线性代数总结.pdf

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1、1 1、行列式 1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式

2、的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、(1)m nCAOAA BBOBC 、X 德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；7.证明0A 的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明 0 是其特征值；2、矩阵 1.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r An（是

3、满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax 有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；TA A是正定矩阵；2 A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：*AAA AA E 无条件恒成立；3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABB A 4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、1

4、11AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转

5、置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EE X ，则A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1(,)(,)cA BE A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rA bE x，则A可逆，且1xA b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；3、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号()E i k，且1

6、1()()E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号()E ij k,且1()()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)m nr Am n；、()()Tr Ar A；、若AB，则()()r Ar B；、若P、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),()(,)()()r A r Br A Br Ar B；（）、()()()r ABr Ar B；（）、()min(),()r ABr A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（

7、）、B的列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b；注：、()nab展开后有1n项；、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：11110 2nmn mmmmrnrrn

8、nnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An；4、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX ；、*1AA A、1*nAA 8.关于A矩阵秩的描述：、()r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；（两句话）、()r An，A中有n阶子式全部为 0；、()r An，A中有n阶子式不为 0；9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求

9、解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）4、向量

10、组的线性相关性 1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,m 构成nm矩阵12(,)mA ；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵m nA与l nB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax 和0Bx 同解；(101P例 14)4.()()Tr A Ar A；(101P例 15)5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0；、,线性相关,

11、坐标成比例或共线（平行）；5、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,s 线性相关，则121,ss 必线性相关；若12,s 线性无关，则121,s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理 7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B；（86P定理 3）向量组A能由向量组B线性表

12、示 AXB有解；()(,)r Ar A B（85P定理 2）向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B（85P定理 2 推论）8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAPPP；、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx 同解、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；9.对于矩阵m nA与l nB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax 与0Bx 同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10.若m ss nm

13、 nABC，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx 只有零解0Bx只有零解；、0Bx 有非零解0ABx 一定存在非零解；12.设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：（110P题 19 结论）1212(,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r

14、r Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE()r Am、Q的列向量线性无关；（87P）、对矩阵m nA，存在n mP，nPAE()r An、P的行向量线性无关；14.12,s 线性相关 存在一组不全为 0 的数12,sk kk，使得11220sskkk成立；（定义）1212(,)0ssxxx 有非零解，即0Ax 有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为：()r Snr；16.若*为Axb的一个解，12,n r

15、 为0Ax 的一个基础解系，则*12,n r 线性无关；（111P题33 结论）6 5、相似矩阵和二次型 1.正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A ；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,)ra aa 11ba；1222111,b ababb b 121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价 A经过初等变换得到B；PAQB，P、Q可逆；()()r Ar B，A、B同型；、A与B合同 TC ACB，其中可逆；Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似 1P APB；5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型Tx Ax为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使TC ACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于 0；0,0iiaA；(必要条件)