考研——线性代数.pdf

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1、1/16 第一章 行列式 定义 1 行列式中 aij称为行列式的元素或元。元素 aij第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第 i 行；第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列。位于第 i 行第 j 列的元素称为行列式的(i，j)元。定义 2 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列(也简称排列)。定义 3 对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序(例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。一个排列中所有逆序的总和叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数的排

2、列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。定理 2 n 阶行列式可定义为12n12nttp 1p 2p n1p2pnpD(1)aaa(1)aaa(t 为排列 p1 p2pn的逆序数)。行列式的性质：1.行列式与它的转置行列式相等；2.互换行列式的两行(列)，行列式变号；推论 如果行列式的两行(列)完全相同，则此行列式等于零；3.行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式；推论 行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式

3、记号的外面；4.行列式中如果两行(列)元素成比例，则此行列式等于零；5.若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式等于两个分行列式之和；6.把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。定义 4 在 n 阶行列式中，把(i，j)元 aij所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做(i，j)元 aij的余子式，记作 Mij；记 Aij=(-1)i+j Mij，Aij叫做(i，j)元 aij的代数余子式。文档来自于网络搜索 定理 3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 i1i1i2i2inin

4、1j1j2j2jn jnjD=a A+a A+a A=a A+a A+a A(i，j=1，2，n)，这个定理叫做行列式按行(列)展开法则。推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 i1j1i2j2injn1i1j2i2jninja A+a A+a A=a A+a A+a A(ij)。克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么方程组有惟一解。定理 4 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组一定有解，且解是惟一的。推论 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理 5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性

5、方程组没有非零解。推论 如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式必为零。2/16 第二章 矩阵 定义 1 由 mn 个数 aij(i=1，2，m；j=1，2，n)排成的 m 行 n 列的数表 11121n21222nm1m2mnaaaaaaaaa 称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵。为表示它是一个整体，总是加括弧，并用大写黑体字母表示，即 11121n21222nm1m2mnaaaaaaaaaA。这 mn 个数称为矩阵 的元素，简称为元，数 aij位于矩阵 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 的(i，j)元。以数 aij为(i，j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m

6、n。mn 矩阵 也记作 mn。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。文档来自于网络搜索 定义 2 只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。两个向量的行数相等列数也相等时，就称它们是同型矩阵。文档来自于网络搜索 定义 3 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O，不同型的零矩阵是不同的；从矩阵左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是 1，其他元素都是 0 的矩阵叫做单位矩阵，简称单位阵，记作 E；不在对角线上的元素都是 0 的矩阵叫做对角矩阵，简称对角阵，记作，=diag(1，2，n)。文档来自于网络搜索 定义 4 设有两个 mn 矩阵

7、=(aij)和 B=(bij)，那么矩阵 与 B 的和记作 +B，规定为文档来自于网络搜索 111112121n1n212122222n2nm1m1m2m2mnmnabababababababaaabAB。(应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算)矩阵加法满足下列运算规律(设，B，C 都是 mn 矩阵)：1.+B=B+；2.(+B)+C=+(B+C)；3.B=+(B)。定义 5 数 与矩阵 的乘积 或，规定为 11121n21222nm1m2mnaaaaaaaaaAA。数乘矩阵满足下列运算规律(设，B 为 mn 矩阵，为数)：1.()=()；2.(+)=+；3.(+B

8、)=+B。3/16 定义 6 设 =(aij)是一个 ms 矩阵，B=(bij)是一个 sn，那么规定矩阵 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵C=(cij)，其中iji11ji2sk2jissjikkj1ca ba ba ba b()(i=1，2，m；j=1，2，n)，并把此乘积记作 C=B。矩阵的乘法满足下列运算规律(假设运算都是可行的)：文档来自于网络搜索 1.B C=(B C)；2.B=()B=(B)；3.(B+C)=B+C，(B+C)=B +C；4.E=E =。(必须注意，只有第一个矩阵(左矩阵)的列数与第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘)定义 7 对于两个方阵，B，若

