专题.2利用导数研究函数的单调性-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第三篇 导数及其应用 专题 3.02 利用导数研究函数的单调性【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若

2、 f(x)0，右侧 f(x)0 x0附近的左侧 f(x)0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！值.【微点提示】1.函数 f(x)在

3、区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.()(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0

4、，则 f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有 f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为 f(x)的极值点的充要条件是 f(x0)0，且 x0两侧导函数异号.【教材衍化】2.(选修 22P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案

5、】A【解析】由题意知在 x1 处 f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正.3.(选修 22P32A5(4)改编)函数 f(x)2xxln x 的极值是()A.1e B.2e C.e D.e2 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【答案】C【解析】因为 f(x)2(ln x1)1ln x，令 f(x)0，所以 xe，当 f(x)0 时，解得 0 xe；当 f(x)e，所以 xe 时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.【真题体验】4.(2019青岛月考)函数 f(x)cos xx 在(0，)上的单调性是()A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减【答案】D【解析】易知

6、 f(x)sin x1，x(0，)，则 f(x)0，所以 f(x)cos xx 在(0，)上递减.5.(2017浙江卷)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是()【答案】D【解析】设导函数 yf(x)与 x 轴交点的横坐标从左往右依次为 x1，x2，x3，由导函数 yf(x)的图象易得当 x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中 x10 x2x3)，所以函数 f(x)在(，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，)上单调递增，观察各选项，只有 D 选项符合.6.(2019豫南九校考评)若函数 f(x)x(xc)2在 x2 处

7、有极小值，则常数 c 的值为()A.4 B.2 或 6 C.2 D.6【答案】C【解析】函数 f(x)x(xc)2的导数为 f(x)3x24cxc2，由题意知，在 x2 处的导数值为 128cc20，解得 c2 或 6，又函数 f(x)x(xc)2在 x2 处有极小值，故导数在 x2 处左侧为负，右侧为正，而当 e6 时，f(x)x(x6)2在 x2 处有极大值，故 c2.【考点聚焦】努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！考点一 求函数的单调区间【例 1】已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值.(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区

8、间.【答案】见解析【解析】(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f430，即 3a43224316a3830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2ex，故 g(x)12x(x1)(x4)ex.令 g(x)0，即 x(x1)(x4)0，解得1x0 或 x0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式 f(x)0)，当 f(x)0 时，解得 x1e，即函数的单调递增区间为1e，；当 f(x)0 时，解得 0 x0，则其在区间(，)上的解集为，2和0，2，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！即 f(x)的单调递增区间为，2，0，2

9、.考点二 讨论函数的单调性【例 2】(2017全国卷改编)已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0，求 a 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(，)，且 a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若 a0，则 f(x)e2x，在(，)上单调递增.若 a0，则由 f(x)0，得 xln a2.当 x，lna2时，f(x)0.故 f(x)在，lna2上单调递减，在区间lna2，上单调递增.(2)当 a0 时，f(x)e2x0 恒成立.若 aa2e34时，f(x)0.综上，a 的取值范围是2

10、e34，0.【规律方法】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点.2.个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)，f(x)在 R上是增函数.【训练 2】已知 f(x)x22aln x，aR，求 f(x)的单调区间.【答案】见解析 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【解析】因为 f(x)x22aln x，x(0，)，所以 f(x)xaxx2ax.(1)当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，

11、)上为单调递增函数.(2)当 a0 时，f(x)（x a）（x a）x，则有 当 x(0，a)时，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(a，).综上所述，当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间.当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，).考点三 函数单调性的简单应用 角度 1 比较大小或解不等式【例 31】(1)已知函数 yf(x)对于任意的 x0，2满足 f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中 f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.2f3f4 C.2f6 3f4 D.3f3f6(2)已知函

12、数 f(x)是函数 f(x)的导函数，f(1)1e，对任意实数都有 f(x)f(x)0，设 F(x)f（x）ex，则不等式F(x)1e2的解集为()A.(，1)B.(1，)C.(1，e)D.(e，)【答案】(1)B(2)B【解析】(1)令g(x)f（x）cos x，则g(x)f(x)cos xf(x)(sin x)cos2x1ln xcos2x.由0 x0，解得1ex2；由0 x2，g(x)0，解得 0 x4，所以 g3g4，所以f3cos 3f4cos 4，即 2f3f4.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(2)F(x)f(x)exexf(x)(ex)2f(x)f(x)ex，又 f(x

13、)f(x)0，知 F(x)0，F(x)在 R 上单调递减.由 F(x)1，所以不等式 F(x)0.h(x)1xax2.(1)若函数 h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当 x0 时，1xax21x22x有解.设 G(x)1x22x，所以只要 aG(x)min.又 G(x)1x121，所以 G(x)min1.所以 a1.即实数 a 的取值范围是(1，).(2)由 h(x)在1，4上单调递减，当 x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，则 a1x22x恒成立，设 G(x)1x22x，所以 aG(x)max.又 G(x)1x121，x1，4，因为 x1，4，所以1x14，1，所以 G(x)max

14、716(此时 x4)，所以 a716.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！又当 a716时，h(x)1x716x2（7x4）（x4）16x，x1，4，h(x)（7x4）（x4）16x0，当且仅当 x4 时等号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数 a 的取值范围是716，.【规律方法】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意

15、的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练 3】(1)已知 f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为 f(x)，且不等式 xf(x)2f(x)恒成立，则()A.4f(1)f(2)C.f(1)4f(2)(2)(2019淄博模拟)若函数 f(x)kxln x 在区间(2，)上单调递增，则 k 的取值范围是()A.(，2 B.12，C.2，)D.，12【答案】(1)B(2)B【解析】(1)设函数 g(x)f(x)x2(x0)，则 g(x)x2f

