考研线性代数.pdf

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1、线性代数部分第一章行列式强化训练(一)一、选择题1.第应选(A).2.I (cti,ai+a2,a1+ci2+aa)I 0-j,1(g ,a)I.解An=(1)“L 5|=5%+4=-1 4=Afjg-Au=0XJ4JS-+-A*j+lX4gj1 0 0=1 2 1=1.4 1 1故应选(B).3.利用行列式性质.000010-a000T00000000i=2 r-,n-a0-1-11TXa001000000001100a000000=a f 严4.斛A A5.9=1-1-34,|，I，=(-1)*(-3),14 1=(-l)*S-3*I A|-1 =6-8.IBI b应选(C).注解题过程中

2、所有公式都应该熟记或熟练推导一6.分析由于齐次线性方程组有非零解,故必有系数行列式等于零.-12=-(a-l)(a X)=O,故a=l 或 a=-4.应选(A).a+2二、填空题7.分析 该行列式的计算方法很多.考虑到其中每行（或每列）元素之和都相等,利用行列式的性质，容易将其化为三角形行列式.|2 1 1 1 1 卜 1 1r-1 1 0 0 0 0 1 0解 原 式:二T。1。o H S rP。1po o l 0 0 0 01-1 0 0 0 11 I o 0 00 00 0=6.1 00 1注本题用特征值法计算也比较简单.8.解A+8=(2a,2B，)+5),|A+B|=|(2a,2p.

3、7+&)l =4|(a.p，7+8)|=4(|(a，B，)|+|(a.B，6)|)=4(|A|+|引)=209.解-1 02AU+4c-.4a=2x 4”+1 x 4 n+(-1)x u+0 x 4M2 1 -1 0|2 14 3 2 1 X2 4 3-2-1 1 0 0 00 0 2 11 I o 02 110.解IA I=(-l)(5-9)=4.11.解B=(ai,a2,O 3)I CI =3-10-2303-10-1-22-2-130 2=AC.=2(9-2)=14,于是I 0I =I AI I CI =5 7=I A I x l 4v I AI =-7.12.解 由于A与8相似,故矩阵

4、8的特征值为4，T-.T-,T-8 的特征值为2.3,4,5.所以8-E的特征值为 1,2,3,4,故IB-El =1x 2x 3x 4 =24.注 对于抽象型行列式的计算，可能涉及矩阵的初等变换，考查行列式的性质,也可能用特征值、相似等处理.三、解答题13.解 由于所给行列式仅为3阶行列式，直接计算即可.1 2 3b 1 a3 1 25a-b-7=0,.Mi l 十Al m十，Mu =l x 4|+(-1)X4U+1XJ4U1b31 a1 2=-4 a+36 1 =11,得方程组5 a-6=7,4 a 36=12,解得。=3,6=8.14.解A x)O-C111一300-100 x-2x-7

5、:-2:|00 x-2-由/(x)=0,不 难 看 出x=0,x=1.15.(1)此为行和相等的行列式，自第2列至第n列都加到第1歹U,然后把第1行 的(-1)倍分别加到第2至n行可得。(2)X/Vka.2!a4孙-(-Ufl-n解注范馍蒙德行列式的运用在行列式计算中是比较常见的.16.分析 由于求全部代数余子式之和，只需求出A的伴随矩阵A其所有元素之和即为所求.考虑到A =：所以求L4I和A 是关键一解记0 00IAI=(-!)*ITIICI=(-1)1 0又 8:1 20 01 (-1)n ！0 00-02 00 n-10 n 0 0 0 0 n 1 0故2000YAil=-(i+2+.+

6、n)=(-ir-(+一11)!17.解 因为齐次线性方程有非零解，故应有1 -X 2 42 3-X 1 -q T I-X1 1 1-X1-X2X-31-X04(1 X)2X-109广 1-X=-M X-2)(X-3)=0.所以，当入=0,2,3时，方程组有非零解.18.解 方 程 组 A xH 有唯一解，必有14 1X 0.-(/I-1)，叶 1 a a a0 10 1=-(n-l )o c-t-l.0 1由L4“可 知 方 程 组 有 唯 一 解.=1-()a.a a 10-0 10-0 1于是D-n-)aI A I 1-(n-1)ac*“1(/t-1)ac第二章矩阵强化训练（二）一、选择题

