专题.3圆与方程-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版).pdf

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1、精品 拼搏 第八篇 平面解析几何 专题 8.03 圆与方程【考试要求】掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.【知识梳理】1.圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心 C(a，b)半径为 r 一般 x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0 圆心坐标：D2，E2 半径 r12D2E24F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外；(2)|MC|rM 在圆上，

2、即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上；(3)|MC|rM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内.【微点提醒】1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2y2r2.2.以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆.()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆.()(4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0，D2E24AF0.()精品 拼搏【教

3、材衍化】2.(必修 2P124A1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，3 C.(2，3)，13 D.(2，3)，13 3.(必修 2P130 例 3 改编)过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24 【真题体验】4.(2019日照调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A.(1，1)B.(0，1)C.(，1)(1，)D.a1 5.(2019荆州模拟)若

4、圆(x1)2(y1)22 关于直线 ykx3 对称，则 k 的值是()A.2 B.2 C.1 D.1 6.(2016浙江卷)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.精品 拼搏【考点聚焦】考点一 圆的方程【例 1】(1)(一题多解)(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_.(2)(一题多解)已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，圆 C 与直线 xy0 相切，且在直线 xy30 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为_.【规律方法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有

5、两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练 1】(1)若圆 C：x2y12m2n 的圆心为椭圆 M：x2my21 的一个焦点，且圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 的标准方程为_.精品 拼搏(2)(2018枣庄模拟)已知圆 M 与直线 xy0 及 xy40 都相切，且圆心在直线 yx2 上，则圆 M的标准方程为_.考点二 与圆有关的最值问题 角度 1 斜率型、截距型、距离型最值问题【

6、例 21】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值.【规律方法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；精品 拼搏(2)形如 maxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度 2 利用对称性求最值【例 22】已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(

7、y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.5 24 B.171 C.62 2 D.17 【规律方法】求解形如|PM|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.【训练 2】(1)设点 P 是函数 y 4（x1）2图象上的任意一点，点 Q 坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_.(2)已知 A(0，2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆

8、 C：x2y24x2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_.精品 拼搏 考点三 与圆有关的轨迹问题【例 3】已知圆 x2y24 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点.(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练 3】已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y2

9、6x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程.精品 拼搏 【反思与感悟】1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.【易错防范】1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题 精品 拼搏 1.(2019宁波调研

10、)已知圆C的圆心为(2，1)，半径长是方程(x1)(x4)0的解，则圆C的标准方程为()A.(x1)2(y2)24 B.(x2)2(y1)24 C.(x2)2(y1)216 D.(x2)2(y1)216 2.(2019临沂模拟)已知圆 C：(x6)2(y8)24，O 为坐标原点，则以 OC 为直径的圆的方程为()A.(x3)2(y4)2100 B.(x3)2(y4)2100 C.(x3)2(y4)225 D.(x3)2(y4)225 3.若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数 a 的取值范围是()A.(，2)23，B.23，0 C.(2，0)D.2，23 4.点 P(4，2)与

11、圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x2)2(y1)21 B.(x2)2(y1)24 C.(x4)2(y2)24 D.(x2)2(y1)21 5.已知点 A 是直角三角形 ABC 的直角顶点，且 A(2a，2)，B(4，a)，C(2a2，2)，则ABC 外接圆的方程是()A.x2(y3)25 B.x2(y3)25 C.(x3)2y25 D.(x3)2y25 精品 拼搏 二、填空题 6.已知圆 C：(x2)2(ym4)21，当 m 变化时，圆 C 上的点与原点 O 的最短距离是_.7.(2019湖州模拟)已知圆 C：x2y2kx2yk2，当圆 C 的面积取最大值时，圆心 C

12、的坐标为_.8.已知点 M(1，0)是圆 C：x2y24x2y0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是_.三、解答题 9.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD|4 10.(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程.精品 拼搏 10.已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积.【能力提升题组】(建议用时：20 分

13、钟)11.若圆 过点(0，1)，(0，5)，且被直线 xy0 截得的弦长为 2 7，则圆 的方程为()A.x2(y2)29 或(x4)2(y2)225 B.x2(y2)29 或(x1)2(y2)210 C.(x4)2(y2)225 或(x4)2(y2)217 精品 拼搏 D.(x4)2(y2)225 或(x4)2(y1)216 12.已知圆 C：(x3)2(y4)21，设点 P 是圆 C 上的动点.记 d|PB|2|PA|2，其中 A(0，1)，B(0，1)，则 d 的最大值为_.13.(2017天津卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC120，则圆的方程为_.14.(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程.精品 拼搏 【新高考创新预测】15.(多填题)已知实数 x，y 满足 x2y26x8y110，则x2y2的最大值为_，|3x4y28|的最小值为_.精品 拼搏