2018-2022高考真题 圆锥曲线 解答题全集 （学生版 解析版）.pdf

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1、2018.2022高考真题圆锥曲线解答题全集（学生版解析版）解答题（共60小 题）1.（20 22全国）已知椭圆C的左、右焦点分别为内（-、0）,F l（C,0）,直线）=竽、交 C于 A.8两点，忸8|=2 0，四边形A F i 8 a 的面积为4 V 1（I）求 /,0）的右焦点为尸、右顶点为A,上顶点为8,R（1）求椭圆的离心率e：（2）有线/与椭圆有唯一公共点M，与.轴相交于N （N异于M）.记。为坐标原点,若|O M=|O M，且A OM N的面积为VI 求椭圆的标准方程.3.（20 22上海）设有椭0 1 方程：-+=I 直线/：.丫+y -4 丫 12=0,下端点为A,例在/上，

2、左、右焦点分别为何（-V 2,0）、F2（V 2,0）.（I）a=2,AM中点在x 轴上，求点M的坐标：3（2）直线/与.r 轴交于B.直线AM经过石焦点尸2,在A A B A/中有一内角余弦（t i 为-，5求/?:（3）在椭0|r 上存在一点P到/距离为“，使俨臼+|户也|+d=6,随 的变化，求 4的最小值.4.（20 22浙江）如图，已知椭圆一+y=1.设 4 8是椭圆上异于。（0,I）的两点,且点Q(0,1)在线段A 8上，直线P 4,P B分别交直线了=一次+3于C,。两点.(I )求点。到椭恻上点的距熟的最大值；(I I )求IC。的最小值.2 v24,5.(20 22新高考I

3、)已知点A(2,1)在双曲线C：-=(1)上，直线/交a2 a2-lC于P,。两点，直线AP,A Q的斜率之和为0.(1)求/的斜率：(2)若t a n/用Q=2 a,求A/M Q的面积.6.(20 22乙卷)已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为A轴、f轴,且 过A(0,-2),3.B 7)两点.(1)求E的方程：(2)设过点P(I.-2)的直线交E于历，N两点，过M且平行于A轴的直线与线段AB交于点了，点”满 足 历=后.证 明：直线HN过定点.工2 y 27.(20 22北京)已知怖圆E：+=4 =1(f r 0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2V 1a2 b2(I )求椭圆E的方程：(I

4、 I )过 点P (-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线A B,A C分别与x釉交于点例，N.当|M M=2时，求K的值.8.(20 22甲卷)设抛物线C：=2/川(0)的焦点为3点。(，0),过/的直线交C于M,N两点.当直线例。垂直于A轴时，|MQ=3.(1)求C的方程；(2)设直线例0,N3与C的另一个交点分别为A,8,记在线用M A 8的倾斜角分别为a,p.当a-0取得最大值时，求在线A 8的方程.9.(20 22新高考II)已知双曲线C；-=|(),/A O)的右焦点为尸(2,0),渐a2 b2近线方程为y=V 5 x.(I)求 C的方程；(2)过尸的宜线与C

5、的两条渐近线分别交于小/，两点，点 户(.*,”)，。(.12,)2)在 C上，旦 xi m 0,y i 0.过 P旦斜率为一遍的直线与过。旦斜率为次的直线交于点 M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M 在 A 8上：尸。A8；M4|=|M8|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答i l 分.4210.(20 22上海)已知椭圆r：+y2=l (1),A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在电线/：x=上，且 C在第一象限.(1)设 F是椭圆的右便点，且/8=看，求 I 的标准方程；(2)若C、。两点纵坐标分别为2、I,请判断直线A O与直线8c的交点是否在椭圆1

6、上，并说明理由；(3)设立线A。、8c 分别交椭圆广于点尸、点 Q,若 P、Q关于原点对称,求|C C|的最小值.x2 y2I I.(2021全国)设林圆G：+=1(f r 0)与丫釉正半轴的交点为8,右焦点为a2 b2,F.已知，I-在O C：/+)2-2v-2y=0 上.(I)求 G的方程；(2)若直线/过点C,交 G于 M,N 两点，且 C为线段M N 的中点，求|MN|.12.(2021 新高考n )已知椭圆C的方程为-7+彳=1(“/，(),右焦点为尸(0,0),a2 b2V6且离心率为三.(I)求楠圆C的方程；(I I )设 M,N 是椭圆C上的两点，直 线 与 仙 线+/=2(v