7、1.解(A)不正确一例如取4=1 1 ，则(4 J)?=E,但 A8=.0 1 1 0-11 0-1(B)不正确.由(4 B)Z=E 可得(=I AI 181=1.(C)不正确.例如 4=,0,B=11，则(4 8)2=E，但 4 BW A4.0-1 0(D)正确.由(/18),乙即人皿8=知4 =84 8.于是 4(218)=(84 8)4 =(84)=E.应选(D).2.分析利用分块矩阵求解.解 记A=（A A）,B=:，其中4=|；1 .A=|J j .3,所 为2x 2矩阵.于是问题变为求B,8 J M更，=2,且有BBB（A 4）由上式,得取二E,则A：B O,4丛=-A2,Bi=-

8、At*A：=是于-5-9-12JJJJ1-S5一S1-81注 8B二:80-1 108也符合问题要求.解 用8 左乘和右乘已知等式可知（A）正确.用人左乘和右乘已知等式可知（B）正确.已知等式两边取逆矩阵，可知（D）正确.故应选（C）.4 解回尸=打尸=睛5.解A B =(E-aa)(E+2aa)=E+a a f-2 a(a a)a*=+a a -2(a a)a a ，由于a a=|-7.0.0,0,-7|I200012一1 2，故 A 8 =E+a aT-2-a a =E,应选（A）.注 本 题 若 将 算 出 来，再代入表达式进行求解将比较繁琐,所以在解题过程应注意灵活运用矩阵乘法的结合律

9、.6.解由于 A B 是 m x m 矩阵,r(AB)Wmin|m9n|，当 mn 时,r(A6)Wnm.有401=0.应选(A).8.分析 本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系.要消她初等矩阵的作用，搞清A与S之间的变换关系.解 由于8是由A交换第1,4列，再交换第2,3列得到的.即有8=42,于是:尸应选（C）.注 本 题 中 B=APP2,故 B =P2P,A9.分析 木题实质是求 等于多少时A的秩为4-1,可用初等变换的方法求解，也可用行列式求解.解 利 用 初 等 变 换3 A：+1 3 A+1 3 A+1 3 A+1WO.10.分析 见到A 5 =O时，就要想到r（A）十r（8）为

10、方阵A乃 的阶）以及6的列向量都是A x =0的解.解2=;:国工卜0当1 H 6时,”、）=2,尸）宅3-2 =1.又2为非零矩阵,（/）1,所以（2）=1,应选（8）.注”=6时,由于/（。）=1,”）3-1=2,而尸非零,故6）可能为1,也可能为2二、填空题11.分析 本题求方阵高次第，想“两法”.由于，（A）=1,故采用“秩1法”.解 因=ap 故/i =ap ap ap1=a (P a)(p a)-(p a)P*=(p，a)*aP，.又a=2.因此A =2a，a p1=2 ，A.12.分析根据问题特点不难看出，本题采用“对用化法”和“秩1法”求方阵的高次恭.解 由题设P可逆,4r而小

11、小眼二砰 ）皿P.(叩 )&=apTap*-apT=a二(B%(P a)(pra).-(pTa)pT2 a l个由于p a =(0.1.1)U =l,ap =|(|(0.1.1)=000101从而（对 严又101000因此/2 1 1.P =/2 1(-1)=-11-100000 IPi l 1 0010C01-111-11101-I I i J1 1 1 1 0 00011000111注 在计算初等矩阵与矩阵乘枳时，要充分利用初等矩阵的作用，即左（右）乘初等矩阵，相当于对矩阵作相应的初等行（列）变换.13.分析 由于4中的零元素构成了矩形块，故考虑利用分块法求解.解A=0 00.03 10

12、32000O CB(0oB eC Bo082A3o2o132o由3oc8O060600ooO6o=-I33o2C B-ovo l133o2o3r2I=1 3O1 2C68-L-cICI于14.注本题也可用初等变换求逆，但不如分块求逆法简单.解(A+2E)(A2-4E)=(4+2E)*(A+2)(A-2)=U+2EI(A-2E).3 0 1-1 0 1又 1A+2EI=0 4 00 0 5=t)0,/l-21=0 0 c0 0 1故-1 0 1(A+2)(A2-4)=60 0 0(0 0 I注遇到此类问题，不要急于求(A+2E)和应先利用相关的基本公式化简后再求解.15.分析 本题为3 阶矩阵求

13、逆，可考虑利用伴随矩阵求逆,也可用初等变换求逆,由于另一问题涉及伴随矩阵求逆.需要计算IA I,故采用伴随矩阵求逆.于是1 -1 2(-乂)7=(4 4,)7 二十(4)7:7 含 二 十-2-1-24 4 1 A l 44 3 316.分析由于已知条件只有有关A的 信 息.故 应 将 尽 量 用4表示.解 A(2A)-5A*=A|-5A|=-E-5 AE.将以I=g代入上式，得两边取行列式得17.解 14-281=A(2A)-5A=-2E.IAII(2A)-5/T l=-2=-8,I(2A)-1-5A I =8 =16.由B=所以18.解由于A为3阶矩阵,且r(A)=l 2由上式，得A B+