9、B=B，则称方阵 与 B 是可交换的。结论 1 若有两个矩阵，B 满足等式 B=O，不能得出 =O 或 B=O 的结论；若 O 而 (XY)=O，也不能得出 X=Y 的结论。文档来自于网络搜索 定义 8 把矩阵 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 T。矩阵的转置满足下列运算规律(假设运算都是可行的)：文档来自于网络搜索 1.(T)T=；2.(+B)T=T+BT；3.()T=T；4.(B)T=BT T。定义 9 设 为 n 阶方阵，如果满足 T=，即 aij=aji(i，j=1，2，n)，那么称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。文档来

10、自于网络搜索 定义 10 由 n 阶方阵 的元素所构成的行列式，称方阵 的行列式，记作或 det。由 确定满足下列运算规律(设，B 为 n 阶矩阵，为数)：文档来自于网络搜索 1.T=；2.=n；3.B=B。定义 11 行列式的各个元素的代数余子式 Aij在对应位置上所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵 的伴随矩阵，简称伴随阵，记作*。*=*=E。文档来自于网络搜索 定义 12 对于 n 阶矩阵，如果有一个 n 阶矩阵 B，使 A B=B =E，则说矩阵 是可逆的，并把 B 称为 的逆矩阵，简称逆阵。的逆矩阵记作-1，即 B=-1。方阵的逆阵满足下列运算规律：文档来自于网络搜索 1.若 可逆，则-1

11、亦可逆，且(-1)-1=；2.若 可逆，数 0，则 可逆，且()-1=-1；3.若，B 为同阶方阵且均可逆，则 B 亦可逆，且(A B)-1=B-1-1；4.若 可逆，则 T亦可逆，且(T)-1=(-1)T。定理 1 若矩阵 可逆，则0；若0，则矩阵 可逆，且-1=*。定义 13 当=0 时，称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由定理 1 可知，是可逆矩阵的充要条件是0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。定义 14 为 n 阶矩阵，记m01m()aaaAE+AA，()称为矩阵的 m 次多项式。(1)如果 =PP-1，则 k=PkP-1，从而 m11m1101m01m()aaaaaa()AE+AAPEPP

12、 PP PPP；(2)如果=diag(1，2，n)为对角阵，则k=diag(，)，从而文档来自于网络搜索 4/16 m01m12n()aaadiag(),(),()E+。结论 2 设111rs1sraaaaA，则TT11s1TTT1rsraaaaA 结论 3 设 为 n 阶矩阵，若 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，那么称 为分块对角矩阵，且=12s 文档来自于网络搜索 1sAAA若i0，则0，并且1111sAAA 结论 4 对角阵m左乘 mn的结果是 的每一行乘以中与该行对应的对角元；对角阵n左乘 mn的结果是 的每一列乘以中与该列对应的对角

13、元。文档来自于网络搜索 克拉默法则 对于 n 个变量、n 个方程的线性方程组 a11 x1+a12 x2+a1n xn=b1，a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2，an1 x1+an2 x2+ann xn=bn，如果它的系数行列式 D0，则它有惟一解：jj11j22jnnj11x(bbb)DAAADD。5/16 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等变换(矩阵的初等行变换与初等列变换统称矩阵的初等变换)：1.对调两行或两列(记作 ri rj或 ci cj)；2.以数 k0 乘某行或某列中的所有元素(记作 rik 或 cik)；3.把某行或某列的所有元

14、素的 k 倍加到另一行或另一列对应的元素上去(记作 ri+krj或 ci+kcj)。定义 2 如果矩阵 经有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 与 B 行等价；如果矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 与 B 列等价；如果矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 与 B 等价，记作 B。矩阵之间的等价具有下列性质：文档来自于网络搜索 1.反身性：；2.对称性：若 B，则 B；3.传递性：若 B，BC，则 C。结论 1 行阶梯形矩阵的特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即时非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零

