专题.2常用逻辑用语-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第一篇 集合与不等式 专题 1.02 常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分

2、条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp 2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题 p 的否定记为p，读作“非 p”)名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 简记 xM，p(x)x0M，p(x0)否定 x0M，p(x0)xM，p(x)【微点提醒】1.区别 A

3、是 B 的充分不必要条件(AB 且 BA)，与 A 的充分不必要条件是 B(BA 且 AB)两者的不同.2.A 是 B 的充分不必要条件B 是A 的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.【疑误辨析】努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知 p：x1 和 q：x1，则 p 是 q 的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.()(4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”.()【答案】(1)(2)

4、(3)(4)【解析】(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.【教材衍化】2.(选修 21P26A3改编)命题“xR，x2x0”的否定是()A.x0R，x02x00 B.x0R，x02x00 C.xR，x2x0 D.xR，x2x2n，则p 为()A.nN，n22n B.nN，n22n C.nN，n22n D.nN，n22n【答案】C【解析】命题 p 的量词“”改为“”，“n22n”改为“n22n”，p：nN，n22n.5.(2018天津卷)设 xR，则“x1212”是“x31”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 努力的你，未来

5、可期！拼搏的你，背影很美！【解析】由x1212，得 0 x1，所以 0 x31；由 x31，得 x1，不能推出 0 x1.所以“x1212”是“x31”的充分而不必要条件.6.(2019济南调研)“a0”是“函数 f(x)sin x1xa 为奇函数”的_条件.【答案】充要【解析】显然 a0 时，f(x)sin x1x为奇函数；当 f(x)为奇函数时，f(x)f(x)sin(x)1xasin x1xa0.因此 2a0，故 a0.所以“a0”是“函数 f(x)为奇函数”的充要条件.【考点聚焦】考点一 充分条件与必要条件的判断【例 1】(1)(2018北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|

6、3ab|”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2019华大新高考联盟质检)设函数 f(x)2mx1，x0，x1x，x1 是 ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1)|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2，又|a|b|1，ab0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件.(2)当 m1 时，f f(1)f(1)1(1)f(2)22m14，当 f f(1)4 时，f f(1)f(1)1(1)f(2

7、)22m1422，2m12，解得 m12.故“m1”是“f f(1)4”的充分不必要条件.【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据 pq，qp 进行判断.(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练 1】(2018浙江卷)已知平面，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的()努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m.若 m，m，n，不一定推出 mn，直线 m 与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分不必

8、要条件.考点二 充分条件、必要条件的应用典例迁移【例 2】(经典母题)已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m.若 xP 是 xS 的必要条件，求 m 的取值范围.【答案】见解析【解析】由 x28x200，得2x10，Px|2x10.xP 是 xS 的必要条件，则 SP.1m2，1m10，解得 m3.又S 为非空集合，1m1m，解得 m0.综上，m 的取值范围是0，3.【迁移探究 1】本例条件不变，若 xP 是 xS 的必要不充分条件，求 m 的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知，SP，1m1m，1m2，1m2，1m10，解得 0m3 或 0m3，0m3，故 m 的取值范围是

9、0，3.【迁移探究 2】本例条件不变，若 xP 的必要条件是 xS，求 m 的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知 Px|2x10，若 xP 的必要条件是 xS，即 xS 是 xP 的必要条件，PS，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！1m1m，1m2，1m10，解得 m9.故 m 的取值范围是9，).【迁移探究 3】本例条件不变，问是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件？并说明理由.【答案】见解析【解析】由例题知 Px|2x10.若 xP 是 xS 的充要条件，则 PS，1m2，1m10，m3，m9，这样的 m 不存在.【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题

10、的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练 2】(2019临沂月考)设 p：实数 x 满足 x24ax3a20.若 a0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.【答案】见解析【解析】由 p 得(x3a)(xa)0，当 a0 时，3ax0，则2x3 或 x2，则 x4 或 x2.设 p：A(3

11、a，a)，q：B(，4)2，)，又 p 是 q 的充分不必要条件.可知 AB，a4 或 3a2，即 a4 或 a23.又a0，a4 或23a0，即实数 a 的取值范围为(，423，0.考点三 全称量词与存在量词 角度 1 全(特)称命题的否定 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【例 31】(1)命题“nN*，f(n)N*且 f(n)n”的否定形式是()A.nN*，f(n)N*且 f(n)n B.nN*，f(n)N*或 f(n)n C.n0N*，f(n0)N*且 f(n0)n0 D.n0N*，f(n0)N*或 f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式

12、是()A.xR，1f(x)2 B.x0R，12 D.xR，f(x)1 或 f(x)2【答案】(1)D(2)D【解析】(1)全称命题的否定为特称命题，命题的否定是：n0N*，f(n0)N*或 f(n0)n0.(2)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1 或 f(x)2”.角度 2 含有量词(、)的参数取值问题 【例 32】(经典母题)已知 f(x)ln(x21)，g(x)12xm，若对x10，3，x21，2，使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_.【答案】14，【解析】当 x0，3时，f(x)minf(0)0，当 x1，2时，g(x)ming(2)14m，

