线性代数线性代数线性代数 (13).pdf

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1、13 投影投影 13.1 引言引言 上一讲中，我们得到如下结果：设 为 阶阵，1.2.3.设 有解，则 在 中有唯一解.设 是 的解.则 直观上，13.1 引言引言 例：直观上，是 在 这条直线上投影.另一方面，若 无解，此时我们可以考虑问题：求 使得 极小(或最小)？直观上，无解 上述问题意味着求 上距离 最近的点 它是 在 上的投影点.有解 13.1 引言引言 例：即 平面 在平面上投影点为 则 这一讲，我们讨论点(或向量)在空间投影问题.则 无解 13.2 点在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 如右图，我们求 在 上的投影向量 即 在 上投影向量为(表示相应列向量.)13.2 点

2、在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 因此，称为投影矩阵.是 在 上投影向量.设 是 所在直线，我们得到一个映射(向量空间之间的映射)：(注意：是一个 矩阵.)13.2 点在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 例：即 在 轴上的投影.13.2 点在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 三维空间情形是类似的.求 在直线 上投影 令 满足：我们得到一个映射：13.2 点在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 下面我们考虑点在平面上的投影.给定 平面 设 是 在 上的投影.求 令 是平面 上两无关向量,即 的基础解系或 的一组基.令 则平面 求投影 求 关于 的分解 其中，13.

3、2 点在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 即 是 的解.是可逆阵(列满秩)则 此时 称为投影矩阵.13.2 点在直线和平面上的投影点在直线和平面上的投影 例：求 使得 是 在 上的投影向量.解：注：可逆，因为 的列线性无关.13.3 一般情形一般情形 问题：为 阶阵.设 求 在 上的投影 即 即 是 的解.1.总有解.2.设 是 的两个解,则 是唯一的.注：一般情形中,未必是可逆阵，除非 列满秩.13.3 一般情形一般情形 若 可逆，投影阵 满足 一般地，一个矩阵 满足 则称 为投影矩阵.自然问题：关于哪个空间的投影矩阵？检查投影的例子.设 为投影阵，则 定理：设 是一个投影矩阵，则