14、/t 2B1 0,取反二瓦则 r(B)=2.,B 为2x2矩阵.于是问题变为求于是4典=-&.-T11注8 8 二也符合问题要求.5 -1 18 00 82 5.解 若 r(8)=3,则有 r(A 8)=r(4),与 r(A 8)r(A)矛盾，故 r(8)3；同理 r(A)3,于是6-1 a 1=-110=a+6-3=0,0 2 1a b-3I A I =2 0 2 =4(2 f r-i 3 )=0,3 2-1解方程4：W；可得 a=l,b=2.1 2b-t-3=Q,显然r(A)=2 j(A 8)r(A)=2,且 A 8*O,r(A 8)M 1,故 r(A 8)=1.2 6.分析由于本题需要求

15、行向量组的一个极大线性无关组.故对A 进行初等行变换求秩.解1 0 -1 11 0 -1 14 3a 4_0_ _3_ _a+4 04 a 3 40 0 (a+7)(3-a)02 3 -5 5-J0 0 0 7 3 a=3 或 0 =-7 时,r(4)=3.当a =3时/的 第 1,2,3当a=-7 时/的 第 1,2 j行组成A的行向量的极大无关组.4 行组成4的行向量的极大无关组.27.解（1）E+AB=10000001 01 0 kan Ian0 1=0 0 1 lau,0 0 1l M BI=|=1-如:1 0 11M 1当I E+4 8I W O,即 nt*士时,E+A8 可逆.k!

16、(2)由于r(4)=4,故4可逆，于是有(EAB)XA=(A A8)1;A(4、8)A=(A 1+B)A/I =(A 1于是(J 5+AB)-，AT=(A +B)-，f =(Al+B)T=(4 )，/二=(4 )+“=(A+)”=(E+/1 8)A.故(E+/3)“A为对称矩阵.28.(2)题设等式条 件 右 乘(A+3)，得5(A+3E)=A+即R4+35二4十 于是有26A 十2=24+2,(2BA-A)+3(2B-E)=A-E,(2B-E)A+3(2B-E)=A-E,(2B-)(A+3)=A-,上 式 两 边 取 行 列 式，得 I2B-IIA+3I=IA-I,解(1)由 8=(2 A+

17、E)(A-2 ).有(2 A+E)8=A-2 E 即2AB+B=A-2E,2AB+A+B-E=2A-E,两边取逆,A(2 8+E)甘(2 8十)=2 A-广匕|(25+E)=2ATE,(2 8+E)J A+4 J 2 A-却(2 B+E)子臼|臼=|4-(4 A-3 )|十(必-3 )咛 i|=2(4 A-3 )*-J-(4 A-3 +5E)二 十 七+(4A-3 E)L而于是-3 0 0-i-3 0 0(4A-3 E)T =4 1 0=12 9 00 -4-3-16 12 -2-1 0 0由于 14-E l=1 0 0 =00 -1-1故12 5-1=0,即2 6-E 不可逆.3 0 0I

18、A+3 E I=1 4 0 =3 6,0-1 32 9.解 由于对任意实数A,A-M都可逆，有I人-K0,即A无实特征值,即方程/必入 二0无实数解，应有62-4OC=0 1 10 0 11 1 3K2=1 2 20 3 10 2 1K,=1 1 01 3 11 0 1K4=1 1 00 1 1故应选(C).1 1010311020210一0101.帙”航）=3,得 国 后，南线性无关;3 1 1 37 0 1 -1,秩八 ）=3.在自，仇,伊1 0 0 4d ii（1-0 2 1 ,秒，A；=2,得 距 岛 岛 线 性 相 关；1 0 0 01 1 0 1-1-01-1，秩”）二3,得自岛隔

19、线性无关.1 0 0 26.解 秩 （6。2,6）=,则向量组中任意1个向量相关，至少一组r个向量线性无关，不能确定任意,个向量线性无关，所以选项（A）、（B）均不正确.只有当5时小维向量组g,g.，明与 维向量空间等价,故选项（D）正确.故应选（D）.解 由于向量组Pt R 即可由a1，a2，.a线性表示,因此秩“跳，生，,BJ r（on,az,，a）,且r（cti,8,.明 .仇，）=r（at,a2.,at）=q.故应选（B）.L解1 0 0对十选项（B）,一方面（aiT M s-ai,4 ）=（6 ,a a）-1 1 C =（6 .a?皿）P,即向量组（a1-a 二，0-1 11 0（必