15、元。行最简形矩阵的特点是：非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0。对于任何矩阵 mn，总可经过有限次初等变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。文档来自于网络搜索 定义 3 对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。标准形的特点是：矩阵的左上角是一个单位阵，其余元素全为 0。对于 mn 矩阵，总可经过初等变换把它变成标准形。文档来自于网络搜索 定理 1 设 与 B 为 mn 矩阵，那么 1.矩阵 与 B 行等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 P=B；2.矩阵 与 B 列等价的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 Q=B；3.

16、矩阵 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使 PQ=B。定义 4 由单位阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。1.把单位阵中的第 i，j 两行对调(或第 i，j 两列对调)，得初等矩阵 E(i，j)以 Em(i，j)左乘矩阵 mn，其结果相当于把的第 i 行和第 j 行对调(ri rj)；以 En(i，j)右乘矩阵 mn，其结果相当于把的第 i 行和第 j 行对调(ci cj)；文档来自于网络搜索 2.以数 k0 乘单位阵的第 i 行(第 i 列)，得初等矩阵 E(i(k)以 Em(i(k)左乘矩阵 mn，其结果相当于以数 k 乘 的第 i 行(

17、rik)，以 En(i(k)右乘矩阵 mn，其结果相当于以数 k 乘 的第 i 列(cik)；文档来自于网络搜索 3.以 k 乘单位阵的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘单位阵的第 j 列加到第 i 列上，得初等矩阵 E(ij(k)以 Em(ij(k)左乘矩阵 mn，其结果相当于把 的第 j 行乘 k 加到第 i 行上(ri+k rj)，以 En(ij(k)右乘矩阵文档来自于网络搜索 mn，其结果相当于把 的第 j 列乘 k 加到第 i 列上(ci+kcj)。初等矩阵的性质：1.初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵；E(i，j)-1=E(i，j)E(i(k)-1=E(i()E

18、(ij(k)-1=E(ij(-k)文档来自于网络搜索 2.方阵 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1，P2，Pm，使=P1P2Pm；3.方阵 可逆的充要条件是 与单位阵行等价。定义 5 在 mn 矩阵 中，任取 k 行与 k 列(km，kn)，位于这些行列交叉处的 k2个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 的 k 阶子式。文档来自于网络搜索 设在矩阵 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于 0，那么 D 称为矩6/16 阵 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 的秩，记作 R()。并规定零矩阵的秩等于 0。文档来自于

19、网络搜索 结论 2 对于 n 阶矩阵，由于 的 n 阶子式只有一个，故当0 时 R()即为 n，当=0时 R()小于 n。可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵。文档来自于网络搜索 矩阵的秩的性质 1.0R(mn)min(m，n)；2.R(T)=R()；3.若 B，则 R()=R(B)；4.若 P、Q 可逆，则 R(P Q)=R()；5.maxR()，R(B)R(，B)R()+R(B)；6.R(+B)R()+R(B)；7.R(B)minR()，R(B)；8.若 mn Bnk=O，则 R()+R(B)n。结论

20、3 设 B=O，若 为列满秩矩阵，则 B=O。定义 6 n 元线性方程组 x=b，1.无解的充要条件是 R()R(，b)；2.有惟一解的充要条件是 R()=R(，b)=n；3.有无限多解的充要条件是 R()=R(，b)n。定义 7 求解线性方程组的步骤：1.对于齐次线性方程组，则把 化成行最简形；2.对于非齐次线性方程组，把它们的增广矩阵 B 化成行阶梯形，从中可以看出 R()和 R(B)。若 R()R(B)，则方程组无解；若 R()=R(B)，则进一步把 B 化成行最简形；文档来自于网络搜索 3.设 R()=R(B)=r，把行最简形中 r 个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其

