线性代数线性代数线性代数 (22).pdf

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1、22 实对称矩阵实对称矩阵 22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 若矩阵 满足 则称 为对称矩阵.本节主要讨论实对称矩阵的性质.这类矩阵应用广泛，理论丰富、优美.一个实矩阵的特征值可能是虚数,如 但 定理：实对称矩阵的特征值都是实数.证明：设实对称矩阵 有 则 因 故 即 为实数.22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 属于不同特征值的特征向量线性无关,对实对称矩阵有更强的结果.定理：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交.证明：设 与 是实对称矩阵 的两互异特征值(由前面定理 是实数),是相应特征向量,即 于是 而 故 22.1

2、 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 例：有特征值 为分别属于 的特征向量.易见 与 正交.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 回忆：矩阵 可对角化 有一组特征向量作为空间的基.故若 是可对角化的实对称阵,则存在 的一组特征向量构成空间的单位正交基.事实上，定理：任何实对称阵正交相似于对角阵,即对实对称阵 存在正交阵 使 为对角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 证明：对矩阵 的阶数用数学归纳法.时结论成立.假设结论对 阶矩阵成立.对 阶实对称阵 设 且 则 可扩充为 的一组基,进一步正交化，得一组标准正交基,记为 则

3、为正交阵，且 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 由 得 且 由归纳假设知,对 阶实对称矩阵 存在正交阵 使 令 则 为正交阵,且 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 例：设 求正交阵 使 为对角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 解：因此 的特征值是 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 对 可求出齐次线性方程组 的一个基础解系:对 可求出齐次线性方程组 的一个基础解系:22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 作正交化(只需对 进行),22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称

4、阵正交相似于对角阵 再作单位化，得 则 为正交阵，且 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 由前面定理知,对任何实对称阵 其中 为正交阵，于是 即 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 注记：为到由特征向量 张成的一维空间的投影矩阵.任意实对称阵可表示为秩 投影矩阵的和.可类似证明：Schur定理：任意一个复方阵 均酉相似于上三角阵，即对任何复方阵 存在酉矩阵 使 为上三角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 例：设 是 阶实对称阵，为 的全部特征值，则存在实数 满足对任意 证明：因 为实对称阵，故存在正交阵 使 则对任意

5、记 有 令 则 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 例：设 是实对称阵 的最大特征值.求证：的对角线元素 证明：因 实对称，故存在正交阵 使 注意到 其中 令 则 22.3 实对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 矩阵特征值的符号与主元的符号一般无关，如 特征值为 (两负)主元为 (两正)但对实对称阵而言，二者符号一致，如 特征值为 (一正一负)主元为 (一正一负)定理：实对称阵的正特征值数与正主元数相同.22.3 实对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 引理：设矩阵 可逆，且 则 证明：假设 则齐次线性方程组 有非零解 令 则 22.3 实

6、对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 于是 上式左边 右边 矛盾！故 同理可证 故 22.3 实对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 定理的证明：由于实对称阵的主元数等于其非零特征值数，故不失一般性，可对可逆实对称阵讨论.设 的正主元数为 正特征值数为 则 其中 是对角元为 的下三角阵，为主元.又 其中 是正交阵，为特征值.22.3 实对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 于是 22.3 实对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 令 则 可逆，且 由引理知 定理得证.注记：事实上，我们证明了惯性定理.22.3 实对称阵特征值和主元的关系实对称阵特征值和主元的关系 小结：1.实对称阵的特征值都是实数.2.实对称阵属于不同特征值的特征向量相互正交.3.实对称阵正交相似于对角阵.4.实对称阵的正特征值数与正主元数相同.