20、-、,）可由向量组a1,a”s线性表不.另一方面，因 为-1 1 （可逆，则（a，a：,ou）=（j0-1 11 0 ca3）Py=（ax-a2 ta2-a3,a3）1 1 （，即 叫，加,%可由向量组四-七，Q：-.a 茂性表小，所以两个向量级1 1 1等价.故应选（B）.）.分析利用矩阵乘枳的秩的不等式r（A）+r（B）-n r（A B）这min（r（A）,r（B）.解 因为4为mx/i矩阵,且其列向量线性无关，所以4的列秩为人从而(4)二仄由于“4)”(可-/1小r(AB)W m i n l r(A)|,则知 r(B)r(AB)=r(A)W r(S),即 r(昨.故应选(A).注此题也可

21、利用矩阵的初等变换不改变矩阵的秩这一命题来求解.解 由题设可知”4)=%所以可知4有/!个行向量线性无关.于是存在m阶可逆矩阵P,使24=，其中A是n阶可逆矩阵(相当于进行一系列初等行变换,把那几个线性无关的行向量移到矩阵上部(A构成人；而其余m-n个行向量，由于可由那n个线性无关的行向量线性表示，于是经过初等行变换均可化为0),从而有因此 r(AB)=r(PAB)=r(AtB)=r(B),又有条件八8=4，即 r(8)=r 8)=r(A)=n.故应选(A).10.分析 由于A为mx矩阵，且秩r(A)=minim,|,则矩阵的行向量组、列向量组中至少一组线性无关,利用上题的分析过程求解.解 若

22、m“,则秩r(A)=n.A的列向量组线性无关，同时A的行向量中有n个行向量线性无关，通过一系列初等行变换4即可化为标准形|.而初等列变换做不到.从而选项(A)、(B)均不正确.类似地，若mn,则矩阵4只可用初等列变换即可化为(E-。).故应选(D).二、填空题11.解对4=(%，,%)施行初等行变换：I 2 q 14=(ai,a2,a5)=4 7 1 -02 3/J 001A T只有h I W 0,即 时，秩*4)=3,这时任意一个3维向量6都可由s ,七,oh 线性表示.故答案为12.解对4 二 (%,%,4)施行初等行变换：1 2 13 1 -1A=(g 皿，5);6 2 a2 -1-20

23、 a+J I 0-5 -4|I 025004(1十20000只有当。+2 =0,即。=-2 时,r(四，匕,%)=2 3,即 四，%,4线性相关.故此题答案为。=-2.13.解对A=(仅施行初等行变换:24=(Mp)：000011-11J10-11 -43120-10-22ti d021-160141l i0141-101-1-3015p0150I71 00 0 7-510140 1-1-30 0-1-S0 0H41214.解设A=(u,8,a3),对A 进行初等行变换:1111I*1 1021TL1T3a+21a3 51 10 2-i1 10 10 00 0。十0只有当 a+1=0,即 a=

24、一1 时，r(A)=r(皿，a?,a)=2.故应填。二-L15.解 由 于0 2-I 1:(X-3)H1 10 2-1 1-1 10 20 21 -1 10 2 10 0 k-2(P!Pz P?)=(1 2 a3当4-2=0,即k=2时，秩r(K)=2 3,由on，*必 线 性 无 关 得 B1，%B线性相关.故此题答案为A=2.16.17.解*11=1 时，秩 r(A)=2 3,此时 r(Aat vA a2,Aa3)=r(A)巧-s 十%，8=-a j F-o t 2.注 此类问题必须把向量按列排并作初等行变换.若只是求向量组秩的问题.初等行列变换都可以.2 1.由于r(c h,8.d3,c

25、 u)=2,则r(4)=2,由上面行阶梯形结果可知第一、二行必是非零行，要使r(4)=2,第：行必为零行，则2-a=0且6。十 八a 1 7 =0,即当a=2,6=5时，向量组的秩为2.取 6 .y 为向量组的极大无关组，为把5,“用极大无关组线性表示，进一步把A化为行最简形:1 3 1 1 1-1A-0 4 1 0 -*0 40 0 0 (J 0 00 11 00 0由行最荷形可知.a2=-a,+4 a,a4=a,.22.解 对矩阵（6,。2,与平）循行初等行变换:当即。耍-4时,r（Qi ,a2,a3）=3,则B可唯一地由6 ,a：3线性表示.用。二-4时，继续对（.，,a-施行初等行变换

