线性代数习题.pdf

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1、 第一章 行列式 4.计算下列各行列式：（1）71100251020214214；（2）2605232112131412；（3）efcfbfdecdbdaeacab；（4）dcba100110011001 解(1)7110025102021421434327cccc0100142310202110214=34)1(143102211014=143102211014 321132cccc1417172001099=0 (2)260523211213141224cc 260503212213041224rr 0412032122130412 14rr 0000032122130412=0 (3)e

2、fcfbfdecdbdaeacab=ecbecbecbadf=111111111adfbce=abcdef4 (4)dcba10011001100121arr dcbaab100110011010=12)1)(1(dcaab101101 23dcc 010111cdcadaab=23)1)(1(cdadab111=1adcdababcd 5.证明:(1)1112222bbaababa=3)(ba;(2)bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax=yxzxzyzyxba)(33;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222

3、222222222222ddddccccbbbbaaaa;(4)444422221111dcbadcbadcba)()()()(dbcbdacaba)(dcbadc;(5)1221100000100001axaaaaxxxnnnnnnnaxaxax111.证明(1)00122222221312ababaabaabacccc左边abababaab22)1(2221321)(abaabab 右边3)(ba(2)bzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa分开按第一列左边 bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayyb 002ybyaxzxbxazyzbzayxa分别再分bza

4、yyxbyaxxzbxazzybzyxyxzxzybyxzxzyzyxa33分别再分 右边233)1(yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa(3)2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(dddddcccccbbbbbaaaaa左边9644129644129644129644122222141312ddddccccbbbbaaaacccccc 964496449644964422222ddddccccbbbbaaaa分成二项按第二列964419644196441964412222dddcccbbbaaa 949494949

5、464222224232423ddccbbaacccccccc第二项第一项06416416416412222dddcccbbbaaa(4)444444422222220001adacabaadacabaadacaba左边=)()()(222222222222222addaccabbadacabadacab=)()()(111)()(222addaccabbadacabadacab=)()(adacab)()()()()(00122222abbaddabbaccabbbdbcab=)()()()(bdbcadacab)()()()(112222bdabbddbcabbcc=)()()()(dbc

6、bdacaba)(dcbadc(5)用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当axaxaxaxDn 假设对于)1(n阶行列式命题成立，即 ,122111nnnnnaxaxaxD:1列展开按第则nD 1110010001)1(11xxaxDDnnnn右边nnaxD1 所以，对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式)det(ijaD,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转，依次得 nnnnaaaaD11111，11112nnnnaaaaD，11113aaaaDnnnn，证明DDDDDnn32)1(21,)1(.证明)det(ijaD nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD22

7、11111111111)1(nnnnnnnnaaaaaaaa331122111121)1()1(nnnnnnaaaa111121)1()1()1(DDnnnn2)1()1()2(21)1()1(同理可证nnnnnnaaaaD11112)1(2)1(DDnnTnn2)1(2)1()1()1(DDDDDnnnnnnnn)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为kDk）：(1)aaDn11,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是 0；(2)xaaaxaaaxDn;(3)1111)()1()()1(1111naaanaaanaaaDnnnnnnn;提示

8、：利用范德蒙德行列式的结果(4)nnnnndcdcbabaD000011112;(5)jiaaDijijn其中),det(;(6)nnaaaD11111111121,021naaa其中.解(1)aaaaaDn00010000000000001000 按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(nnnaaa)1)(1(2)1(nnnaaa(再按第一行展开)nnnnnaaa)2)(2(1)1()1(2nnaa)1(22aan(2)将第一行乘)1(分别加到其余各行，得 axxaaxxaaxxaaaaxDn0000000 再将各列都加到第一列上，得 axaxaxaaaanxDn

9、0000000000)1()()1(1axanxn(3)从第1n行开始，第1n行经过n次相邻对换，换到第 1 行，第n行经)1(n次对换换到第 2 行，经2)1(1)1(nnnn次行交换，得 nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)()1()()1(1111)1(1112)1(1 此行列式为范德蒙德行列式 112)1(1)1()1()1(jinnnnjaiaD 111)1(2)1(112)1()()1()1()()1(jinnnnnjinnnjiji 11)(jinji (4)nnnnndcdcbabaD00011112 nnnnnnddcdcbabaa0000000011111111展

10、开按第一行000000)1(1111111112cdcdcbababnnnnnnn 2222 nnnnnnDcbDda都按最后一行展开 由此得递推公式：222)(nnnnnnDcbdaD 即 niiiiinDcbdaD222)(而 111111112cbdadcbaD 得 niiiiincbdaD12)(5)jiaij 0432140123310122210113210)det(nnnnnnnnaDijn,3221rrrr0432111111111111111111111nnnn,141312cccccc1524232102221002210002100001nnnnn=212)1()1(nn

11、n(6)nnaaDa11111111121,433221ccccccnnnnaaaaaaaaaa10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列)(1(121nnaaaannnaaaaaaaaa00000000000000000000000000022433221 nnnaaaaaaaa000000000000000001133221nnnaaaaaaaa000000000000000001143322 nnnnnnaaaaaaaaaaaa322321121)(1()11)(121niinaaaa 8.用克莱姆法则解下列方程组：;01123,2

12、532,242,5)1(4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx .15,065,065,065,165)2(5454343232121xxxxxxxxxxxxx 解(1)11213513241211111D81207350321011111450081300321011111421420005410032101111 112105132412211151D1121051329050111511210233130905091512331309050112109151 120230046100011210915114200038100112109151142 112035