7、 ()相切 证明：M,N,尸三点共线的充耍条件是|MN|=V Ix213.(2021上海)已知1：+y2=l,F i,F 2是其左、右焦点，直线/过点P(，0)(必2-V 2),交椭圆于A,8两点，旦 A,8在K轴上方，点 A在线段8 户上.(I)若 8是上顶点，18 吊|=|P居 求，的值:t -1 4-V15(2)若尸玛A =I.且原点0到直线/的距离为一看，求直线/的方程;。J L 3(3)证明：对于任意，b 0)的一个顶点A (0,-2).以椭圆Ea2 b2的四个顶点围成的四边形面积为4V5.(I)求椭圆E的方程；(I I)过点P 0,-3)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C

8、,直线48、AC分别与直线=3交于点M、N,当|?M+l P M W 5时，求k的取值范围.X2 V22/515.(2021 天津)已知椭圆=+J =1方 )的右焦点为凡上顶点为8,离心率为,a2 b2 5!d BF=V5.(1)求椭圆的标掂方程：(2)直线/与椭圆有唯一的公共点”，与.丫轴的正半轴交于点N,过N与8尸垂直的宜线交了 轴于点P.若M P/B F,求直线/的方程.16.(2021 浙江)如图，己知 是抛物线=2/八,(/0)的焦点，例是抛物线的准线与工轴的交点，且|例F|=2.(I)求抛物线的方程：(I I )设过点F的直线交抛物线于小B两点，若斜率为2的宜线/与直线A M,M8

9、,人从x轴依次交于点，。，R,N,且满足|汽福=|PN|,|QN|,求直线/在&轴上截距的取值范围.17.(2021 新高考【)在平面直角坐标系x O y中，已知点F l (-V17.0),尸2(VT 7,0).点例满足I例g|-MF1=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设 点T在直线x=1,过7的两条直线分别交C于A,B两点和P,0两点，旦177MT B=T PT Q,求直线A 8的斜率与直线P Q的斜率之和.18.(2021 甲卷)抛物纹C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：、=1交C于H。两点，且O P L O Q.已知点M(2.0),且。”与/相切.(1)求C,。M的方

10、程：(2)设4 i ,A 2,小 是。上的三个点，直线4)/12,4八3均与。例相切.判断直线A Z 4 3与。M的位置关系,并说明理由.19.(2021 乙卷)己知脑物线C：y2=2p.r (p 0)的焦点F到准线的距离为2.(I)求C的方程：(2)已知O为坐标原点，点。在C上，点。满 足 均=96，求宜线O Q斜率的最大值.20.(2021 甲卷)在直角坐标系 Q v中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2V2co s 0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点八的直角坐标为(1,0).例 为C上的动点，点P满足B=写 出。的轨迹G的参数方

11、程，并判断C与。是否有公共点.21.(2021 乙卷)已知抛物线乙x2=2p y(p 0)的焦点为K,且尸与圆M：.1+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(I)求 p；(2)若点，在河上，PA,P 8为C的两条切线，A,8是切点，求以8面积的最大值.22.(2021 上海)(1)团队在。点西侧、东侧20千米处设有A、8两站点，测量距高发现一点满足【为I-俨8|=20千米，可知，在A、8为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为丫轴正半轴 建立平面立角坐标系，。在北偏东6 0 处，求双曲线标准方程和。点坐标.(2)团队又在南侧、北 侧15千米处设有C、。两站点，测量距离发现|

12、Q A|-|Q 8|=30千米，|QC1-|QC|=10千米，求IOQI(精确到1米)和Q点位置(精确到1米，1)23.(2020全国)经过点八(-2,4)且倾斜角为135的宜线.与抛物线r=2/z r(p 0)交于M,N两点，且 京=入 而，A N=A 0.求和人.4 2 y 224.(2020天津)已知椭圆和+J =1(“。0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,a2 b2&OA=OF其中。为原点.(I)求椭圆的方程：(11)已知点C满足3成:=帚，点8在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，直线A 8与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段A 8的中点.求直线AB的方程.y 225.(2020北

13、京)已知椭圆 C：7+=1 过点 A(-2,-1),且=2.a2 b2(I)求椭圆C的方程：(1 1)过点8(-4,0)的直线/交椭圆C于 点 私N,直线用A,AM分别交直线x=4于点尸，。.求 鉴1的值#2 y 226.(2020上海)已知双曲线1：-J=1与圆2：+=4+户(/；0)交于点A(心，4 b/.VA)(第一象限)，仙线r为r I、2上取满足X|.VA|的部分.(1)若XA=V 6,求人的值：(2)当=7 1,r 2与1轴交点记作点F i、F a.，是曲线r上一点，且在第一象限，且IP八|=8求/Q P伫：b2 卜(3)过点0(0,+2)斜率为一别直线/与曲线I、只有两个交点，记

