专题.5指数与指数函数-00届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第二篇 函数及其性质 专题 2.05 指数与指数函数【考试要求】1.通过对有理数指数幂 amn(a0，且 a1；m，n 为整数，且 n0)、实数指数幂 ax(a0，且 a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.【知识梳理】1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na)na(a 使na有意义)；当 n 为奇数时，nana，当 n 为

2、偶数时，nan|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质 a1 0a0 时，y1；当 x1；努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！当 x0 时，0y0 时，0y0，且 a1)的图象，应抓住三个关

3、键点：(1，a)，(0，1)，1，1a.2.在第一象限内，指数函数 yax(a0 且 a1)的图象越高，底数越大.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)4（4）44.()(2)(1)24(1)12 1.()(3)函数 y2x1是指数函数.()(4)函数 yax21(a1)的值域是(0，).()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由于4（4）44444，故(1)错.(2)(1)244（1）21，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为 yax(a0，且 a1)，故 y2x1不是指数函数，故(3)错.(4)由于 x211，又 a1，ax21a.故 yax21(a1)

4、的值域是a，)，(4)错.【教材衍化】2.(必修 1P56 例 6 改编)若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过2，13，则 f(1)()A.1 B.2 C.3 D.3【答案】C【解析】依题意可知 a213，解得 a33，所以 f(x)33x，所以 f(1)331 3.3.(必修 1P59A6 改编)某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为()A.ya(1p%)x(0 xm)B.ya(1p%)x(0 xm，xN)C.ya(1xp%)(0 x0，将a2a

5、3a2表示成分数指数幂，其结果是()A.a12 B.a56 C.a76 D.a32【答案】C【解析】由题意得a2a3a2a21213a76.5.(2017北京卷)已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)()A.是偶函数，且在 R 上是增函数 B.是奇函数，且在 R 上是增函数 C.是偶函数，且在 R 上是减函数 D.是奇函数，且在 R 上是减函数【答案】B【解析】函数 f(x)的定义域为 R，f(x)3x13x13x3xf(x)，函数 f(x)是奇函数.又 y3x在 R 上是增函数，函数 y13x在 R 上是减函数，函数 f(x)3x13x在 R 上是增函数.6.(2019潍坊检测)设 a0

6、.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！A.abc B.acb C.bac D.bca【答案】C【解析】根据指数函数 y0.6x在 R 上单调递减可得 0.61.50.60.61，ba0，b0).【答案】见解析【解析】(1)原式1144912110012 114231101161101615.(2)原式（a3b2a13b23）12ab2a13b13a3216113b113213ab.【规律方法】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2

7、)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练 1】化简下列各式：(1)(0.06415)2.52333380；(2)56a13b2(3a12b1)(4a23b3)12.【答案】见解析【解析】(1)原式641 000155223278131 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！4103155223323131 523210.(2)原式52a16b3(4a23b3)12 54a16b3(a13b23)54a12b23 541ab35 ab4ab2.考点二 指数函数的图象及应用【例 2】(1)(20

8、19镇海中学检测)不论 a 为何值，函数 y(a1)2xa2恒过定点，则这个定点的坐标是()A.1，12 B.1，12 C.1，12 D.1，12(2)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.【答案】(1)C(2)(0，2)【解析】(1)y(a1)2xa2a2x122x，令 2x120，得 x1，故函数 y(a1)2xa2恒过定点1，12.(2)在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示.当 0b1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0(2)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_.【答案】(1)D(2)1，

9、1【解析】(1)由 f(x)axb的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以 b1.73 B.0.610.62 C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.93.1(2)设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_.【答案】(1)B(2)(3，1)【解析】(1)A 中，函数 y1.7x在 R 上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B 中，y0.6x在 R 上是减函数，10.62，正确；努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！C 中，(

10、0.8)11.25，问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小.y1.25x在 R 上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即 0.80.11,00.93.10.93.1，错误.(2)当 a0 时，原不等式化为12a71，则 2a3，所以3a0.当 a0 时，则 a1，0a0，12a44a2，解得 a1，这时 g(x)x22x3，f(x)13x22x3.由于 g(x)的单调递减区间是(，1，所以 f(x)的单调递增区间是(，1.角度 3 函数的最值问题 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【例 33】如果函数 ya2x2ax1(a0，且 a1)在区间1，1上的最

11、大值是 14，则 a 的值为_.【答案】3 或13【解析】令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1，1，所以 t1a，a，又函数 y(t1)22 在1a，a 上单调递增，所以 ymax(a1)2214，解得 a3(负值舍去).当 0a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则 M(a1)0.2与 N1a0.1的大小关系是()A.MN B.MN C.MN(2)函数 f(x)3x25x4的单调递增区间为_，单调递减区间为_.(3)已知函数 f(x)bax(其中 a，b 为常量，且 a0，a1)的图象经过点 A(1，6)，B(3，24).若不等式1ax

12、1bxm0 在 x(，1上恒成立，则实数 m 的最大值为_.【答案】(1)D(2)4，)(，1(3)56【解析】(1)因为 f(x)x2a与 g(x)ax(a1，且 a2)在(0，)上具有不同的单调性.所以 a2.因此 M(a1)0.21，N1a0.1N.(2)依题意知 x25x40，解得 x4 或 x1，令 u x25x4x52294，x(，14，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！)，所以当 x(，1时，u 是减函数，当 x4，)时，u 是增函数.而 31，所以由复合函数的单调性可知，f(x)3x25x4在区间(，1上是减函数，在区间4，)上是增函数.(3)把 A(1，6)，B(3，2