26、：2 1 1 h（8,o t 2,8.B）-0 0 1 1+5 60 0-1 -1-2 12 1 1-0 0 10 0 0b1 +5 A3b*1 a =-4T6#0 时 j(8 .a：,a)=2,而 r(a t.a2.o t 3，B)=3,则得 B 不能由 a i.a：,013线性表示.当a=-4,6=0时，5a :a .a3,p)=2 0000031002-100Q显然r（aa z ,a3）=r（P i,P2）=r（i 皿,四 岛）=2,所以两组向量等价.(3)对（8 皿 用,佐，阳）施行初等行变换:（a ，8 ,即，仇,仇）=显然秩（4,%,）=2,而r（B 隹 岛）=3,所以两向量组不等

27、价.24.解对矩阵（A；B）=（a,a2.a,:,仇，自）施行初等行变换:1 1 a 1 1-2 -2-I 0 a 1 1 a 10 H-2 a+2I 0 0(l-a)(a+2)l o 6+3a 4a+：当。=1 时,此时秩”a i.a z ）=1 ,r（Bi R,%）=8 ,8 3.四 岛.阳）=3,则可知a 1，s.8可由向量组即，伏.力线性表示，但向量组即,伏，仇不能由8 ,8.8线性表示.1 1-2 1-2-2当 a=-2 时，（4：8）0 1-1 0 0 0,0 0 0 0 0 1此时,r（6 小,13）=2/（%岛）=2,但r（6 皿 必 岛，风,国）=3,每个向量组均不能由另一向

28、量组线性表示.25.法1用定义法研究。法2由于三组向量都可由四,。2，%线性表示，故以此可建立出矩阵等式，然后考查表示式的系数组成的矩阵是否可逆即可。请参阅第8题。26.请仿照 例3.6 讨论。27.证 先证明&,&-,是线性无关的.由 于&刍，上是基础解系，故线性无关，若7-石，匕线性相关，则n可由却怎一线性表示，从而封满足齐次方程组Ar=O,于是推得4 n=0,而刈为非齐次方程组A x=b 的解，而 5 K 0,故矛盾，所以$&，七 ,工线性无关.下面证7&十下刍+”，2 ,+n 线性无关.设有一组数Ao /i 使自中自（力 ）幻（n 十&2 ）+人 _（n+&，）=。.即（十 鬲 十 也

29、-，而 十 自 酊 也 十匕片=o,由前面可知加。，二线性无关，故A o+A k|+A；2 +,+A.r=0,ki=0,k.,二。,显然只有自=自=匕,=0,故nm+Ei,线性无关28.分析 由 于 叫 线 性 无 关,BJ.%线性无关，则可知若存在 K。，且丫=自6+心a 2=区自+ha，则后6地-自自-儿隹=。，即存在非零向量Y，使 得y能同时由叫，叫及B1，生线性表示o 方程组3%也12-3 4一%自 二附 非零解o a 1.4 *2线性相关且y=fcaik2a1-证 由于,4 3岛 为3维向量，所以”,四 岛，冉一定线性相关，即存在不全为零的在不分,fu，使儿口什小皿十心仇也仇=0.又

30、由于8 q及印以都线性无关，则M iw+h s=-七仇”仇为北零向生，既可由.四线性表示,也可由B一隹线性表示.解 为求吗2 4印 4仇=0的非零解，先对，6。0，氏)施行初等行变换：1 1 i 2)1 0 0 10 1 0 1 0101.0 0 1 ol 0 0 1 c1112 1 1 1 2(a1.a：.Pi.pz)=0-1 0-1-0 1 0 1 10-11 0 1 2 1由此可得齐次线性方程组心必十*28十岛,的通解为k 1h 0从而所有能同时由a1，s和B i,供线性表示的向量y=k(ai+a2)=k(2,-l,1)29.解(1)设从基(8,9,M)到基(仇BP)的过渡矩阵为匕 则满

31、足:(Pi Pz PJ)=(I i a3)P,即1 2 32 3 41 4 320-13-1040-1(2)设(1，。，。了在两组基下坐标分别为(孙,必,为)和(力，力，力)二则第四章线性方程组强化训练(四)一、选择题1.解Ax=O仅市 零解的充分必要条件是秩r(A)=n.即Ar=O有非零解的充分必要条件是秩r(A)n.即A的列向量组线性相关.故应选(B).2.解 因 为 有 唯 解o r(4)=r(4通)=noA的列向最组线性无关.所以命题正确.乂由F A rE有无穷多解o r(4)=r(A )n=4的列向量组线性相关,所以命题正确.同时A)n保证不了 r(A)5.所以命题不正确.最后,由于