14、为仞、N,用。表示O M，O N,并求。MON的取值范围.27.(2020江苏)在平面直角坐标系M y 中，已知椭圆日 1 +：=1 的左、右焦点分别为户I、小，点人在椭圆E 上且在第一象限内,AF2.LF1A2,直线八尸1与椭圆 相交于另一点B.(1)求人厂I月的周长：在 x 轴上任取一点P,直线AP与椭圆的右准线相交于点Q，求 而 的 最 小 值:(3)设点M 在椭圆E 上，记0 4 8 与M 48的面枳分别为Si,S 2,若$2=3SI,求点M的坐标.+/=|,抛 物 线 C2：=2小(0),点八是椭圆。与抛物线C 1的交点，过点八的直线/交椭圆。于点B,交抛物线C 1于点M(8,M不同

15、于4).(I)若 片 卷 求 抛 物 线 C2的焦点坐标；(II)若存在不过原点的直线/使M 为线段A 8的中点,求的最大值.X V29.(2。2。海南)已知椭圆。&+京=1 0)过 点 3),点八为其左顶点,且AM的斜率为3(I)求 C的方程；(2)点 N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.3 0.(2 0 2 0 山东)己知椭圆C：:+J =1 的离心率为坐，且过点八(2,I).a2 b2 2(I)求 C的方程；(2)点 M,N在 C上，且A M L A N,A D M N,。为垂足.证明：存在定点Q，使得。Q I为定值.工 2 y 23 1.(2 0 2 0 新课标H)已知椭网C

16、 i：-+1-=l(a b 0)的右焦点F与抛物线C 2 的焦Q/炉点重合，。的中心与C 2 的顶点重合.过尸且与.1轴难直的直线交C 1 于八，8两点，交4C 2 于 c,D 两点，R|C D|=5 I A B I.(1)求 C i 的离心率：(2)若 C i 的四个顶点到C 2的准线距离之和为1 2,求 C i 与 C 2 的标准方程./y 23 2.(2()2 0 新课标I I )已知椭圆C 1：4-7-=1 (/?()的右焦点F与抛物线C 2 的焦a2 b2点重合，。的中心与C 2 的顶点重合，过尸旦与工轴垂直的直线交C i 于八，“两点，交4C 2 于 C,。两点，旦(。|=夕八8|

17、.(1)求。的离心率；(2)设 例 是 C i 与 C 2 的 公 共 点.若=求 C i 与 C 2 的标准方程.3 3.(2 0 2 G新课标I H)已知椭圆。:三 十 17=1 (0 V V 5)的离心率为一，4 分 别2 5 m2 4为 C的左、右顶点.(1)求 C的方程；(2)若点P在 C上，点。在直线.1=6 上，M l 5 =1 5 0 1 .B P L B Q,求AAP。的面积.X 23 4.(2 0 2 0 新课标1)已知A,8分别为椭圆E：+r2=l (1)的左、右顶点，G为 Ea2的上顶点，A G-G B=8.P为直线.v=6 上的动点，依 与 E的另一交点为C,P B

18、与 E的另一交点为D(I)求 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.3 5.(2()2 0 上海)已知抛物线产=上的动点例(.),v o),过例分别作两条直线交抛物线于 P、Q两点，交直线.t=/于 A、8两点.(I)若点例纵坐标为7L求M与焦点的距离；(2)若/=-I,P (I,I),Q(I,-I),求证：用 为 常 数；(3)是否存在,使得a r 8=i旦 口)。为常数？若存在，求 出，的所有可能值，若不存在，请说明理由.3 6.(2 0 1 9新课标H)已知尸1,尸2是椭圆C：三+A=1 (“b 0)的两个焦点，P 为 Ca2 b2上的点，。为坐标原点.(1)若夕。尸2为等边三角形，求C

19、的离心率：(2)如果存在点P,使得伫，且尸1。尸2的面枳等于1 6,求人的值和“的取值范围.3 7.(2 0 1 9全国)已知点4(-2,0),4 2 (2,0),动 点P满 足 以1与 掰2的斜率之枳等于-寺，记P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设过坐标原点的直线/与C交于M,N两点，且四边形M 4 N A 2的面积为2代，求/的方程.3 8.(2 0 1 9江苏)如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥A 8 (A 3是 圆。的宜径).规划在公路/上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路 P&Q A,规划要求：线段。8,Q A上的所有点到点。的距离均不小于圆

