专题.1函数的概念-00届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第二篇 函数及其性质 专题 2.01 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念 设 A，B 都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA.2.函数的定义域、值域(1)在函数 yf

2、(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图

3、象有 0 个或 1 个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(1)函数 y1 与 yx0是同一个函数.()(2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.()(3)f(x)x3 2x是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)错误.函数 y1 的定义域为 R，而 yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域 CB，不一定有 CB.(3)错

4、误.f(x)x3 2x中 x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.【教材衍化】2.(必修 1P25B2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是()【答案】B【解析】A 中函数定义域不是2，2；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是0，2.3.(必修 1P18 例 2 改编)下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是()A.y(x1)2 B.y3x31 C.yx2x1 D.y x21【答案】B【解析】对于 A，函数 y(x1)2的定义域为x|x1，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；

5、对于 B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于 C.函数 yx2x1 的定义域为x|x0，与函数yx1 的定义域 xR 不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019北京海淀区期中)已知 f(x5)lg x，则 f(2)()A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【答案】A【解析】令 x52，则 x215，f(2)lg 21515lg 2.5.(2019河南、河北两省重点高中联考)函数 f(x)44xln(x4)的定义域为_.【答案】(4，1【解析】f(x)有意

6、义，则44x0，x40，解得40，且 xk2(kZ).1x1 且4kxk2，kZ，可得4x1.则函数的定义域为4，1.(2)因为 yf(x)的定义域为0，2，所以要使 g(x)有意义应满足02x2，x10，解得 0 x0且x1.函数的定义域是(0，1).(2)易知 ff(x)flg(1x)lg1lg(1x)，则1x0，1lg（1x）0，解得9x1)(2)12x232x2(3)23x13【解析】(1)令 t2x1(t1)，则 x2t1，f(t)lg2t1，即 f(x)lg2x1(x1).(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)2，得 c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2a

7、x2bx22axabx1，所以2a1，ab1，即a12，b32.f(x)12x232x2.(3)在 f(x)2f1xx1 中，将 x 换成1x，则1x换成 x，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！得 f1x2f(x)1x1，由f(x)2f1x x1，f1x2f(x)1x1，解得 f(x)23x13.【规律方法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数 fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x

8、).【训练 2】(1)(2019杭州检测)已知函数 f(x)axb(a0)，且 ff(x)4x3，则 f(2)_；(2)若 f(x)满足 2f(x)f(x)3x，则 f(x)_.【答案】(1)3(2)3x【解析】(1)易知 ff(x)a(axb)ba2xabb，a2xabb4x3(a0)，因此a24，abb3，解得a2，b1.所以 f(x)2x1，则 f(2)3.(2)因为 2f(x)f(x)3x，所以将 x 用x 替换，得 2f(x)f(x)3x，由解得 f(x)3x.考点三 分段函数 角度 1 分段函数求值【例 31】(2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区

9、间(2，2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，则 ff(15)的值为_.【答案】22【解析】因为函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区间(2，2上，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，所以 f(15)f(1)12，因此 ff(15)f12cos 422.角度 2 分段函数与方程、不等式问题【例 32】(1)设函数 f(x)3xb，x0，则满足 f(x)fx121 的 x 的取值范围是_.【答案】(1)D(2)14，【解析】(1)f56356b52b，若52b32时，则 f

10、 f 56f 52b 352b b4，解得 b78，不合题意舍去.若52b1，即 b32，则 252b4，解得 b12.(2)当 x0 时，f(x)fx12(x1)x121，原不等式化为 2x321，解得14x0，当 01，该式恒成立，当 x12时，f(x)fx122x2x12，又 x12时，2x2x12212201 21 恒成立，综上可知，不等式的解集为14，.【规律方法】1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注

11、意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练 3】(1)(2019合肥模拟)已知函数 f(x)x1x2，x2，x22，x2，则 ff(1)()A.12 B.2 C.4 D.11(2)已知函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_.【答案】(1)C(2)0，12【解析】(1)由题意知 f(1)1223，因此 ff(1)f(3)31324.(2)当 x1 时，f(x)2x11，函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，当 x0，12a3a1，解得 0a12

12、.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.【易错防范】1.复合函数 fg(x)的定义域也是解析式中 x 的范围，不要和 f(x)的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35 分钟)一、选择题 1.

