAC 平面ABC；（2）过棱AC 作平面ACM 交棱PB 于点M，且三棱锥P ACM 和B ACM 的体积比为1:2，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.20.（12 分）随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽 奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.（1）公司 内部 测 试的 活动 方案 设置了 第 i i N 次 抽奖中 奖的 名额为 32 i，抽 中的用 户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额

11、少 2 个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加 本次内部测试第一次抽奖的有 15 人，甲、乙均在其中.请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.（2）由 于 该 活 动 方 案 在 公 司 内 部 的 测 试 非 常 顺 利，现 将 在 全 市 进 行 推 广.报 名 参 加 第 一 次抽奖活动的有 20 万用户，该公司设置了第 i i N 次抽奖中奖的概率为9(1)40iiP，每次中奖的用 户退出活动，同时补充 相同人数的 新用户，抽 奖活动共进 行2n(n N*)次，已知 用 户丙 参加 了 第一 次抽 奖，并 在这2n 次 抽奖

12、 活动 中 中奖 了，在 此条 件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数 的均值小于92.第 5 页（共 5 页）21.（12 分）已知函数 1exf x ax a a R（1）讨论 fx 的单调性；（2）当 0 x 时，1 ln 1 1 f x x，求实数a的取值范围 22.（12 分）如图，在ABC 中，点 1,0,1,0 AB.圆I 是ABC 的内切圆，且CI 延长线交AB 于点D，若 2 CI ID.（1）求点C 的轨迹 的方程；（2）若椭圆22221(0)xyabab 上点 00,xy 处的切线方程是00221x x y yab，过直线:4 lx 上一点M 引 的两条切线，切点分别是PQ、

13、，求证：直线PQ 恒过定点N；是否存在实数，使得 PN QN PN QN，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.1 2023 年广州市普通 高中毕业 班 冲刺训 练题（三）参考答案 一、选 择题：本 题 共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A B D B B 二、选 择题：本 题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 9.ABC 10.ACD 11.BD 12.BC 三、填 空题：本 题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 13.8 14.2 3 0 xy 15.53 16.9920 四、解 答题：本 题 共

14、 6 小题，共 70 分 17.（10 分）（1）解:由 题意，设等差数列na 公差为(0)dd，则 1112 4 10()(3)21ada d a d，解得192ad（舍去），或112ad，1 2(1)2 1na n n.22log 1 2 1 1 2 2nnb a n n，2log 1nbn，即112 1 2nnnb，*nN 故数列nb 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则122112nnnS（2）解法 1:由（1），可 知 12(1)nnT nb n b b 1 1 2 1 2 3 1 2()()()nb b b b b b b b b 1 2 3 nS S S S 23(2 1)

15、(2 1)(2 1)(2 1)n 23(2 2 2 2)nn 12212nn122nn 解法 2:(1)2(2)2(2)-(1)得：.18.（12 分）（1）解:由余 弦定理得)tan(tan cos 2 22B A B ac c，即)tan(tan cos B A B a c，由正弦定理得)cossincossin(cos sin)tan(tan cos sin sinBBAAB A B A B A C AC AB AB AB Acossin sincos cos)sin(cos sin，A A C cos sin 0 sin，,即 1 tan A，20，A，4 A.（2）解:由余 弦定理得

16、：bc c b 2 22 2，则 bc c b 2 22 2.)2 1(21)2(41)(412 2 22bc bc b c AC AB AD.由正弦定理得 2sin sin sin AaCcBb 所以,sin 2,sin 2 C c B b 2)2 sin 2(cos 2)43sin(sin 4 sin sin 4 B B B B C B bc 2)42 sin(2 B，因为 ABC 是锐角三角形，所以 2 43020 BB,即2 4 B,则 1)42 sin(22,43424 B B，2 2,2 2(bc.中线 AD 长的取值范围是22 2,210.19.（12 分）（1）证明：如图，取

17、AC 的中点为 O，连接 BO，PO.PA PC，PO AC.6 PA PC，90 APC，3 1322PO AC，同理32 BO.又 6 PB，2 2 2PO OB PB，PO OB.AC OB O，AC，OB 平面 ABC，PO 平面 ABC.又 PO 平面 PAC，平面 PAC 平面 ABC.（2）解：如 图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，3 2,0,0 A，3 2,0,0 C，0,3 2,0 B，0,0,3 2 P，3 2,3 2,0 CB，3 2,0,3 2 CP.三棱锥 P ACM 和 B ACM 的体积比为1:2，:1:2 PM BM，0,2,2 2 M，3 2,2,2 2