20、。的半径.已知点A,B到电线/的距离分别为AC和8。(C,。为垂足)，测得A 8=I O,A C=6,BD=1 2(单位：百米).(I)若道路尸8与桥A 8垂直，求道路P 8的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在。处？并说明理由：(3)在规划要求下，若道路P 8和Q A的长度均为(单位：百米)，求当4最小时，/,、Q两点间的距寓.两点.F 1.&为左、石焦点，直线/过尸2交椭圆于A,B(1)若直线/垂直于A轴,求M 8 I；(2)当NC i/U，=9 0 时,人 在.1轴 上 方 时,求 小 8的坐标：(3)若 直 线A F t交 y轴 于 M,直 线H F 交 y 轴 于 M 是

21、 否 存 在 直 线I,使得S s FA B=S TN，若存在，求出直线/的方程：若不存在，请说明理由y2 y f24().(2 0 1 9 天 津)设 椭 圆?=【(”0)的左焦点为E 左顶点为人，上顶点为从已a2 b2知川=2|。8|(。为原点).(I)求椭圆的离心率：(I I )设经过点尸且斜率为为直线/与椭圆在x釉上方的交点为P，圆C同时与.V 轴和4直线/相切，圆心C在直线、=4 匕 且 OC A P.求椭圆的方程.AT?y24 1.(2 0 1 9 天津)设椭圆一；+J=l(a b 0)的左焦点为F,上顶点为8.已知椭圆的a2 b2yfS短轴长为4,离心率为(1 )求椭圆的方程；(

22、I I)设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线P 8 与 x轴的交点，点N 在)，釉的负半轴上.若|。乂=|牛(O 为原点).M OP.MN,求直线P 8 的斜率.2 14 2.(2 0 1 9 新课标I I I)已知曲线C：尸 号，。为直线厂一左上的动点，过。作 C的两条切线，切点分别为A,B.(I)证明：直线A 8 过定点.(2)若 以(0,|)为圆心的圆与直线48相切，且切点为线段A8的中点，求该圆的方程.4 3.(2 0 I 9 浙江)如图，已知点尸(I,0)为抛物线产=2 心(0)的焦点.过点厂的直线交抛物线于A,B两点，点 C在抛物线上，使得AABC的重心G在 x轴

23、上，直线A C交x轴于点Q，且 Q在点尸的右侧.记八G，C Q G 的面积分别为S i,S 2.(I)求的值及抛物线的准线方程；(I I )求&的最小值及此时点G的坐标.4 4.(2 0 1 9 新课标I I )已知点A (-2,0),8(2,0),动点M(.v,y)满足直线AM与 8 M的 斜 率 之 积 为 记M的轨迹为曲线C.(1)求 C的方程，并说明C是什么曲线：(2)过坐标原点的直线交。于尸，。两点，点 P在第一象限，P E L i 轴，垂足为E,连结 QE并延长交。于点G.(/)证明：F Q G 是直角三角形：(n)求APQG面积的最大值.4 5.(2 0 1 9 北京)已知抛物线

24、北/=-2/小经过点(2,-1).(I)求抛物线C的方程及其准线方程：(I I )设 O 为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,直线y=-1 分别交直线OM,O N于点A和点B.求证：以AB为宜径的圆经过T 轴上的两个定点.X2 y24 6.(2 0 1 9 北京)已知椭圆C +7 7 =1的右焦点为(1,0),且经过点人(0,1).a1 bL(I)求椭圆。的方程：(H )设。为原点，出线/：y=k x+t(/W I)与 椭 圆C交于两个不同点P Q、直线AP与工轴交于点M,直线AQ与工轴交于点M 若|。/卜|。川=2,求证：直线/经过定点.彳 2 y24 7.(

25、2 0 1 9 江苏)如图，在平面直角坐标系.Q-中，椭 网 C：予+三=1的焦a2 b2点 为 八(-I,0),1-2 0).(1)证明：A 0).(1)证明：A 0)的宜线/与C交于A,8两点，|A B|=8.(1)求/的方程；(2)求过点A,8且与C的准线相切的画的方程.57.(2018新课标1 )设抛物线C：f=2.r,点 人(2,0),/?(-2,0),过点八的直线/与C交于M,N两点.(1)当/与x轴垂直时，求直线8例的方程；(2)证明：4 A B M=N A B N.58.(2018浙江)如图，已知点P是)轴左侧(不含了釉)一点，抛物线C：产=4丫上存在不同的两点A,8满 足 出

