专题.3圆与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版).pdf

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1、精品 拼搏 第八篇 平面解析几何 专题 8.03 圆与方程【考试要求】掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.【知识梳理】1.圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心 C(a，b)半径为 r 一般 x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0 圆心坐标：D2，E2 半径 r12D2E24F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外；(2)|MC|rM 在圆上，

2、即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上；(3)|MC|rM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内.【微点提醒】1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2y2r2.2.以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆.()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆.()(4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0，D2E24AF0.()【答案】(1)

3、(2)(3)(4)【解析】(2)当 a0 时，x2y2a2表示点(0，0)；当 a0 时，表示半径为|a|的圆.精品 拼搏(3)当(4m)2(2)245m0，即 m14或 m1 时表示圆.【教材衍化】2.(必修 2P124A1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，3 C.(2，3)，13 D.(2，3)，13【答案】D【解析】圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13.3.(必修 2P130 例 3 改编)过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()A.(x3)2(y1

4、)24 B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24【答案】C【解析】设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 C 在直线 xy20 上，所以 b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24.【真题体验】4.(2019日照调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A.(1，1)B.(0，1)C.(，1)(1，)D.a1【答案】A【解析】因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，则

5、F0，11DEF0，42DF0，解得 D2，E0，F0，故圆的方程为 x2y22x0.法二 设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA1，kAB1，所以 kOAkAB1，即 OAAB，所以OAB是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 BO 是所求圆的直径，则圆心为 C(1，0)，半径 r12|OB|1，圆的方程为(x1)2y21，即 x2y22x0.(2)法一 所求圆的圆心在直线 xy0 上，设所求圆的圆心为(a，a).又所求圆与直线 xy0 相切，半径 r2|a|2 2|a|.又所求圆在直线 xy30 上截得的弦长为 6，圆心(a，a)到直线 xy30 的距离 d|2a3|2，

6、d2622r2，即（2a3）22322a2，解得 a1，圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.精品 拼搏 法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线 xy30 的距离 d|ab3|2，r2（ab3）22622，即 2r2(ab3)23.由于所求圆与直线 xy0 相切，(ab)22r2.又圆心在直线 xy0 上，ab0.联立，解得a1，b1，r 2，故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心为D2，E2，半径 r12D2E24F，圆心在直线 xy0 上，D2E20，即 DE0，又圆 C 与直线 xy0 相切

7、，D2E2212D2E24F，即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.又知圆心D2，E2到直线 xy30 的距离 dD2E232，由已知得 d2622r2，(DE6)2122(D2E24F)，联立，解得D2，E2，F0，故所求圆的方程为 x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.【规律方法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程

8、，用待定系数法求解.精品 拼搏【训练 1】(1)若圆 C：x2y12m2n 的圆心为椭圆 M：x2my21 的一个焦点，且圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 的标准方程为_.(2)(2018枣庄模拟)已知圆 M 与直线 xy0 及 xy40 都相切，且圆心在直线 yx2 上，则圆 M的标准方程为_.【答案】(1)x2(y1)24(2)x2(y2)22【解析】(1)圆 C 的圆心为0，12m，1m112m，m12.又圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C经过点(0，1)，从而 n4.故圆 C 的标准方程为 x2(y1)24.(2)圆 M 的圆心在 yx2 上，设圆心为(a，2a)，圆 M

9、 与直线 xy0 及 xy40 都相切，圆心到直线 xy0 的距离等于圆心到直线 xy40 的距离，即|2a2|2|2a2|2，解得 a0，圆心坐标为(0，2)，圆 M 的半径为|2a2|2 2，圆 M 的标准方程为 x2(y2)22.考点二 与圆有关的最值问题 角度 1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例 21】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

10、所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3(如图 1).所以yx的最大值为 3，最小值为 3.精品 拼搏 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6(如图 2).所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3).又圆心到原点的距离为（20）2（00）22，所以 x2y2的最大值是(2 3)

11、274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.【规律方法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 maxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度 2 利用对称性求最值【例 22】已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.5 2

12、4 B.171 C.62 2 D.17【答案】A【解析】P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点 C1(2，3).所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5 2，即|PM|PN|PC1|PC2|45 24.【规律方法】求解形如|PM|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.【训练

13、2】(1)设点 P 是函数 y 4（x1）2图象上的任意一点，点 Q 坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|精品 拼搏 的最小值为_.(2)已知 A(0，2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆 C：x2y24x2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_.【答案】(1)52(2)2 5【解析】(1)函数 y 4（x1）2的图象表示圆(x1)2y24 在 x 轴及下方的部分，令点 Q 的坐标为(x，y)，则x2a，ya3，得 yx23，即 x2y60，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线 x2y60 的距离 d|1206|12（2）2 52，所以直线 x2y60 与圆(x1)2y2

14、4 相离，因此|PQ|的最小值是 52.(2)因为圆 C：x2y24x2y0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r 5的圆.设点 A(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m，n)，故m02n2220，n2m01，解得m4，n2，故 A(4，2).连接 AC 交圆 C 于 Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2 5.考点三 与圆有关的轨迹问题【例 3】已知圆 x2y24 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点.(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程.【答案】见解析【解析】(1)设 AP

15、 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2，2y).因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2).(2)设 PQ 的中点为 N(x，y).精品 拼搏 在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义

16、法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练 3】已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程.【答案】见解析【解析】(1)由 x2y26x50 得(x3)2y24，所以圆 C1的圆心坐标为(3，0).(2)设 M(x，y)，因为点 M 为线段 AB 的中点，所以 C1MAB，所以 kC1MkAB1，当 x3 时可得yx3yx1，整理得x322y294，又当直线 l 与 x 轴重合时，M

17、 点坐标为(3，0)，代入上式成立.设直线 l 的方程为 ykx，与 x2y26x50 联立，消去 y 得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得 k245，此时方程为95x26x50，解上式得 x53，因此53x3.所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x322y294530)，则 A(0，a).又 F(1，0)，所以AC(1，0)，AF(1，a).由题意得AC与AF的夹角为 120，得 cos 12011 1a212，解得 a 3.所以圆的方程为(x1)2(y 3)21.14.(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的

18、直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程.【答案】见解析【解析】(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0).设 A(x1，y1)，B(x2，y2).由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所

19、求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.【新高考创新预测】精品 拼搏 15.(多填题)已知实数 x，y 满足 x2y26x8y110，则 x2y2的最大值为_，|3x4y28|的最小值为_.【答案】11 5【解析】由题意知圆的标准方程为(x3)2(y4)236，其表示的是一个圆心为(3，4)，半径为 6 的圆，而 x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离，(x2y2)max32（4）2611，由圆的标准方程(x3)2(y4)236 可设其圆上点的坐标为x6cos 3，y6sin 4(为参数)，|3x4y28|18cos 24sin 35|30sin()35|其中tan 34，当 sin()1 时，|3x4y28|min5.精品 拼搏