32、Ax=0无解or(4)r(A).知当Ar=6无解时.r(4)5.此时4的列向盘组线性相关.即命题也不正确.综上所述.只有命题、正确.所以应选(B).3.解 把&=(1,1/)二&=(1.0.1.0),代入心=0.得3+8+6+1=0及。|+3=0.也知8+0,=0,显然5 .a,线性相关,a：,ou也线性相关.故选项(A)、(B)错误.由a：+Oi=0得a.=-a：+0a3.即a可由a：.aj线性表示.故应选(D).4.解 由题意可知&=(1.0.0.1)1.&=(2.1.0.1),为齐次线性方程组4工=0的解.即4&=0.4&=0.可得a +a*=0,2al+s+ou=0.则%=-cu,a2

33、=ou；同时.(1 .0.1,2)7为 Ax=p 的解，即有p=a,+a3+2a4=a3+a4,则知p可用s.a,线性表示.故应选(C).注 由基础解系&，&可 知”6 .8,0(3,04)=2,且“6 .a：,a4)=1 .所以6.a：,8极大无关组中必包含8.而B=6+a)+28中 8的系数非零，所以选项(A)、(B)、(D)均不正礁5.解 由于秩r(A)=1 ,故齐次线性方程组A r=0的柒础解系中应含有3T=2个线性无关的解向做.所以选项(B)、(C)错误.而对于选项(D),由A1)|5 K 0可知n不是Ar=O的解,选项(D)不正确.事实上.当kt+k2+/r3=0时.醇+丁%=自(

34、n-%)+“%-%)其中田1f 1,%-%分别是4r=0的解.且线性无关.所以应选(A).6.用基础解析的三个条件考查四个选项即可。7.注意，把已知条件通解中的第2 项去掉。解 依题意,线性方程组的越础解系中只含有 个线性无关的解向盘二(1.0.2,0)1则可知秩(A)二4-1=3.IAI=0,且5+203=0.即5 ,%小.匕中极大无关组可取为ou.或5 .%,a4.乂由4/!二IA IE=O,可知a1,X 2 ,a3,ou都是方程组A x=0的解.综上所 述/、=0的基础解系可为s g.a.故应选(D).8.W 命题显然正确.事实匕线性方程组Ax二。解空间的维数为-r(A).线性方程组以二

35、。解空间的维数为若Ar二。的就都是Ar=0的解则A r=0的解空间定是西 二。解空间的 空 间,行(A)Wn-r(8).即 r(A)Nr )成立.由于命题正确,显然命题也是正确的.故应选(A).命题是命题的逆命题.不正确.例如取4、B如下：I 1 0 1 1 0 0 1 1A。1=0 J ,则 r(4)=2 m S)=l.r(4)(S).但Ax=0通解为。显然不满足8x=0.命题也是错误的,请读者自行举出反例.9.解 由于r(A)=r(6).所以8 的行列式I*=0.否则r(b)=+l(A).因 此 班 二 0 必有非零解,故应选(D).同时排除(C).其他选项可通过举反例排除.例如.川；m则

36、 人;；容易验证r(B)=r(A)=2.而A x二 a 有唯一解.排除(A).3 2 d I|3 2 0 1若取A:2 1 (.a 1 ,则 B=2,1,0 0 d i cI 1 0(J显然(4)=/(8)=23,2.1 ),为Ar=0的解.所以方程组Ax=6的通解为X=JK4.3.2,1)T+(I.2.3.4)T.*为任意常数.15.解 因r(A)=-1,故方程组Ax=0 的基础解系只含1 个线性无关的解向量，而由齐次方程组解的性质可知，/-a2必 是 4=0 的非零解，从而方程组的通解为x=k(a-%)16.解 由题设可知r(A)=r(5 .4.%)二3且9.a ho t j为极大无关组,

37、由于r(4)=3 .所以r(A，)=1.得到43:0的基础解系中含有三个线性无关解向最.A*A=A E=O,W A的列向量g.8.8.8均为A二。的解容易知6.8 .8 为其基础解系,所以A X=0通解为,二人9 1+自8+舟8.17.解 对矩阵(4 ：8)施行初等行变换:1 1 2-1 2 10 1 11 1 2-0330 1 1-1n-1-13 1 1 23-0 1 1/I 0 0 04m6-3m-1 3T Pn+2 3 3/J46m只有当 6-3 m =0.几+2=0.3-3 p=0,即 m=2 ,n=-2 ,p=l 时，一定存在 X 使 A X=3.所以此题答案为m=2,n =-2,p

38、=1.18.解 由秩r(8)=m,得方程组 协=0只有零解.所以方程组8 4 x=0 与方程组A x=0 同解.由于r(4)=r,所以B A x=0 的基础解系中包含线性无关的解向量的个数为n-r.三、解答题19.解(1)对系数矩际施行初等行变换:由于r(A )=(4)=3,则方程组有无穷多解,同解方程组为(取袋，历为自由变量)x=-5-3 x 2 +3 x 5,x =x?,=0 ,%=-4+Qv:+2X5,X 5 =Xs,所以方程组通解为了=(-5.0.0.-4.0),+自(-3.1.0.0.0),+七(3.0.0,2.0)&也为任意常数.A =1 23 65 101 2 10 0-40 0