26、，P 8的中点均在C上.(I)设A 8中点为M,证明：尸例垂直于)轴；(11)若。是半椭圆F+=i(、.()的左焦点为尸，上顶点为8.已知椭圆的QN 匕/离心率为苧，点A的坐标为(，)，JB L|W|A/?|=6V2.(I )求椭圆的方程:(I I )设直线/：y=lt v(Jt 0)与椭圆在第一象限的交点为P，且/与直线AB交于点Q.若 Q =-si n/.A OQ()为原点)，求 k 的值.I PQI 46().(2()18北京)已知抛物线。=2小经过点尸(1,2),过 点Q(),1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B.且直线阳交.丫轴于M,直线P 8交y轴于N.(I)求直线/的斜率

27、的取值范围:(I I )设。为原点，Q M =XQO,Q N =ILQ O,求证：+为定值.2018-2022高考真题圆锥曲线 解 答 题 全 集（学生版 解析版）参考答案与试闻解析一.解 答 题（共 60小题）I.（2 0 2 2 全国）已知椭圆C的左、右焦点分别为力（-c,（）,F2（c,0）,直 线 厂 学交 C于 4,B两点，H?|=2 V7,四边形A F 1 B F 2 的面枳为4 V1（1）求/3.所以 2x l v|f|f 2|=2,2c=4 V 3.所以c=V 3.工2,2(2)设椭圆C 的 方 程 为 方=1a2 b2由(I)知，A(V 3,2),代入椭圆方程有-5 +7 7

28、 =1.a2 b2又 c=x/5=J a2 所以/=%i?=6,2 、y,2fC故椭圆C 的方程为7 7 4-=1.9 62-（2022天津）椭圆滔+法 n（心 心。）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为8.且（1）求椭圆的离心率e；（2）直线/与椭圆有唯一公共点M,与 y 釉相交于N（N异于M）.记 O为坐标原点,若|O M=|O N，旦AOM N的 面 枳 为 求 椭 圆 的 标 准 方 程.a2+t 2 4.。2=3(J-。2)，/,2?2=3(?2 e=2 2(2)由(1)可知椭圆为三十 =1，a2 工3即+3=,设直线/：y=k.v+”7,联立.(2+3)2=，消去丫可得:(33+1)

29、+6k 工+(3 -/)=0,又直线/与椭圆只有一个公共点,A=36好 2-4(3严+1)(3m2 )=0,13?=/(39+1),又XM=；黑；，yM=k xM+mZ3fcjl?+m=_3 k+l 3fcz+l乂 Q M =|ON|,/.()2 +)2=瓶2,3/c+1 3/c+1解 楸2 J”=土亍 1*3 k t n又。例N 的面枳为:|O/V|M|=-|m|2/3fv+11 f?m2 厂.7-=v3 *=4,2 2又 k=3 L=“2(3k+1),cz 6 b=1/?0),直线/：x+L 4 a =0,下端砂 匕 巳点为A,例在/上，左、右 焦 点 分 别 为(-V 2,0)、F2(、

30、0).(1)a=2,AM中点在&轴上，求点M的坐标；3(2)直线/与.y轴交于8,直线AA/经过右焦点比，在AAB例中有一内角余弦值为g,求b：(3)在椭圆上存在一点P到/距离为“，使八|+上/；2|+4=6,随“的变化，求”的最小值.【解答】解：(1)由题意可得a =2,h =c =7 2,r：竽+：=1,4(0,-V 2),的中点在、轴上，.A l的纵坐标为V L代入x +y-4 少=0得企).(2)由直线方程可知8(0,4注)，若 c os 4 8 4 M=则 t a n/8 4 M=号，U P t a n OA F2=4，：.OA=10F2=1V 2,:b =V 2.若 c os/B

31、MA =I，s in ZB MA =/M8A=J,：.c o s(MBA+4 M 8)=x1-x=乙 口 乙 J X V J/oJ.c o s BA M=,A t a n Z5/W=7.即 l a n/O A F2=7,；.04 =辛，:小=辱,v 2综上b =:企 或 .4 7(3)设 尸(a c os 9,加访0),ac o s O bs in0-4/2，一由点到直线距离公式可得-五-!.=6 2a,很明显椭圆在直线的左下方，则-am+驾 2=6_20,v Z即4或 -!az+b s inffi+(p)=6或 2aa,/=庐+2,：.V2M-2s in(e+(p)=2l 2a 一 2迎，据

32、此可得Va2 一 15讥（0+=2a 2，|sin（6+p）j=毕*6-2 x 1 =1.o即 d 的最小值为一.3x24.（2022浙江）如图，已知椭圆一+=|.设 A,8 是椭圆上异于，（0,1）的两点，且12 点Q（0.1）在线段AB上，直线PA,P B分别交宜线产-%+3于 C,。两点.（I）求 点 P 到抑圆上点的距离的最大值；（II）求1 c t的最小值.【解答】解：（I）设椭圆上任意一点M（.丫），则|PMF=F+（丁 -1）2=12-12V2+V2-2yH=-1 1 y2-2.V+13,.丫 日-1,11.而函数z=-I l.y2-2y+l3的对称轴为y=-白 -1,1,则其最

