线性代数线性代数线性代数 (15).pdf

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1、15 Gram-Schmidt正交化正交化 15.1 引言引言 设 是 阶阵，若 无解，则考虑法方程组 是 在 上的投影.设 则 是 的解.因此若 较简单，则 容易计算.15.1 引言引言 例：求 在 的列空间上的投影.解：考虑 简单，因为 的列相互正交.将一组基(的无关列)换成一组正交的向量(正交列).15.1 引言引言 目标：给定 为一个子空间，是 的一组基，把它们变化成一组正交的向量 满足 1.2.表示 生成的 的子空间.15.2 正交向量组和正交矩阵正交向量组和正交矩阵 定理：设 是非零的 个向量，满足 则 线性无关.证明：设 两边左乘 则 同理 例如：中两向量 相互正交,故无关.定理

2、中 称为正交向量组(orthogonal vectors).因此 线性无关.15.2 正交向量组和正交矩阵正交向量组和正交矩阵 定义：设 是 个列向量，它们是标准正交的(orthonormal)令 则 若 是一个方阵，则 称为正交阵(orthogonal matrix).15.2 正交向量组和正交矩阵正交向量组和正交矩阵 例：例：设 是一列向量，(是单位向量unit vector).令 是一个反射矩阵(reflection matrix).若 则 15.2 正交向量组和正交矩阵正交向量组和正交矩阵 比如，则 考虑映射 是关于 平面的反射变换.15.2 正交向量组和正交矩阵正交向量组和正交矩阵

3、注：以上两例均是保长度的变换，即 以后我们将说明具有这种性质的变换对应于正交矩阵.定理：设 是一个正交阵，则 证明：15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 以下考虑本讲的目标问题.先考虑两个向量 线性无关，求 满足 进一步令 即 是标准正交的.即 15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 显然 可以取 因为只需 这样的 不唯一.即 减去它在 上的投影.15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 设 线性无关，考虑 满足 正交化 单位化 15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 已知：设 单位化 15.3 Gram-Schmidt正交化过程

4、正交化过程 对一般情形，首先我们有如下定理：定理：设 相互正交，则 特别地，若 标准正交，则 15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 由此定理，设 且 则 正交化 单位化 15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 这给出了另一种方法求 这种正交化方法，称为Gram-Schmidt正交化.为误差向量 15.3 Gram-Schmidt正交化过程正交化过程 例：解：则 是正交阵.15.4 QR分解分解 问题：和 的关系？则 则 对照正交化公式，是列正交阵，是对角线上为正数的上三角阵，其第 个主对角线元素为 行消去(列变换)正交化 15.4 QR分解分解 应用：1.设 为 阶列满秩阵，的列线性无关，特别地，若 的列相互正交，则 设 无解，则 在 上的投影为 15.4 QR分解分解 2.设 A是可逆方阵，则 分解是唯一的.设 为可逆方阵 的两个 分解.则 为正交阵，为上三角阵且对角元素为正.故 15.4 QR分解分解 3.设 列满秩，有 分解 设 在 上投影为 则 也是列满秩阵，其 分解如下