13、对x10，3，x21，2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)min，得 014m，所以 m14.【迁移探究】若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是_.【答案】12，【解析】当 x1，2时，g(x)maxg(1)12m，对x10，3，x21，2使得 f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)max，得 012m，m12.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.努力的你，

14、未来可期！拼搏的你，背影很美！2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练 3】(2019衡水调研)已知命题 p：xR，log2(x2xa)0 恒成立，命题 q：x02，2，2a2x0，若命题 p 和 q 都成立，则实数 a 的取值范围为_.【答案】54，2 【解析】当命题 p 成立时，x2xa1 恒成立，即 x2xa10 恒成立，14(a1)54.当命题 q 成立时，2a(2x0)max，x02，2，a2.故54a2，a 的取值范围是54，2.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设 Ax|p(x

15、)，Bx|q(x)；若 AB，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.【核心素养提升】逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推

16、理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型 1 形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 g(x2)f(x1)成立”【例 1】已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)196x13，若对任意 x11，1，总存在 x20，2，使得 f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数 a 的取值范围.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【答案】见解析【解析】由题意知，g(x)在0，2上的值域为13，6.令 h(x)f(

17、x)2ax3x22xa(a2)，则 h(x)6x2，由 h(x)0 得 x13.当 x1，13时，h(x)0，所以h(x)minh13a22a13.又由题意可知，h(x)的值域是13，6 的子集，所以h（1）6，a22a1313，h（1）6，解得实数 a 的取值范围是2，0.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围.类型 2 形如“存在 x1A 及 x2B，使得 f(x1)g(x2)成立”【例 2】已知函数 f(x)2x3x1，x12，1

18、，13x16，x0，12，函数 g(x)ksinx62k2(k0)，若存在 x10，1及 x20，1，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 k 的取值范围.【答案】见解析【解析】由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为22k，23k2，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 232k0，解得 k43，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是12，43.【评析】本类问题的实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的

19、值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型 3 形如“对任意 x1A，都存在 x2B，使得 f(x1)0 B.不存在 xZ，使 x22xm0 C.xZ，使 x22xm0 D.xZ，使 x22xm0【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题.故选 D.2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是()A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数【答案】D【解析】因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影

20、很美！3.设 xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 2x0，得 x2，由|x1|1，得 0 x2.当 x2 时不一定有 0 x2，而当 0 x2 时一定有 x2，“2x0”是“|x1|1”的必要不充分条件.4.(2019焦作模拟)命题 p：cos 22，命题 q：tan 1，则 p 是 q 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由 cos 22，得 42k，kZ，则 tan 1，故 pq，p 是 q 的不充分条件；由 tan 1，

21、得 4k，kZ，则 cos 22，故 qp，p 是 q 的不必要条件；所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件.5.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 S4S62S5S6S5(S5S4)a6a5d，所以 S4S62S5 等价 d0，所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.6.已知命题 p：“x0，1，aex”，命题 q：“x0R，x024x0a0”.若命题 p 和 q 都成立，则实数 a 的取值范围是()A.(4，)B

22、.1，4 C.e，4 D.(，1)【答案】C【解析】对于 p 成立，a(ex)max，ae.对于 q 成立，知 x24xa0 有解，则 164a0，解得 a4.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！综上可知 ea4.7.(2017北京卷)设 m，n 为非零向量，则“存在负数，使得 mn”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数，使得 mn，则 mnnn|n|20；反之 mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n2，当m，n2，时，m，n 不共线.故“存在负数，使得 mn”是“mn1 C.a4 D.

23、a4【答案】D【解析】命题成立的充要条件是x1，2)，ax2 恒成立，即 a4.命题成立的一个充分不必要条件可以是 a4.二、填空题 9.直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点的充要条件是_.【答案】1k3【解析】直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k|2 2，解之得1k3(xm)”是“q：x23x4m3 或 xm，q：4xb”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为 f(x)3x3x，所以 f(x)3xln 33xln 3(1)3xln 33xln 3，易知 f(

24、x)0，所以函数 f(x)3x3x 为(，)上的单调递增函数，从而由“ab”可得“f(a)f(b)”，由“f(a)f(b)”可得“ab”，即“ab”是“f(a)f(b)”的充要条件.15.设 p：实数 x 满足 x24ax3a20，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_.【答案】(1，2【解析】因为 p 是 q 的必要不充分条件，即 qp 但 p q，设 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则 BA，又 B(2，3，当 a0 时，A(a，3a)；当 a0 时，有a2，33a，解得 1a2；当 a0时，显然 AB，不符合题意.综上所述，实数 a 的取值范围是(1，2.16.设数列an是等比数列，求证：“an是递增数列”的充要条件为“a1a2a3”.【答案】见解析【解析】证明 充分性：设数列an的公比为 q，则通项公式为 ana1qn1.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！由 a1a2a3，得 a1a1q1，a10 或 0q1，a10，所以数列an为递增数列.必要性：若数列an是递增数列，则必有 a1a2a3.综上“a1a2b，则1ab，但是1a1b，故答案可以为 1，1(答案不唯一，满足a0，b0 即可).努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！