39、-4001002 i -10 1 000 0取叼也为自由变量,得同解方程组：X=-2 x：+x4.Xj=0得共通M为其 中 为 任 意 常 数.(2)对非齐次线性（4:20.解对非齐次线性方程组的增广矩阵施行初等行变换:1 3 3-2 -4 ”小5-k I-A-11 r3-rj-23-AI-X5-k2（X-1）X -I2X-1+（-5）小（入-1X-1当人=1时.r(A)=r(A )=1.同解方程组为修+2必-2必=1.9 ,此时通解为了=(1.0.0)，自(-2.1.0)，心(2.0.1)1,出为任意常数.当入*1时,继续对增广矩阵施行初等行变换：（A ：b）=-5+11上（-4所以.当入=

40、10 时,r(4)=2,r(A )=3.r(A)。解之,M2p+q-l-叫=0,IX|+必+必=1,x2+5 x j =2.x,=-l +4 x3,x2=2-5X3,通解为x =(-1 ,2,0)T+A(4,-5,1)T,A 为任意常数.23.解(1)由题意可知导出组A x=O的基础解系中只含一个线性无关的解向信又 A(四+%-2 6)=4 6+4&-2 4 4=0,即6+(0 12-2 3)=(4,0,2,5)，为导出组的基础解系.A x=b的通解为X=M 4,0,2,5)T+(2,0 1，3)T#为任意常数.(2)若m=3,A x=。有解，向量。一定可以由矩阵A的列向量组线性表示.24.分

41、析 本题是抽软型非齐次线性方程组的典型情形.只要从题设条件求得对成齐次线性方程组Ar=O的一个基础解系与非齐次线性方程组A x=b的一个特解即可.其中一个关键问题仍是确定系数矩阵A的秩，由此可知基础解系中包含线性无关解向量个数一解(1)由题设条件可知&=(1.-2,3 是齐次方程组Ax=O的解，且 4)=%，,%)=3-1=2；邛=(1 2-1)1为非齐次线性方程组Ax=b的解.于是有1=(a j,a2,a3)-二=at-2o+3as=0,314n=(6,.,6)2 =a,+2a2-a,=6,-1由可得8 =202-3%，即 8可用8,8 线性表示，显然8,8线性无关，否则,8 ,%)=1与r

42、(A)=2矛盾，所以6,5 ,ctj的一个极大无关组可取为5,3.由可得 b=8+28-03=4ct-4ots.(2)因J(8 ,8 ,8b+O3,3-az)-1 a.8,8 ,b,0)九 百(0,8 .Ch,0.0),CS +f2 c4-：4-r3故”6,5 ,a3,+a3)=r(a,a2,6 力+3,6 y?)=24,即非齐次方程组 Bx=a1-a2无穷多解.因b1-1001-100=(6,。2 ,%出 0t3=a)-2,故叩=(1,-1,0,0)为8工=a1-a：的特解.又2 1 0 4-3 0 1-3由于(a-a,)=2,所以=0 1 j2 1 0 4-3 0 1-3x=o同解，容 易

43、 求 得；;0的通解为x=A i(1,2,3.0)+(0,4,-3，-1)T，故 Bx=8 ct 的通解为x=ki(1 ,2,3.0)r+A；2(0,4,3t l)T+(1 1,0,0)T,ki,ki 为任意常数.25.解 先求方程组(I)的通解，对其系数矩阵施行初等行变换:由r(A)=2 4,可知方程组(1)有非零解，基础解系为壬=(1,-2,1.0 4岛=(-a,a+T-,0.1)T，通解为 3 20+、0 a-32 3+b,xKigi+Azgz=（&-&2,-2&+，+T|自 为）,AI,心为不全为零的常数.将通解代入方程组（口）中，得一景+2a+-|k2=0,（皿）-ak2=0,_3如

44、|_+k2=0,对此方程组的系数矩阵施行初等行变换-3 2 2。-1=0,即O=0/=l时,方程组（HI）有非零解，此时方程组（I）和方程组（口）有非零公共解.方程组（IH）的解为代入方班（I）的通解中，存方程组（I）、（U）所有非零公共解为X=|得及.-*2.-*2,*J=A（5,-7,5,6）,其 中*=+*2为任意非零常数.注 本 题 可 直 接 用 联 立 法 求 解.26.注意，把&中的匕改为6.仿照例4.23求解。27.解 将 两 个 方 程 组 联 立 得 方 程 组（Uh.（皿）若 此 方 程 组 有 解，则方程组（I）、（D）有公共解.对 方 程 组（皿）的增广矩阵施行初等行

