专题.1直线与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版).pdf

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1、精品 拼搏 第八篇 平面解析几何 专题 8.01 直线与方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角；(2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0；(3)范围：直线的倾斜角 的取值范围是0，).2.直线的斜

2、率(1)定义：当直线 l 的倾斜角 2时，其倾斜角 的正切值 tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即 ktan；(2)斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1.3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 yy0k(xx0)两点式 过两点 yy1y2y1xx1x2x1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 xayb1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0(A2B20)所有直线 精品 拼搏【微点

3、提醒】1.直线的斜率 k 和倾斜角 之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为 0，这是解题时容易忽略的一点.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为 tan，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()【教材衍化】2.(必修 2P89B5 改

4、编)若过两点 A(m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为 12，则直线的方程为_.3.(必修 2P100A9 改编)过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_.【真题体验】4.(2019济南调研)直线 xy10 的倾斜角为()A.30 B.45 C.120 D.150 精品 拼搏 5.(2019广东七校联考)若过点 P(1a，1a)和 Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是()A.(2，1)B.(1，2)C.(，0)D.(，2)(1，)6.(2018兰州模拟)已知直线 l 过点 P(1，3)，且与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于 6，则直线l

5、的方程是()A.3xy60 B.x3y100 C.3xy0 D.x3y80 【考点聚焦】考点一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】(1)直线 2xcos y306，3的倾斜角的取值范围是()A.6，3 B.4，3 C.4，2 D.4，23(2)(一题多解)(经典母题)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线 l斜率的取值范围为_.【迁移探究 1】若将例 1(2)中 P(1，0)改为 P(1，0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.精品 拼搏 【迁移探究 2】若将例 1(2)中的 B 点坐标改为 B(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜

6、角的取值范围.【规律方法】1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 ytan x 在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为2时，直线斜率不存在.【训练 1】若直线 l：ykx 3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是()A.6，3 B.6，2 C.3，2 D.3，2 考点二 直线方程的求法【例 2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点 P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(1，3)

7、，倾斜角等于直线 y3x 的倾斜角的 2 倍；(3)经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.精品 拼搏 【规律方法】1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练 2】(1)求过点 A(1，3)，斜率是直线 y4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点 A(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程.考点三 直线方程的综合应用 角度 1 与不等式相结合的最值问题【例 31】设 mR，过定点

8、A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.精品 拼搏 角度 2 由直线方程求参数范围【例 32】已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_.【规律方法】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练 3】如图，在两条互相垂直的道路

9、l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路 l1的垂直距离为4 米，到道路 l2的垂直距离为 3 米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为_米.精品 拼搏 【反思与感悟】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.【易错防范】倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一

10、种特殊规定的角，其范围是0，)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合 ytan x 在0，2和2，上的变化规律.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35 分钟)一、选择题 1.直线 x 3y10 的倾斜角是()A.6 B.3 C.23 D.56 精品 拼搏 2.如图中的直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则()A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2 3.(2019北京延庆区模拟)若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a()A.1 2或 0 B.2 52或 0

11、 C.2 52 D.2 52或 0 4.(2019福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是()5.已知直线 l 经过 A(2，1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是()A.0，)B.0，42，精品 拼搏 C.0，4 D.4，22，6.已知直线l的斜率为 3，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.y 3x2 B.y 3x2 C.y 3x12 D.y 3x2 7.直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()A.1，15 B.，12(

12、1，)C.(，1)15，D.(，1)12，8.已知函数 f(x)asin xbcos x(a0，b0)，若 f4x f4x，则直线 axbyc0 的倾斜角为()A.4 B.3 C.23 D.34 二、填空题 9.已知三角形的三个顶点 A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为_.10.过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.11.若经过两点 A(4，2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角是直线 4x3y2 0190 的倾斜角的一半，则 y 的值为_.精品 拼搏 12.设点 A(1，0)，B(1，0)，直线 2xyb0 与线段 AB 相交，则

13、 b 的取值范围是_.【能力提升题组】(建议用时：20 分钟)13.(2019天津和平区调研)若 是直线 l 的倾斜角，且 sin cos 55，则 l 的斜率为()A.12 B.12或2 C.12或 2 D.2 14.已知数列an的通项公式为 an1n（n1）(nN*)，其前 n 项和 Sn910，则直线xn1yn1 与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.36 B.45 C.50 D.55 15.已知直线 l 过点 P(2，1)，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a，b，且满足 a3b，则直线 l 的方程为_.16.已知直线 l：kxy12k0(kR).精品 拼搏(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.精品 拼搏