16、(x)2xf(x)x4xf(x)2f(x)x3g(2)，即f(1)12f(2)22，所以 4f(1)f(2).(2)由于 f(x)k1x，f(x)kxln x 在区间(2，)上单调递增，等价于 f(x)k1x0 在(2，)上恒成立，由于 k1x，而 01x0，f(x)0(f(x)0；在(0，)上，f(x)0，解得 xe1，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！所以函数 f(x)的单调递增区间是(e1，).3.(2019青岛二中调研)若函数 f(x)x312x 在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是()A.k3 或1k1 或 k3 B.不存在这样的实数 k C.2k2 D

17、.3k1 或 1k3【答案】D【解析】由 f(x)x312x，得 f(x)3x212，令 f(x)0，解得 x2 或 x2，只要 f(x)0 的解有一个在区间(k1，k1)内，函数 f(x)在区间(k1，k1)上就不单调，则 k12k1 或 k12k1，解得3k1 或 1kf(e)f(3)B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e)D.f(e)f(3)f(2)【答案】D【解析】f(x)的定义域是(0，)，f(x)1ln xx2，x(0，e)，f(x)0，x(e，)，f(x)f(3)f(2).5.(2019济宁一中模拟)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)

18、2，则 f(x)2x4 的解集为()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)【答案】B【解析】由 f(x)2x4，得 f(x)2x40，设 F(x)f(x)2x4，则 F(x)f(x)2，因为 f(x)2，所以 F(x)0 在 R 上恒成立，所以 F(x)在 R 上单调递增.又 F(1)f(1)2(1)42240，故不等式 f(x)2x40 等价于 F(x)F(1)，所以 x1.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！二、填空题 6.已知函数 f(x)(x22x)ex(xR，e 为自然对数的底数)，则函数 f(x)的单调递增区间为_.【答案】(2，2)【解析】因为 f(x)(x22x)

19、ex，所以 f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令 f(x)0，即(x22)ex0，因为 ex0，所以x220，解得 2x0，解得 a3，所以实数 a 的取值范围是(3，0)(0，).8.若函数 f(x)13x312x22ax 在23，上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_.【答案】19，【解析】对 f(x)求导，得 f(x)x2x2ax122142a.当 x23，时，f(x)的最大值为 f23292a.令292a0，解得 a19.所以 a 的取值范围是19，.三、解答题 9.已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线

20、垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间.【答案】见解析【解析】(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x454xln x32(x0).则 f(x)x24x54x2.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！令 f(x)0，且 x0，x5(x1 舍去).当 x(0，5)时，f(x)5 时，f(x)0.所以函数 f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).10.(2019成都七中检测)设函数 f(x)ax2aln x，g(x)1x

21、eex，其中 aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x1 时，g(x)0.【答案】见解析【解析】(1)解：由题意得 f(x)2ax1x2ax21x(x0).当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0 有 x12a，当 x0，12a时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明 令 s(x)ex1x，则 s(x)ex11.当 x1 时，s(x)0，所以 s(x)s(1)，即 ex1x，从而 g(x)1xeexe（ex1x）xex0.【能力提升题组】(建议用时：20 分钟)11.(2017山东卷)若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)

22、在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是()A.f(x)2x B.f(x)x2 C.f(x)3x D.f(x)cos x【答案】A【解析】设函数 g(x)exf(x)，对于 A，g(x)ex2xe2x，在定义域 R 上为增函数，A 正确.对于 B，g(x)exx2，则 g(x)x(x2)ex，由 g(x)0 得 x0，g(x)在定义域 R 上不是增函数，B 不正确.对于 C，g(x)ex3xe3x在定义域 R 上是减函数，C 不正确.对于 D，g(x)excos x，则 g(x)2excosx4，g(x)0在定义域 R 上不恒成立，D 不正

23、确.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！12.(2019上海静安区调研)已知函数 f(x)xsin xcos xx2，则不等式 f(ln x)fln 1x2f(1)的解集为()A.(e，)B.(0，e)C.0，1e(1，e)D.1e，e 【答案】D【解析】f(x)xsin xcos xx2是偶函数，所以 fln 1xf(ln x)f(ln x).则原不等式可变形为 f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得 x0 时，f(x)0.所以 f(x)在(0，)上单调递增.|ln x|11ln x11ex0 时，f(x)的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，)；当 a0 时，f(x)的递增区

24、间为(1，)，递减区间为(0，1)；当 a0 时，f(x)为常函数.(2)由(1)及题意得 f(2)a21，即 a2，f(x)2ln x2x3，f(x)2x2x.g(x)x3m22 x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即 g(x)在区间(t，3)上有变号零点.由于 g(0)2，g(t)0.当 g(t)0 时，即 3t2(m4)t20 对任意 t1，2恒成立，由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0，即 m5 且 m9，即 m0，即 m373.373m9.即实数 m 的取值范围是373，9.【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数 f(x)x3mx2nx2 的图象过点(1，6)，函数 g(x)f(x)6x 的图象关于 y 轴对称.则 m_，f(x)的单调递减区间为_.【答案】3(0，2)【解析】由函数 f(x)的图象过点(1，6)，得 mn3.由 f(x)x3mx2nx2，得 f(x)3x22mxn，所以 g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.因为 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以2m6230，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！所以 m3，代入得 n0，所以 f(x)3x26x3x(x2).由 f(x)0，得 0 x2，所以 f(x)的单调递减区间是(0，2).努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！