13、4)代入 f(x)bax，得6ab，24ba3，结合 a0，且 a1，解得a2，b3，所以 f(x)32x.要使12x13xm 在区间(，1上恒成立，只需保证函数 y12x13x在区间(，1上的最小值不小于 m 即可.因为函数 y12x13x在区间(，1上为减函数，所以当 x1 时，y12x13x有最小值56.所以只需 m56即可.所以 m 的最大值为56.【反思与感悟】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x1 得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数 a 的大小，

14、当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 0a1 两种情况分类讨论.【易错防范】1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为 a2xbaxc0 或 a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题 1.(2019北京延庆区模拟)下列函数中，与函数 y2x2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.ysin x B.yx3 C.y12x D.ylog2x【答案】B【解析】y2x2x是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数

15、.而 ysin x 不是单调递增函数，不符合努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！题意；y12x是非奇非偶函数，不符合题意；ylog2x 的定义域是(0，)，不符合题意；yx3是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意.2.函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可能是()【答案】D【解析】若 a1 时，yax1a在 R 上是增函数，当 x0 时，y11a(0，1)，A，B 不满足.若 0a1 时，yax1a在 R 上是减函数，当 x0 时，y11a0，a1)的图象恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是()A.y 1x B.y|x2|C.y2x1 D.ylog2(2x)【答案】

16、A【解析】f(x)过定点 A(1，1)，将点 A(1，1)代入四个选项，y 1x的图象不过点 A(1，1).4.设 x0，且 1bxax，则()A.0ba1 B.0ab1 C.1ba D.1a0 时，11.又 x0 时，bx0 时，abx1.ab1，ab，1b0，且 a1)，满足 f(1)19，则 f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！C.2，)D.(，2【答案】B【解析】由 f(1)19，得 a219，解得 a13或 a13(舍去)，即 f(x)13|2x4|.由于 y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以 f(x)在(，2

17、上单调递增，在2，)上单调递减.二、填空题 6.化简（a23b1）12a12b136ab5_.【答案】1a【解析】原式a13b12a12b13a16b56a131216b1213561a.7.函数 y14x12x1 在区间3，2上的值域是_.【答案】34，57 【解析】令 t12x，因为 x3，2，所以 t14，8，故 yt2t1t12234.当 t12时，ymin34；当 t8 时，ymax57.故所求函数的值域为34，57.8.设偶函数 g(x)a|xb|在(0，)上单调递增，则 g(a)与 g(b1)的大小关系是_.【答案】g(a)g(b1)【解析】由于 g(x)a|xb|是偶函数，知

18、b0，又 g(x)a|x|在(0，)上单调递增，得 a1.则 g(b1)g(1)g(1)，故 g(a)g(1)g(b1).三、解答题 9.已知函数 f(x)12ax，a 为常数，且函数的图象过点(1，2).(1)求 a 的值；(2)若 g(x)4x2，且 g(x)f(x)，求满足条件的 x 的值.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【答案】见解析【解析】(1)由已知得12a2，解得 a1.(2)由(1)知 f(x)12x，又 g(x)f(x)，则 4x212x，14x12x20，令12xt，则 t0，t2t20，即(t2)(t1)0，又 t0，故 t2，即12x2，解得 x1，故满足条件的

19、 x 的值为1.10.(2019长沙一中月考)已知函数 f(x)3xa3x1为奇函数.(1)求 a 的值；(2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证明.【答案】见解析【解析】(1)因为函数 f(x)是奇函数，且 f(x)的定义域为 R；所以 f(0)1a110，所以 a1.(2)由(1)知 f(x)3x13x1123x1，函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.理由：设 x1x2，则 f(x1)f(x2)2（3x13x2）（3x11）（3x21）.因为 x1x2，所以 3x13x2，所以 3x13x20，所以 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.【能力提升题组】(

20、建议用时：20 分钟)11.(2019天津河西区质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 yf(x)的图象大致为()【答案】D 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【解析】设原有荒漠化土地面积为 b，经过 x 年后荒漠化面积为 z，则 zb(110.4%)x，故 yzb(110.4%)x，其是底数大于 1 的指数函数.其图象应为选项 D.12.(2019衡阳检测)当 x(，1时，不等式(m2m)4x2x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.(2，1)B.(4，3)C.(3，4)D.(1，2)【答案】

21、D【解析】原不等式变形为 m2m12x，又 y12x在(，1上是减函数，知12x1212.故原不等式恒成立等价于 m2m2，解得1m0，函数 f(x)2x2xax的图象经过点 Pp，65，Qq，15.若 2pq36pq，则 a_.【答案】6【解析】因为 f(x)2x2xax11ax2x，且其图象经过点 P，Q，则 f(p)11ap2p65，即ap2p16，f(q)11aq2q15，即aq2q6，得a2pq2pq1，则 2pqa2pq36pq，所以 a236，解得 a6，因为 a0，所以 a6.14.已知定义在 R 上的函数 f(x)2x12|x|，(1)若 f(x)32，求 x 的值；(2)若

22、 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1，2恒成立，求实数 m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)当 x0，所以 2x2，所以 x1.(2)当 t1，2时，2t22t122tm2t12t0，即 m(22t1)(24t1)，因为 22t10，所以 m(22t1)，因为 t1，2，所以(22t1)17，5，故实数 m 的取值范围是5，).【新高考创新预测】15.(多填题)若 f(x)a（2x1）22x1是 R 上的奇函数，则实数 a 的值为_，f(x)的值域为_.【答案】1(1，1)【解析】函数 f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，2a220，解得 a1，f(x)2x12x1122x1.2x11，022x12，1122x11，f(x)的值域为(1，1).努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！