21、余 nr个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于 c1，c2，cnr，由 或 B 的最简形，即可写出含 nr个参数的通解。文档来自于网络搜索 定理 2 n 元齐次线性方程组 x=0 有非零解的充要条件是 R()n。定理 3 线性方程组 x=b 有解的充要条件是 R()=R(，b)。定理 4 矩阵方程 X=B 有解的充要条件是 R()=R(，B)。定理 5 设 B=C，则 R(C)minR()，R(B)。结论 4 若AE经列变换成EC，则 C=A-1；若AE经列变换成EC，则 C=B A-1；若(A B)经行变换成(E C)，则 C=A-1 B；若(A E)经行变换成(E C)，则 C=A

22、-1。文档来自于网络搜索 7/16 第四章 向量组的线性相关性 定义 1 n 个有次序的数 a1，a2，an所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai称为第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。文档来自于网络搜索 定义 2 三维向量的全体组成的集合 R3=r=(x，y，z)T x，y，z R，叫做三维向量空间。向量空间 R3中的平面可表示为向量集r=(x，y，z)T ax+by+cz=d。文档来自于网络搜索 n 维向量的全体组成的集合 Rn=x=(x1，x2，xn)T x1，x2，xn R，叫做 n 维向量空间。其中向

23、量集x=(x1，x2，xn)T a1x1+a2x2+anxn=b叫做向量空间 Rn中的 n1 维超平面。文档来自于网络搜索 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。定义 3 给定向量组 A：a1，a2，am，对于任何一组实数 k1，k2，km，表达式 k1a1+k2a2+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合，k1，k2，km称为这个线性组合的系数。定义 4 给定向量组 A：a1，a2，am和向量组 b，如果存在一组数 1，2，m，使 b=1a1+2a2+mam，则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示。定理 1 向量 b 能由向

24、量组 A：a1，a2，am线性表示的充要条件是矩阵 =(a1，a2，am)的秩等于矩阵B=(a1，a2，am，b)的秩。文档来自于网络搜索 定义 5 设有两个向量组 A：1，2，m和 B：b1，b2，bs，若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。文档来自于网络搜索 结论 1 设矩阵 与 B 行等价，则 的行向量组与 B 的行向量组等价；设矩阵 与 B 列等价，则 的列向量组与 B 的列向量组等价。文档来自于网络搜索 结论 2 向量组的线性组合、线性表示及等价等的概念，也可移用于

25、线性方程组：对方程组 A 的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组 A 的一个线性组合；若方程组 B 的每个方程都是方程组 A 的线性组合，就称方程组 B 能由方程组 A 线性表示，这时方程组 A 的解一定是方程组 B 的解；若方程组 A 与方程组 B 能相互线性表示，就称这两个方程组可互推，可互推的方程组一定同解。文档来自于网络搜索 定理 2 向量组 B：b1，b2，bs能由 A：a1，a2，am线性表示的充要条件是矩阵 =(a1，a2，am)的秩等于矩阵(，B)=(a1，a2，am，b1，b2，bs)的秩，即 R()=R(，B)。文档来自于网络搜索 推论 向量组 A：a1，a2，a

26、m与 B：b1，b2，bs等价的充要条件是 R()=R()=R(，B)。文档来自于网络搜索(其中 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵)定理 2，向量组 b1，b2，bs能由向量组 1，2，m线性表示的充要条件是 R(1，2，m)=R(1，2，m，b1，b2，bs)。(这里记号 R(1，2，m)既可理解为矩阵的秩，也可理解为向量组的秩)定理 3 设向量组 B：b1，b2，bs能由 A：a1，a2，am线性表示，则 R(B)R()。文档来自于网络搜索(其中 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵)定理 3，若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则 RB RA 结论 3 对于矩阵 nm