33、大值为一11 x（-白 产+2 奈+1 3=弁：.PMmax=再=号 3，即点。到椭圆上点的距离的坡大值为斗詈；（H）设直线八8：y=x+g,4（与,、】）.8（七,y2）f|y=kx+5联立直线/W 与椭圆方程有I 2，消去 并整理可得，（】2/+）1+124-9=0,应+/=1由韦达定理可得，X +心=-铮 一,XiX2=-，-12/+1 124-1 出 一 不 1 =%+不）2 4勺 必=l（-号-产+=5!咪+1,J 12fc2+l 12/+1 12 必+1设。(A 3,G=联立(y=可得必二F 3),D(X4 Y 4)号+】一+3y以及，y直线人P：y=4-1,直线P：y=+1,X1

34、x 21=y?-。1-2X+3X+4 i _ 4*z(2 k+l)xi-l%=(2+”-山弦长公式可得|C D|=J l+(-J)2|X3-x/=卓 I(2 k号-(2 k%：2T =2 V 5|-1 =2yS-%1%2-1(2 f c+l)x1-l(2 k4-l)x2-l(2 k4-l)2XiX2-(2 f c+l)(%i+x2)+l_ 3 百、，茄石|_6、疗&必+L 府i、6 店、(4&x*+lxl)2一 T1 3 k+l-1-5 I 3 H 4 1 二 5 3k+l =当旦仅当k 时等号成立,：.|C 0|的最小值为丫2 y 25.(2 0 2 2,新高考I)已知点八(2,I)在双曲线

35、C：-7 =1 (1)上，直线/交a2 a2-lC于 P，Q两点，直线A P，AQ的斜率之和为0.(1)求/的斜率:(2)若 t a n/A t Q=2&,求A B A Q 的面积.4 1【解答】解：(1)将点A代入双曲线方程得=一 =1,a2 a2-lx2化简得“4-4/+4=0,；.J=2,故双曲线方程为三-y2=1.由题显然直线/的斜率存在，设/：y=仆+,”，设P C vi,yi)Q(2,.1 2),则联立双曲线得：(2 -1).?+4+2/2+2=0,4 k m-2 后一1 _ 2 m2+2故+x2为一1 ,y 2 T _ k+m-l L+m-l _x2x2 xx-2+X2-2 一

36、U化简得：2 f crix2+(in-I-2 k)(xi+x2)-4 (i-I)=0,故:2 k(2 m2+2)2 k2 14k m+(m-1-2)(一而耳 4(m -1)=0,即 a+1)(冲 2 八 1)=0,而直线/不过A点，故左=-1：(2)设直线AP的倾斜角为a,VanZPA Q=2 匹,2 ta n=2A/2.得t an，兽=等由 2 a，/%Q=n,/.a=七 竽 丝，得的p=ta-a=V 2,即力=2 xt-2联 立 相=血，及 一%=1 得与=苧 2，%=生 第，代 入 直 线/得 加=率故2 0 6 8+外=手，X 1x2=而|A P|=Q|X i 2|,|4 ,()旦/?

37、#/).o (4 n =1将A(0,-2)，8 号，T)两点代入得解得 m=；=故 的 方 程 为 二+匕=1；3 4(2)由次0,-2),e(1,一1)可得线段4 8；y =|x-2(I)若 过 点P(1,-2)的在线斜率不存在,直线x=l.代 入 乙+廿=1,3 4可得M(I,N(1,将 尸 今夕弋入y =gx-2,可 得 7(布+3,一司马，得到H (-2 巫+5,-孚)求 得 HN方程：尸(2 +竽)x-2,过 点(0,-2).若 过 户(1,-2)的直线的斜率存在，设 公-y-(K+2)=0,M(.v i,y i .N g,”)，(k x y (fc +2)=0联立卜2 v2 ,得(

38、3+4)F-6A (2+A)x+3 A (A+4)=0,(T+T =1故有Gx+r.6k(2+k)l+x2-口.2,.3Kv r _ 3fc(4+fc)8(2+A)%+%=,2,JOK4(4+4fc-2/c2)外 力=如+4.riy2+.v2,yi x(k2-A -2)+X 2(tvi-k-2)=fcvi.v2-上 0-2xHkxx2-kn-1x2=2fcvi.v2-(k+2)(,vi+.V2)=3)3k2+4一 24k许6k(2+k)-(K+2X 三一 一-3k2+4 .必为+x2y联立y=%y=-2 可得7(：等+3,yi),“(3%+6-刈，%),可求得此时N：y-y2=?一 丫2班+6

