线性代数线性代数线性代数 (17).pdf

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1、17 行列式的计算行列式的计算 17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 先看一个例子：17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 共有 项，每项都是不同行不同列的元素乘积，正负号由置换阵的行列式给出.17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 一般项 是 的一个排列.奇排列 置换阵的行列式 偶排列 置换阵的行列式 例：注：一个排列经过奇数次对换变为 ，则称其为奇排列.17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 一般地，共有 项.17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 例：满足 因此 是奇异阵.17.1 行列

2、式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 用以上公式直接求 通常计算量很大.方法二：将 行(列)消去，再写成 阶行列式的组合，这样可以递归计算.定义：设 是 划去第 行和第 列得到的 阶矩阵.例如 称为余子式(complement minor).令 称其为代数余子式(algebraic complement,cofactor).17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 定理：17.1 行列式计算公式和展开定理行列式计算公式和展开定理 例：17.2 典型例题典型例题 行列式计算方法：化上(下)三角形法和降阶法.例：法一：化上三角形法.17.2 典型例题典型例题 17.2 典

3、型例题典型例题 法二：降阶法.17.2 典型例题典型例题 注：利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时，一般利用有较多 的行(列)展开.对一般的数字行列式，可将某行(列)化到只剩一非零元时再做降阶处理.例：17.2 典型例题典型例题 例：计算 阶范德蒙(Vandermonde)行列式.分析：相邻两行元素较接近.从末行开始，后一行加上其前行的 倍，下面的元素都变为 ，按首列展开后，可提取公因子得到 阶范德蒙行列式.再重复此过程.17.2 典型例题典型例题 解：17.2 典型例题典型例题 17.2 典型例题典型例题 可以证明 阶范德蒙行列式 17.2 典型例题典型例题 例：设 是 阶阵，是 阶阵，求证：证明：考虑分块矩阵 17.2 典型例题典型例题 即：17.2 典型例题典型例题 若 则