27、，存在矩阵 Kmn，使 K=En的充要条件是 R()=n，也就是说 nmX=En有解的充要条件是 R()=n。文档来自于网络搜索 定义 6 给定向量组 A：a1，a2，am，如果存在不全为零的数 k1，k2，km，使 k1a1+k2a2+kmam=0，8/16 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关。结论 4 说向量组 1，2，m线性相关，通常是指 m2 的情形。当 m=1 时，若 =0 则向量组线性相关，若 0 则向量组线性无关。当 m=2 时，向量组线性相关的充要条件是两个向量的分量对应成比例。两个向量线性相关的几何意义是两向量共线，三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。结论 5

28、 向量组 A：a1，a2，am(m2)线性相关，也就是在向量组 A 中至少有一个向量能由其余 n1 个向量线性表示。当方程组中有其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组(各个方程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组(各个方程)线性无关(或线性独立)。定理 4 向量组 a1，a2，am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵 A=(a1，a2，am)的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充要条件是 R()=m。定理 5 向量组线性相关性满足下列规律：1.若向量组 A：a1，a2，am线性相关，则向量组 B：a1，a2，am，am+1也线性相关。反言之，若向量组 B 线性无

29、关，则向量组 A 也线性无关(一个向量组若有线性相关的部分，则该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何部分都线性无关)；2.m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关；3.设向量组 A：a1，a2，am线性无关，而向量组 B：a1，a2，am，b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是惟一的。定义 6 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 a1，a2，ar，满足 1.向量组 A0：a1，a2，ar线性无关；2.向量组 A 中任意 r1 个向量(如果 A 中有 r1 个向量)都线性相

30、关，那么称向量组 A0是向量组 A 的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组)；最大无关组所含向量个数 r称为向量组 A 的秩，记作 RA。只有零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零。定理 6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。结论 6 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0是等价的。推论 设向量组 A0：a1，a2，ar是向量组 A 的一个部分组，且满足 1.向量组 A0线性无关；2.向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0线性表示，那么向量组 A0便是向量组 A 的一个最大无关组。解向量的性质：1.若 x=1，x=2为向量方程 x=0 的解，则 x=1+2也是该向

31、量方程的解；2.若 x=为向量方程 x=0 的解，k 为实数，则 x=k 也是该向量方程的解；3.设 x=1及 x=2是向量方程 x=b 的解，则 x=12是对应的齐次线性方程组 x=0 的解；4.设 x=是向量方程 x=b 的解，x=为向量方程 x=0 的解，则 x=+仍是向量方程 x=b 的解。结论 7 把向量方程 x=0 的全体解组成的集合记作 S，如果能求得解集 S 的一个含有 t 个分向量的最大无关组 S0：1，2，t，那么该向量方程的任一解都可由最大无关组 S0线性表示，最大无关组 S0的任何线性组合 x=k11+k22+ktt都是该向量方程的解，因此此式便是该向量方程的通解。定义

32、 7 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。定理 7 设 mn 矩阵 的秩 R()=r，则 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的解集 S 的秩 RS=nr。结论 8 设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 与 B x=0 同解，则 R(A)=R(B)；R(ATA)=R(A)。定义 8 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。定义 9 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 1，2，rV，且满足 9/16 1.1，2，r线性无关；2.V 中任一向量都可由 1，2，r线性表示，那么，向量组 1，

33、2，r就称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间。结论 10 1.集合 V=x=(0，x2，xn)T x2，xnR是一个向量空间；2.集合 V=x=(1，x2，xn)T x2，xnR不是向量空间；3.齐次线性方程组的解集 S=x x=0是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)；4.非齐次线性方程组的解集 S=x x=b不是向量空间。结论 11 如果向量空间 V 没有基，那么 V 的维数是零，零维向量空间只含有一个零向量。任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以是向量空间 Rn的一个基，且由此可知 Rn的维数为 n，我们把 Rn称为 n 维向量空

