线性代数线性代数线性代数 (21).pdf

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1、21 特征值在微分方程中的应特征值在微分方程中的应用用 21.1 引言引言 回顾：设矩阵 可对角化,即存在可逆阵 使 为对角阵,则 于是 对差分方程 解为 其中 21.1 引言引言 问题：设关于 的向量值可导函数 满足 其中 为 阶常数矩阵，求解 若 为数值函数，的解为 21.1 引言引言 若 为对角阵，则 这类方程组称为“解耦的”(uncoupled).怎样对一般矩阵 求解 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 例：求解 解：记 则 注意到 (“解耦的”)21.2 可对角化的情形可对角化的情形 设 有形如 的解，其中 为数，为向量，则 因此，的每个特征值 及其特征向量 会给出 的一个解 2

2、1.2 可对角化的情形可对角化的情形 令 则 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 令 于是 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 一般的，若 可对角化，类似于求解 有 且 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 引理1：设 和 是齐次线性微分方程组 的解，则它们的线性组合 也是此方程组的解，其中 和 是任意常数.引理2：的解集是一个 维向量空间.若 可对角化,则 的解空间有一组基 故方程组的通解为 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 例：求解初值问题 解：易得 的属于特征值 的特征向量分别为 方程组的通解为 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 而初始值有分解 又 故 初值问题的解

3、为 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 例：设一质点在平面力场作用下运动，其位置向量 满足 求解初值问题.解：可求得 的特征值为 相应特征向量为 故方程组的通解为 21.2 可对角化的情形可对角化的情形 由初值条件得 即 初值问题的解为 21.3 矩阵的指数函数矩阵的指数函数 回顾 设 为 阶方阵，定义 为 的解.21.3 矩阵的指数函数矩阵的指数函数 矩阵的指数函数的性质：(1)若 则 21.3 矩阵的指数函数矩阵的指数函数(2)若 则 特别地，(3)若存在可逆阵 使 则 21.3 矩阵的指数函数矩阵的指数函数 回到 若 可对角化，即存在可逆阵 使 为对角阵 有解 其中 即 21.3 矩

4、阵的指数函数矩阵的指数函数 问题：若 不能对角化，则 怎样求解？例：求解 解：不能对角化.21.3 矩阵的指数函数矩阵的指数函数 但是仍有 注意到 21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 考虑 其中 为未知函数,为常数.注意该方程只含未知函数及其导数 设 是上述方程的解，则代入得 称其为特征方程.21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 设 是 的两个根.若 则 是 的两个线性无关的解.注记：的解集是一个二维向量空间.(1)若 为实数，则方程 的通解为 (2)若 为共轭复数，即 则 有通解 21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 与微分方程组的关系

5、：即 或记为 21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 则 (恰好是特征方程)设其有两相异特征值 则 为相应特征向量.通解为 21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 注：此处，有相异特征值 可对角化.思考：求 的通解.(解为 为任意常数)21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 若 有相同特征值 即 不能对角化.例：求解(法一)把 代入方程得 则 为方程的两个线性无关的解.故原方程有通解：于是 21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程(法二)设 则 不可对角化.21.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 由前面例题已求得 21.5 微分方程微分方程 的稳定性的稳定性 与差分方程一样，时，决定解 状态的是 的特征值.若 可对角化，则 有通解 (1)若所有 则 解是稳定的.(2)若所有 则 有界，解是中性稳定的.(3)若至少有一个特征值满足 则 无界，解是不稳定的.21.5 微分方程微分方程 的稳定性的稳定性 例：解是中性稳定的.事实上，是一个旋转矩阵.描述了一个做作圆周运动的点.21.5 微分方程微分方程 的稳定性的稳定性 例：解是稳定的.事实上，