45、变换:1 1 1 10 0 2 11 3 22 2 0 10 1 16 一 0 0-1 1 0 u-11 0 01 1 I 0|11 1 1 1 02 1 6|0 a-1 2 1 -12 1 -J 1 0 0 2 1 b-2 -J 11 I 0 0 0 0 6+1当6+1=0,即b=T时,“4）=r（A ）,方程组（DI）有 解，此 时 方程组（I）和方程组（口）有公共解.以下求公共解.修 二 十 一 一+4,Xl+l：+l；+J=0.A：=2,“二-1，且。=1时，方程组为 同 解 方 幽 为2对1=-1,_L JL.=-2 2XO二4 二 ,公 共 解 为x=一.O,-,o|+扃（-1,1

46、,0.0）+小|一，品，自为任意常数.为6=-1,且。#1时.增广矩阵化为取力为自由变量，得同解方程组:Xi=1 F,“二0,I X4=-1-2X3,公共解为x=(l,0,0,-l)T+A(l,0,l,-2)T,A 为任意常数.28.分析本题是两个齐次线性方程组的同解问题，由于一个方程组已知，一个未知，故考虑用代入法.先把方程组（I I）两个解向量代入方程组（I ）中，得 到 参 数 的 取 值.要证明两个方程组同解，应先把方程组（I ）的基础解系之,已求出来，再证其与方程组（I I）的基础解系等价即可.解 设%=（$,2,3/6）。=（2,1,2/）,依题意可知八，朋为方程组（11）的基础解

47、系.把 口，中分别代入方程组（I ）中，得s+3m2s 3m+2n=12,二 解之2m-=-4,m=3,=2,s=3,t10-以下证明当m=3,11=2,$=3,1=10时方程组（I ）和（n ）同解.此时方程组（口）的基础解系为9 =（3,2,3,16）T,T）2=（2,1,2,10）T.先求方程组（I ）的基础解系却，&-先对系数矩阵施行初等行变换：同解方程组为23-8-11 1 2 3 -J I 1 0 -1 02 l-1 0 2 4 -J 10 2 4 -10120，得到方程组（I）的基础解系&=0）&=（0,1,0,2）要证方程组（32316）与（n）同解，只需证明（办,T）2）与（

48、&）等价即可.210 0-130-3-8000I00000001030000080000由于=1月）,则知r（n,m）=r（&）=，（】，曲 怎 名）=2,所以知当m =3,71=2 ,$=3,1=10时，方程组（I）与方程组（口）同解.29.解（I）设方程组（I）的系数矩阵为A i,增广矩阵为M,施行初等行变换（-2+A）+m（-4+*）-（-5+X）T=-5,解之，得 m=2；将通解代入方程组（n）中第二个方程，得n（-4+R）5+2A）-2A=-11,解之，得 n=4；将通解代入方程组（ID）中第三个方程，得（-5+21;）2A=+1,解之，得=6因此，当m=2/=4 j=6 时,方程组

49、（I）的解一定为方程组（D）的解.下面需要证明当m=2,/匚4/=6 时,方程组（n）的解也为方程组（I）的解.XI+2X2-X3-X4=-5,事实上，这时方程组（I I）变 为4X2-2X4=-1 1,x3-2X4=-5.30.解（1）首先解方程A&=壬 一对增广矩阵施行初等行变换：1-1-1（A ,）=-1 1 10-4-2.H i20-1 10-100 0-120-1-11 10 0同解方程组为%=X,只I2三=T-.o|+4 Z为任意常数.再求解对（4二&）施行初等行变换：2 2 0-1 1 I 2 2 0（A2；）=-2 -2 0 1-0 0 04 4 0-J Io 0 000/二一

50、。-必,I (I T同解方程组头、_ r 通 解 为&=-4.0.0+左(-1,1.0),+自(0.0.1),人扃为任意常数.*2 *2 *I 2.I必二 为，(2)对任意的从小，质，由(1)可 知 圣=(-1,1.-2),&=|+A-4-.4-4-*，d ，&=1-*L+，鬲，4则Igl&S I =1 k-2 k k2故却心占线性无关.笫五章矩阵的特征值和特征向量强化训练(五)一、选择题1.解对四个命题进行分析如下：(1)若人尸褊时,8、8是矩阵A属于同一特征值的特征向量.+r(笳E-A)nT,即L为重特征值时，属于猫的线性无关特征向量可能多于T,故命题Q作正确一但 A ot i=X ia