34、间。定义 10 如果在向量空间 V 中取定一个基 1，2，r，那么 V 中任一向量 x 可惟一地表示为 x=11+22+rr，数组 1，2，r称为向量 x 在基 1，2，r中的坐标。在 n 维向量空间 Rn中取单位坐标向量组 e1，e2，en为基，则以 x1，x2，xn为分量的 x，可表示为 x=x1e1+x2e2+xn en，可见向量在基 e1，e2，en中的坐标就是该向量的分量。因此，e1，e2，en叫做 Rn中的自然基。10/16 第五章 相似矩阵及二次型 定义 1 设有 n 维向量 x=(x1，x2，xn)T，y=(y1，y2，yn)T，令 x，y=x1 y1+x2 y2+xn yn，

35、x，y称为向量 x 与 y 的内积。内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当 x 与 y 都是列向量时，有 x，y=xT y 内积具有下列性质(其中 x，y，z 为 n 维向量，为实数)：1.x，y=y，x；2.x，y=x，y；3.x+y，z=x，z+y，z；4.当 x=0 时，x，x=0，当 x0 时，x，x0；5.x，y2 x，xy，y。定义 2 令 x =，x 称为 n 维向量的长度(或范数)。当 x =1 时，称 x 为单位向量。向量的长度具有下列性质：文档来自于网络搜索 1.非负性 当 x0 时，x 0；当 x 0 时，x =0；2.齐次性 x =x；3.三

36、角不等式 x+y x +y。定义 3 当 x0，y0 时，=arccos称为 n 维向量 x 与 y 的夹角。当x，y=0 时，称向量 x 与 y 正交。显然，若 x=0，则 x 与任何向量都正交。文档来自于网络搜索 定理 1 若 n 维向量 1，2，r是一组两两正交的非零向量，则 1，2，r线性无关。定义 4 设 n 维向量 e1，e2，er是向量空间 V(VRn)的一个基，如果 e1，e2，er两两正交，且都是单位向量，则称 e1，e2，er是 V 的一个规范正交基。若 e1，e2，er是 V 的一个规范正交基，那么 V 中任一向量 应能由 e1，e2，er线性表示，表示式为文档来自于网络

37、搜索 =1e1+2e2+rer (i=，ei)。结论 1 设 1，2，r是向量空间 V 的一个基，要求 V 的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 e1，e2，er，使 e1，e2，er与 1，2，r等价。这样一个问题，称为把 1，2，r这个基规范正交化。把 1，2，r规范正交化的方法为：文档来自于网络搜索 取 b1=1；b2=2b1；11/16 br=rb1 b2 br-1，文档来自于网络搜索 然后要把它们单位化，即取 e1=b1，e2=b2，er=br文档来自于网络搜索 这就是 V 的一个规范正交基。定义 5 如果 n 阶矩阵 满足 T =E(即-1=T)，那么称 为正交矩阵

38、，简称正交阵。方阵 为正交阵的充要条件是 的列向量(或行向量)都是单位向量，且两两正交。正交矩阵有下列性质：文档来自于网络搜索 1.若 为正交阵，则-1=T也是正交阵，且=1；2.若 和 B 都是正交阵,则 B 也是正交阵。定义 6 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。设有 y=Px 为正交变换，则有 y =x。文档来自于网络搜索 定义 7 设 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式 x=x 成立，那么，这样的数 称为矩阵 的特征值，非零向量 x 称为 的对应与特征值 的特征向量。文档来自于网络搜索 关系式还可以写成(E)x=0，这是 n 个未知数 n

39、个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式E=0，此式是以 为未知数的一元 n 次方程，称为矩阵 的特征方程。其中E是 的 n 次多项式，记作 f()，称为矩阵 的特征多项式。显然，的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数算)，因此，n 阶矩阵 在复数范围内有 n 个特征值。文档来自于网络搜索 结论 2 设 n 阶矩阵=(aij)的特征值为 1，2，n，则 1.1+2+n=a11+a22+ann；2.1 2n=。结论 3 若 pi是矩阵 的对应于 i的特征向量，则 kpi(k)也是对应于 i的特征向量。结论 4 设 是方阵 的特征值，则