13、函数 f(x)2x11x2的定义域为()努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！A.0，2)B.(2，)C.0，2)(2，)D.(，2)(2，)【答案】C【解析】由题意知2x10，x20，得x0，x2，所以函数的定义域为0，2)(2，).2.(2019郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()【答案】D【解析】由 y 与 x 的关系知，在中间时间段 y 值不变，只有 D 符合题意.3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10lg x的定义域和值域相同的是()A.yx B.ylg x C.y2x

14、 D.y1x【答案】D【解析】函数 y10lg x的定义域、值域均为(0，)，而 yx，y2x的定义域均为 R，排除 A，C；ylg x 的值域为 R，排除 B；D 中 y1x的定义域、值域均为(0，).4.设函数 f(x)1log2（2x），x1，f(log212)2(log212)12log266，因此 f(2)f(log212)369.5.(2019西安联考)已知函数 f(x)x24x，xm，5的值域是5，4，则实数 m 的取值范围是()A.(，1)B.(1，2 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！C.1，2 D.2，5【答案】C【解析】f(x)x24x(x2)24.当 x2 时，f

15、(2)4.由 f(x)x24x5，得 x5 或 x1.要使 f(x)在m，5上的值域是5，4，则1m2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为()A.yx10 B.yx310 C.yx410 D.yx510【答案】B【解析】代表人数与该班人数的关系是除以 10 的余数大于 6，即大于等于 7 时要增加一名，故 yx310.7.(2017山东卷)设 f(x)x，0 x1，2（x1），x1，若 f(a

16、)f(a1)，则 f1a()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由已知得 0a1，则 f(a)a，f(a1)2a，所以 a2a，解得 a14或 a0(舍去)，所以 f1af(4)2(41)6.8.(2019上饶质检)已知函数 f(x)x2x，x0，3x，x0，则实数 a 的取值范围为()A.(1，)B.(2，)C.(，1)(1，)D.(，2)(2，)【答案】D【解析】当 a0 时，显然不成立.当 a0 时，不等式 af(a)f(a)0 等价于 a22a0，解得 a2.当 a0 等价于 a22a0，解得 a0，x0，1x20 x0，x0，1x10 x1.f(x)的定义域为(0，1.1

17、0.已知函数 f(x)满足 f1x1xf(x)2x(x0)，则 f(2)_.【答案】72【解析】令 x2，可得 f1212f(2)4，令 x12，可得 f(2)2f121 联立解得 f(2)72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是_.f(x)|x|x与 g(x)1，x0，1，x0，表示同一函数；函数 yf(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 ff120.【答案】【解析】对于，由于函数 f(x)|x|x的定义域为x|xR 且 x0，而函数 g(x)1，x0，1，x0，则使 f(x)12的 x 的集

18、合为_.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【答案】1，2，22【解析】由题意知，若 x0，则 2x12，解得 x1；若 x0，则|log2x|12，解得 x212或 x212.故 x 的集合为1，2，22.【能力提升题组】(建议用时：15 分钟)13.具有性质：f1xf(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：yx1x；yln 1x1x；yx，0 x1.其中满足“倒负”变换的函数是()A.B.C.D.【答案】B【解析】对于，f(x)x1x，f1x1xxf(x)，满足题意；对于，f(x)ln 1x1x，则 f1xln x1x1f(x)，不满足；对于，f1x1x，01x1，即

19、f1x1x，x1，0，x1，x，0 x1，则 f1xf(x).所以满足“倒负”变换的函数是.14.(2019河南八市联考)设函数 f(x)x，x1（R），2x，x1，若对任意的 aR 都有 ff(a)2f(a)成立，则 的取值范围是()A.(0，2 B.0，2 C.2，)D.(，2)【答案】C【解析】当 a1 时，2a2.ff(a)f(2a)22a2f(a)恒成立.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！当 a0，所以 f1xlog2x，则 f(x)log21xlog2x.16.(2019绍兴调研)设 f(x)2ex1，x2，log3（x21），x2，则 f(f(1)_；不等式 f(x)2 的

20、解集为_.【答案】1(1，2)(10，)【解析】f(1)2e02，f(f(1)f(2)log3(41)1.当 x2 时，f(x)2 即 ex11e0，x1，1x2.当 x2 时，f(x)2 即为 log3(x21)2log332，x210，即 x 10或 x 10，x 10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数 f(x)满足：f(f(x)x0 恒成立，则 f(x)的解析式不可能是()A.f(x)2 019x B.f(x)ex C.f(x)x2 D.f(x)lg 1x2【答案】ACD【解析】A 中，f(f(x)f2 109xx(x0)恒成立，所以 f(f(x)x0 不恒成立，A 正确；B 中，因为 exx，所以 eexexx，所以 f(f(x)eexx 恒成立，B 错误；C 中，f(f(x)x4x，此方程有 x0 或 x1 两个根，所以 f(f(x)x0 不恒成立，C 正确；D 中，x0 时，f(f(x)x 成立，所以 f(f(x)x0 不恒成立，D 正确.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！