专题.2常用逻辑用语-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版).pdf

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1、努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!第一篇 集合与不等式 专题 1.02 常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分

2、条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp 2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题 p 的否定记为p,读作“非 p”)名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对 M 中的任意一个 x,有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立 简记 xM,p(x)x0M,p(x0)否定 x0M,p(x0)xM,p(x)【微点提醒】1.区别 A

3、是 B 的充分不必要条件(AB 且 BA),与 A 的充分不必要条件是 B(BA 且 AB)两者的不同.2.A 是 B 的充分不必要条件B 是A 的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.【疑误辨析】努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知 p:x1 和 q:x1,则 p 是 q 的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.()(4)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.()【教材衍化】2.(选

4、修 21P26A3改编)命题“xR,x2x0”的否定是()A.x0R,x02x00 B.x0R,x02x00 C.xR,x2x0 D.xR,x2x2n,则p 为()A.nN,n22n B.nN,n22n C.nN,n22n D.nN,n22n 5.(2018天津卷)设 xR,则“x1212”是“x31”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!6.(2019济南调研)“a0”是“函数 f(x)sin x1xa 为奇函数”的_条件.【考点聚焦】考点一 充分条件与必要条件的判断【例 1】(1)(2018北京卷)设

5、a,b 均为单位向量,则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2019华大新高考联盟质检)设函数 f(x)2mx1,x0,x1x,x1 是 ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法:根据 pq,qp 进行判断.(2)集合法:根据使 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!【训练 1】(2018浙江卷)已知平面,直线 m,n 满足 m,n,则“mn”是“m”的

6、()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点二 充分条件、必要条件的应用典例迁移【例 2】(经典母题)已知 Px|x28x200,非空集合 Sx|1mx1m.若 xP 是 xS 的必要条件,求 m 的取值范围.【迁移探究 1】本例条件不变,若 xP 是 xS 的必要不充分条件,求 m 的取值范围.【迁移探究 2】本例条件不变,若 xP 的必要条件是 xS,求 m 的取值范围.【迁移探究 3】本例条件不变,问是否存在实数 m,使 xP 是 xS 的充要条件?并说明理由.努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!【规律方法】充分条件、必要条件的应用,一般表

7、现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练 2】(2019临沂月考)设 p:实数 x 满足 x24ax3a20.若 a0 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.考点三 全称量词与存在量词 角度 1 全(特)称命题的否定【例 31】(1)命题“nN*,f(n)N*且 f(n)n”的

8、否定形式是()A.nN*,f(n)N*且 f(n)n B.nN*,f(n)N*或 f(n)n C.n0N*,f(n0)N*且 f(n0)n0 D.n0N*,f(n0)N*或 f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()A.xR,1f(x)2 B.x0R,12 D.xR,f(x)1 或 f(x)2 角度 2 含有量词(、)的参数取值问题 【例 32】(经典母题)已知 f(x)ln(x21),g(x)12xm,若对x10,3,x21,2,使得 f(x1)g(x2),则实数 m 的取值范围是_.努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!【迁移探究】若将“x21

9、,2”改为“x21,2”,其他条件不变,则实数 m 的取值范围是_.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.【训练 3】(2019衡水调研)已知命题 p:xR,log2(x2xa)0 恒成立,命题 q:x02,2,2a2x0,若命题 p 和 q 都成立,则实数 a 的取值范围为_.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集

10、合间的包含关系判断:设 Ax|p(x),Bx|q(x);若 AB,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件;若 AB,则 p 是 q 的充要条件.2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.2.注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定.【核心素养提升】逻辑推理、数

11、学运算突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型 1 形如“对任意 x1A,都存在 x2B,使得 g(x2)f(x1)成立”【例 1】已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)x,g(x)196x13,若对任意 x11,1,总存在 x20,2,使得 f(x1)2ax1g(x2)成立,求实数 a 的取值范围.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的

12、关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于 a 的不等式组,求得参数的取值范围.类型 2 形如“存在 x1A 及 x2B,使得 f(x1)g(x2)成立”【例 2】已知函数 f(x)2x3x1,x12,1,13x16,x0,12,函数 g(x)ksinx62k2(k0),若存在 x10,1及 x20,1,使得 f(x1)g(x2)成立,求实数 k 的取值范围.努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!【评析】本类问题的实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类

13、型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型 3 形如“对任意 x1A,都存在 x2B,使得 f(x1)0 B.不存在 xZ,使 x22xm0 C.xZ,使 x22xm0 努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!D.xZ,使 x22xm0 2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是()A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 3.设 xR,则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充

14、分也不必要条件 4.(2019焦作模拟)命题 p:cos 22,命题 q:tan 1,则 p 是 q 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!6.已知命题 p:“x0,1,aex”,命题 q:“x0R,x024x0a0”.若命题 p 和 q 都成立,则实数 a 的取值范围是()A.(4,)B.1,4 C.e,4 D.(

15、,1)7.(2017北京卷)设 m,n 为非零向量,则“存在负数,使得 mn”是“mn1 C.a4 D.a4 二、填空题 9.直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点的充要条件是_.10.已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的充要条件,那么 p 是 q 的_条件.11.已知“p:(xm)23(xm)”是“q:x23x4b”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.设 p:实数 x 满足 x24ax3a20,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是_.16.设数列an是等比数列,求证:“an是递增数列”的充要条件为“a1a2b,则1a1b”为假命题的一组 a,b 的值依次为_(填写一个正确的即可).努力的你,未来可期!拼搏的你,背影很美!

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