40、 1.2是 2的特征值；2.当 可逆时，是-1的特征值。定理 2 设 1，2，m是方阵 的 m 个特征值，p1，p2，pm依次是与之对应的特征向量，如果它的特征值 1，2，m各不相等，则 p1，p2，pm线性无关。文档来自于网络搜索 定义 8 设，B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 P-1 P=B，则乘 B 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 B相似。对 进行运算 P-1P 称对 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 变成 B 的相似变换矩阵。文档来自于网络搜索 定理 3 若 n 阶矩阵 与 B 相似，则 与 B 的特征多项式相同，从而 与 B 的特征值亦相同。推论 若 n 阶矩阵 与对角阵=

41、diag(1，2，n)相似，则 1，2，n即是 的 n 个特征值。文档来自于网络搜索 结论 5 设 f()是矩阵 的特征多项式，则 f()=O。定理 4 n 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化)的充要条件是 有 n 个线性无关的特征向量。推论 如果 n 阶矩阵 的 n 个特征值互不相等，则 与对角阵相似；反之则 不一定与对角阵相似。定理 5 对称阵的特征值为实数。定理 6 设 1，2是对称阵 A 的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量。若 12，则 p1与 p2正交。文档来自于网络搜索 定理 7 设 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使 P-1 P=PT P=，其中是以 的 n 个特征值为

42、对角元的对称阵。文档来自于网络搜索 推论 设 为 n 阶对称阵，是 的特征方程的 k 重根，则矩阵 E 的秩 R(E)=nk，从而对应特12/16 征值 恰有 k 个线性无关的特征向量。文档来自于网络搜索 结论 6 把对称阵 对角化的步骤：1.求出 A 的全部互不相等的特征值 1，2，s，它们的重数依次是 k1，k2，ks(k1+k2+ks=n)；文档来自于网络搜索 2.对每个 ki重特征值 i，求方程(iE)x=0 的基础解系，的 ki个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得 ki个两两正交的单位特征向量。因 k1+k2+ks=n，故总共可得 n 个两两正交的单位特征向量；文档来自于

43、网络搜索 3.把这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有 P-1 P=PT P=。注意中对角元的排列次序应与 P 中列向量的排列次序相对应。文档来自于网络搜索 定义 9 含有 n 个变量 x1，x2，xn的二次齐次函数 22212n111222nnn12121313n 1,nn 1nf(x,x,x)a xaxax2ax x2ax x2axx 称为二次型。取 aij=aji，则 2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是二次型函数还可以写成文档来自于网络搜索 2212n11 112 121n 1n21 212222n2nn1 n1n2n2nn nnf(x,x,x)a xa

44、 x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x x 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换 使二次型只含平方项，即 f=k1+k2+kn，这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形(或法式)。如果标准形的系数 k1，k2，kn只在 1，-1，0 三个数中取值，即 f=+，则称此式为二次型的规范形。当 aij为复数时，f 称为复二次型；当 aij为实数时，f 称为实二次型。文档来自于网络搜索 结论 7 设11121n21222nn1n2nnaaaaaaaaaA 12nxxxx，则二次型可记作 f=xT x，其中 A 为对称阵。我们把对称阵 叫做二次型 f 的矩

45、阵，也把 f 叫做对称阵 的二次型。对称阵 的秩就叫做二次型 f 的秩。文档来自于网络搜索 定义 10 设 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C，使 B=CT C，则称矩阵 与 B 合同。R(B)=R()。文档来自于网络搜索 定理 8 任给二次型 f=(aij=aji)，总有正交变换 x=P y，使 f 化为标准形 f=1+2+n文档来自于网络搜索 推论 任给 n 元二次型 f(x)=xT x(T=)，总有可逆变换 x=C z，使 f(C z)为规范形。文档来自于网络搜索 定理 9 设有二次型 f=xT x，它的秩为 r，有两个可逆变换 x=Cy 及 x=P z，使文档来自于网络搜索 f=