18、 AM.设平面 PBC 的法向量为,n x y z，则3 2 3 2 03 2 3 2 0 xyxz，令 1 x，得 1,1,1 n.设直线 AM 与平面 PBC 所成角为，则6 2 42sin cos,7 2 7 3AM n.直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值为427.20.（12 分）（1）解:甲在第一次中奖的概率为 15115 3p.乙在第二次中奖的概率为 210 8 1615 13 39p.设甲参加抽奖活动的次数为 X，则 1,2,3 X，51(1)15 3PX；10 8 16(2)15 13 39PX；10 5 10(3)115 13 39PX，4 X 1 2 3 P 13

19、1639 1039 1 16 10 25()1 2 33 39 39 13EX.（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为14.设丙参加抽奖活动的次数为 Y，“丙中奖”为事件 A，则 4 3 3()1 15 4 5nnPA，令 mn，*m N，则丙在第 21 m 次中奖的概率 131(2 1)55mPY m 在第2m 次中奖的概率 113 4 1 3 1(2)5 5 4 5 5mmPY m，即 131(2 1)(2)55mPY m PY m，在丙中奖的条件下，在第 21 m，2m 次中奖的概率为11355()mPA，则丙参加活动次数的均值为 211 3 3 3()(1 2

20、)(3 4)(5 6)(2 1 2)5()5 5 5nEY n nPA 设 213 3 33 7 11(4 1)5 5 5nSn，则 213 3 3 3 33 7(4 5)(4 1)5 5 5 5 5n nS n n，212 3 3 3 33 4(4 1)5 5 5 5 5n nSn，145 12 27 32 2 5nnS，所以 145 3 345 12 27 3 31 1022 5 599 2 2 5 5()22 3 331 5 1 5 15 55nnnn nnnnnnEY.21.（12 分）（1）解:由 题知 1 xf x e ax a，fx 的定义域为 R，5 1 xf x e a 当

21、0 a 时，0 fx 在 R 上恒成立，故 fx 在 R 上是增函数；当 0 a 时，令 0 fx 得 ln 1 xa，在,ln 1 a 上有 0 fx，在 ln 1,a 上有 0 fx，fx 在,ln 1 a 上是减函数，在 ln 1,a 上是增函数.（2）解:当 0 x 时，1 ln 1 1 f x x，即 ln 1 1 0 xe ax x（*）令 ln 1 1 0 xg x e ax x x 则 101xg x e a xx 若 2 a，由（1）知，当 1 a 时，11xf x e x 在 1,上是增函数 故有 111 1 1 1 f x f e.即 111xf x e x，得111xe

22、x，故有1xex 函数 gx 在区间 0,上单调递增，00 g x g，（*）式成立 若 2 a，令 11xx e ax 则 222111011xxxexexx，当且仅当 0 x 时等号成立 函数 x 在区间 0,上单调递增 0 2 0 a,1 1 11 1 01 1 1aa e a a aa a a.00,xa，使得 00 x,则当00 xx 时，00 xx，即 0 gx 函数 gx 在区间 00,x 上单调递减.00 0 g x g，即（*）式不恒成立 综上所述，实数a的取值范围是 2,22.（12 分）（1）解:据 题意，2CI CA CB CA CBID AD BD AD BD，6 从

23、而可得 42 CA CB，由椭圆定义知道，C 的轨迹为以AB、为焦点的椭圆，所以所求的椭圆 的方程为221(0)43xyy.(2)解:设 切点坐标为1 1 2 2(,),(,)P x y Q x y,直线 l 上的点 M 的坐标 4,t，则切线方程分别为11143x x y y,22143x x y y,又两切线均过点 M，即1 1 2 21,133ttx y x y,从而点,PQ 的坐标都适合方程 13txy,而两点之间确定唯一的一条直线，故直线 PQ 的方程是 13txy,显然对任意实数 t，点 1,0 都适合这个方程，故直线 PQ 恒过定点 1,0 N.将直线 PQ 的方程 13txy,代入椭圆方程，得223 1 4 12 03tyy，即224 2 9 03ty ty,1 2 1 2 226 27,12 12ty y y ytt 不妨设120,0 yy,2221 1 1913tPN x y y,同理2293tQN y.所以21221 2 1 21 1 3 1 1 399yyPN QN y y y ytt 2222 2212 2 21226 10812 12 3 3 1 144 9 144 427939 9 912tyytt tyyt t tt 故存在实数43，使得 PN QN PN QN.