39、一右一外将(0,-2)代入整理得 2(xi+x2)-6。)的一个顶点为A(。,1)，焦距为2技(I)求椭圆E 的方程:(II)过 点 P(-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与.V轴交于点Af,N.当|M M=2时,求 A的值.【解答】解：(I)由题意得,:二行c=6 =2,、2.，椭圆E 的方程为1 +=1.(II)设过点夕(-2,I)的直线为F-1=A(A+2),B(A I,vi),C(心，.，2)，仅-1 =k(x+2)联立得卜2 y2 _,即(1+4后)/+(162+8/X+I62+I6A=0,(彳+T =1:直线与椭圆相交，.=(啾 2+以)

40、产-4(1+4姓)(16炉+I6A)0.：.k（）的焦点为，点。（p,0）.过尸的直线交C于用，N两点.当直线用。垂直于&轴时，|Mf=3.（1）求。的方程；（2）设直线MO,NO与C的另一个交点分别为A.B,记直线A/N,A 8的倾斜角分别为a,p.当a-B取得最大值时，求直线A 8的方程.【解答】解：（I）由题意可知，当x=/时，/=2/，得.v,w=、,可知|何。|=&/）,|FD|=Pz-则在 RtAA/FD 中，尸MF，得虚）?+（V2p）2=9,解得 p=2.则C的方程为=4&：（2）设 例（.0,“），N（X 2，.2），A（X 3,3）,/.V 4 V 4）,当例N与工轴垂直时

41、，由对称性可知，A 8也与工轴垂直，此时a=6=5,则a0=0,由(1)可知 F(l,0),D 2,0).则 t;ma=kWN=纥 孕=厂丁xi-x2 y/M yi+y24 4义M /)、8三点共线，则*ND=A&。，即%0=J ,与一2 X4-2.2-0 74-0,官2 一 胆24 4得 V 2)U=-8,即 V 4=:丫2同理由M、D、A三点共线，得户=一旦.则 tanR=y 厂 4 =_ 4 _ =二仍X3-X4 一 力+这4-201+%),由题意可知，直线M V的斜率不为0,设/MN:K=?F+1,由P -4%,得/-4/wy-4=0,)1+*=4,，了 犷=-4,则 u m a=、,

42、巾=二 =会,则 tan(a-P)-1 18】。一 切 九 _ 丽_而 _ ta n a s印 _ 1+亲$-2%,tana=,的0=亲,.tana与tanp正负相同,-0 时,tan(a-p)=-r ,-=9；2?计 记2J2m得4当/?0,Q 0)的右焦点为F(2,0).渐a2 b2近线方程为y=V3.v.(I)求C的方程：(2)过户的直线与C的两条渐近线分别交于A,4两点，点户(.小门)，Q(.V2,)2)在C上，且xiA20,y i 0.过 P 且斜率为-V 5的直线与过Q 且斜率为百的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.何在 A8 上;PQ/AB-.|M4|=|

43、M8|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解答】解：(1)由题意可得2=7 3,必+炉=2,解得 a=l,b=V3,因此C 的方程为1=1,(2)设直线PQ的方程为产U+”,，(2 0),将直线PQ的方程代入q=1 可 得(3-9)-2hnx-ni2-3=,，A=12(J+3-P)V.V|X 20.A|+.V2=2 kmX),m2+3、八XX2=-5-X)3 3”V0,.Al-.V2=J区 +)2 =2&k-3设点M 的坐标为(A M,y w),则 仍 一%=(XM)(y“-y2=V3aM-x2)两式相减可得.w-y2=2V5x“一(m),V y i -y 2=*(xi-工2

44、),2Y/3XM=A/3(.vi+xi)+k(,vi-X2)解得X.勺 辰 正 三 处，k 3两式相加可得 2yH-(.vi+.y2)=V3(xi-x2)tV yi+v2A：(AI+.V2)+2nh/2,.W=V3(.VI-A2)+k(.V1+A2)+2，fe2zn 3)72+3-左 5_3n l解不？)“=-a ,k2-3：.yM=浜 ，其中k 为直线PQ的斜率;若选择：设直线人“的方程为尸人(.V -2),并设人的坐标为(口，.3),F 的坐标为(A-4,Y4),则：y3必=k岳(x3-2)2k 2用3 解存、3=瓦 后 犷不同 理 可 得.晶,户=一 爵.*.X3+.V4=A I24k1