46、k1+k2+kr(ki0)及 f=1+2+r(i0)，文档来自于网络搜索 则 k1，k2，kr中正数的个数与 1，2，r中正数的个数相等。定义 11 二次型的标准形中的正系数个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为二次型的负惯性指数。若二次型 f 的正惯性指数为 p，则 f 的规范形便可确定为 f=+。文档来自于网络搜索 11111221nn22112222nnnn11n 22nnnxcycycy,xcycycy,xcycycy;13/16 定义 12 设有二次型 f=xT x，如果对任何 x0，都有 f(x)0，则称 f 为正定二次型，并称对称阵 A 是正定的；如果对任何 x0，都有 f

47、(x)0，则称 f 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的(显然 f(0)=0)。文档来自于网络搜索 定理 10 n 元二次型 f=xT x 为正定的充要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正，即它的规范形的 n 个系数全为 1，亦即他的正惯性系数等于 n。文档来自于网络搜索 推论 对称阵 为正定的充要条件是：的特征值全为正。定理 11 对称阵 为正定的充要条件是：的各阶主子式都为正；对称阵 为负定的充要条件是：的奇数阶主子式都为负而偶数阶主子式为正。文档来自于网络搜索 第六章 线性空间与线性变换 定义 1 设 V 是一个非空集合，R 为实数域。如果对于任意两个元素，V，总有惟一的一个元素 V

48、 与之对应，称为 与 的和，记作 =+；又对于任一数 R 与任一元素 V，总有惟一的一个元素 V与之对应，称为 与 的积，记作 =；并且这两种运算满足以下运算规律(，V；，R)：文档来自于网络搜索 1.+=+；2.(+)+=+(+)；3.在 V 中存在零元素 0；对任何 V，都有 +0=；4.对任何 V，都有 的负元素 V，使 +=0；5.1=；6.()=()；7.(+)=+；8.(+)=+，那么，V 就称为(实数域 R 上的)向量空间(或线性空间)，V 中的元素不论其本来的性质如何，统称为(实)向量。简言之，凡满足上述八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称向量

49、空间。线性空间具有如下性质：文档来自于网络搜索 14/16 1.零元素是惟一的；2.任一元素的负元素是惟一的；3.0=0，(-1)=-，0=0；4.如果 =0，则 =0 或 =0。定义 2 在向量空间 V 中，如果如果存在 n 个元素 1，2，n，满足 1.1，2，n线性无关；2.V 中任一向量 可由 1，2，r线性表示，那么，1，2，就称为线性空间 V 的一个基，n 称为线性空间 V 的维数。只含一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为 0。维数为 n 的线性空间称为 n 为线性空间，记作 Vn。文档来自于网络搜索 结论 1 对于 n 维线性空间 Vn，若知 1，2，n为 Vn的一个基，则

50、 Vn可表示为 Vn=x11+x22+xnn x1，x2，xn R；若 1，2，n为 Vn的一个基，则对任何 Vn，都有惟一的一组有序数 x1，x2，xn，使 =x11+x22+xnn；反之，任给一组有序数 x1，x2，xn，总有惟一的元素 =x11+x22+xnnVn。定义 3 设 1，2，n是线性空间 Vn的一个基。对于任一元素 Vn，有且仅有一组有序数 x1，x2，xn，文档来自于网络搜索 使 =x11+x22+xnn，x1，x2，xn这组有序数就称为元素 在 1，2，n这个基下的坐标，并记作 =(x1，x2，xn)T。文档来自于网络搜索 结论 2 设在 n 维线性空间 Vn中取定一个基