45、2k5 V3+4=-,fc-3,F-3（VM=2）2k2 i 6 kl此 时 点M的坐标满足：3，解 得 X/W=-2 =n（X 3+X 4）,y.w=-2 =nYM=/的 fc-3 2 fc-3，（y 3+W）,M 为AB的中点，即|M4|=|MB|：若选择：当直线4 8 的斜率不存在时，点 M 即为点尸（2,0）,此 时 不 在 直 线 上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=n（x-2）（，H 0）,并设4 的坐标为（A 3,户），4 的坐标为（X 3 4）,皿1。3 =7（3 -2）27 7 1 2底 n则乃=为解得*嬴后同理可 得*1=2%,惮=-,7 7 1+/3

46、m+百1?m 2此时 KW=5（-V 3+.V 4）=彳,L 曲一 3/.v l）,A、8 两点分别为I、的左顶点、下顶点，azC、D 两点均在直线/；x=上，且 C 在第一象限.（I）设尸是椭圆厂的右焦点，且N A F 8=,求 I、的标准方程；O(2)若 C、。两点纵坐标分别为2、1,请判断直线A。与直线8C的交点是否在椭圆I上，并说明理由：(3)设立线A。、8 c 分别交椭嗣于点P、点 Q,若 P、。关于原点对称，求|CD|的最小值.【解答】解：(I)由题可得8(0,-1),F(c,0),因为 所以 tan/A/8=|=.|=ta*=y,解得 -所以-+-a b Q+匕 1-t t则|S

47、|2 6,即|CD|的最小值为6.-2,4-=41-t+tX 2 v211.(2021 全国)设椭圆G：-+-=(fe 0)与 y 轴止半轴的交点为B,右焦点为a2 b2,/,.已知 B,F 在OC：/+.5 -2A-2y=0 上.(1)求 G 的方程:(2)若直线/过点C，交 G 于 M,N 两点，且 C 为线段用N 的中点，求|MM.【解答】解：(I)由题意知，B(0,b),F(c,0),因为 4,/在 Q C：/+32-2N-2.x=0 上，所 以 从-20=0,d -2c=%因为WO,cW O,所以 Z?=c=2,所以 a=V6+c2=2丘,故椭圆G 的方程为百十?=1.(2)OC：-

48、2 r-2.)，=0 可化为I)2+()2=2,所以 C(L1),设 例(xi,yi),N(.V2,V2),因为C为线段M N的中点，所以.VI+.V2=2,VI+*2=2,11-=*_4匿4+问_8我一8将 M N 分别代入椭圆方程，有/?0）.右焦点为尸（我，0）,a ozV6且离心率为三.（I）求椭圆C 的方程；（H）设例，N 是期圆C 上的两点，直线MN马曲线、2+,2=2（QO）相切 证明：M.N,尸三点共线的充要条件是|MN|=V I【解答】（I）解：由题意可得，椭圆的离心率=坐，又c=鱼,a 3所以=V 3,则 l r=a2 c2=I,故椭圆的标准方程为 +y2=1.3（II）证

49、明：先证明充分性，当|MM=百 时，设直线M N的方程为此时圆心O（）,（）到直线M N 的距离d=3L=1,则 F-尸=1,JF+i*=ty+s联立方程组/，可 得（/2+3）v2+2/vy+.v2-3=0,（丁+y=,则=4，9-4 (尸+3)(52-3)=12(r-.r+3)=24,因为|何N|=V 1 +t2 户：=V 3.所以尸=1,/=2,因为直线MN与曲线.v2+y2=/?2（.v 0）相切，所以 s 0,i f l i j s =V 2,则直线MN的方程为x =t y+近恒过焦点F（四，0）.故 M,N,尸三点共线，所以充分性得证.若 M,M尸三点共线时，设宜线MN的方程为、=

50、,町+企，则圆心。（0,0）到克线/W N 的距离为4 =1,解得加2=,、加2+1!x =m y+V 2丫 2 ,可得QM+3）y2+2 x/2 m y -1 =0,至+y 2=i即4 y 2 +2yf2m y-1=0,所以|M N|=V T+7 呵+1，=迎 x=机：所以必要性成立：综上所述，M,N,F三点共线的充要条件是1 3.（2 02 1 上海）已知：+y2=l.F i,尸 2 是其左、右焦点，直线/过点尸（，小 0）（/s i n。），则F i A -F2A =（y/2c o s 0+1）（&c o s。1）+s in20 =2c o s20-1 +s in20=3,因为A在线段B