13、122412111512D811507312032701151313900112300231011512842840001910023101151 426110135232422115113D ;14202132132212151114D 1,3,2,144332211DDxDDxDDxDDx(2)5100065100065100065100065D展开按最后一行61000510065100655DDD 65 DDD 6)65(5DD 3019DD 1146566551141965(,11的余子式中为行列式aDD,11的余子式中为aDD 类推DD ,)510016510006510006500

14、00611D展开按第一列6510065100650006D46 D460319 D1507 51010651000650000601000152D展开按第二列51006510065000616510065000610005365510651065 1145108065 51100650000601000051001653D展开按第三列510065000610005165000610005100656100510656510650061 703114619 51000601000051000651010654D展开按第四列6100051006510065500061000510065151065

15、106565395 11000051000651000651100655D展开按最后一列D10005100651006512122111 665212;665395;665703;6651145;665150744321xxxxx 9.齐次线性方程组取何值时问,0200321321321xxxxxxxxx有非零解 解 12111113D，齐次线性方程组有非零解，则03D 即 0 得 10或 不难验证，当,10时或该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx 有非零解 解 111132421D101112431)3

16、)(1(2)1(4)3()1(33)1(2)1(23 齐次线性方程组有非零解，则0D 得 32,0或 不难验证，当32,0或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 3213321232113235322yyyxyyyxyyyx 求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 221321323513122yyyxxx 故 3211221323513122xxxyyy321423736947yyy 321332123211423736947xxxyxxxyxxxy 2 已知两个线性变换 32133212311542322yyyxyyyxyyx

17、 323312211323zzyzzyzzy 求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 221321514232102yyyxxx321310102013514232102zzz 321161109412316zzz 所以有3213321232111610941236zzzxzzzxzzzx 3 设111111111A 150421321B 求3AB2A及ATB 解 1111111112150421321111111111323AAB 2294201722213211111111120926508503 092650850150421321111111111BAT 4 计算

18、下列乘积 (1)127075321134 解 127075321134102775132)2(7111237449635 (2)123)321(解 123)321(132231)(10)(3)21(312 解 )21(31223)1(321)1(122)1(2632142 (4)20413121013143110412 解 204131210131431104126520876 (5)321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx 解 321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx (a11x1a12x2a13x3 a12

19、x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)321xxx 322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa 5 设3121A 2101B 问 (1)ABBA吗 解 ABBA 因为6443AB 8321BA 所以ABBA (2)(AB)2A22ABB2吗 解 (AB)2A22ABB2 因为5222BA 52225222)(2BA2914148 但 43011288611483222BABA27151610 所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗 解 (AB)(AB)A2B2 因为5222BA 1020BA 90601020

20、5222)(BABA 而 718243011148322BA 故(AB)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0 解 取0010A 则A20 但A0 (2)若A2A 则A0或AE 解 取0011A 则A2A 但A0且AE (3)若AXAY 且A0 则XY 解 取 0001A 1111X 1011Y 则AXAY 且A0 但XY 7 设101A 求A2 A3 Ak 解 12011011012A 1301101120123AAA 101kAk 8 设001001A 求Ak 解 首先观察 0010010010012A222002012 3232323003033AAA

21、43423434004064AAA 545345450050105AAA kAkkkkkkkkkk0002)1(121 用数学归纳法证明 当k2时 显然成立 假设k时成立，则k1时，0010010002)1(1211kkkkkkkkkkkkAAA 11111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk 由数学归纳法原理知 kkkkkkkkkkkA0002)1(121 9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵 10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条

22、件是ABBA 证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵 必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解 5221A|A|1 故A1存在 因为 1225*22122111AAAAA 故 *|11AAA 1225 (2)cossinsincos 解 cossinsincosA|A|10 故A1存在 因为 cossinsincos*22122111AAAAA 所以 *|11AAA cossinsincos (3)145243121 解 145243121A|A|

23、20 故A1存在 因为 214321613024*332313322212312111AAAAAAAAAA 所以 *|11AAA 1716213213012 (4)naaa0021(a1a2 an 0)解 naaaA0021 由对角矩阵的性质知 naaaA10011211 12 解下列矩阵方程 (1)12643152X 解 126431521X1264215380232 (2)234311111012112X 解 1111012112234311X 03323210123431131 32538122 (3)101311022141X 解 11110210132141X 21011013114

24、2121 2101036612104111 (4)021102341010100001100001010X 解 11010100001021102341100001010X 010100001021102341100001010201431012 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1)3532522132321321321xxxxxxxxx 解 方程组可表示为 321153522321321xxx 故 0013211535223211321xxx 从而有 001321xxx (2)05231322321321321xxxxxxxxx 解 方程组可表示为 012523312111321xxx

25、故 3050125233121111321xxx 故有 305321xxx 14 设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2 Ak1 证明 因为AkO 所以EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2 Ak1)所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理2推论知(EA)可逆 且 (EA)1EAA2 Ak1 证明 一方面 有E(EA)1(EA)另一方面 由AkO 有 E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak)(EAA2 A k1)(EA)故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1 就有 (EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设方阵A满足A2A2EO 证明A及

26、A2E都可逆 并求A1及(A2E)1 证明 由A2A2EO得 A2A2E 即A(AE)2E 或 EEAA)(21 由定理2推论知A可逆 且)(211EAA 由A2A2EO得 A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或 EAEEA)3(41)2(由定理2推论知(A2E)可逆 且)3(41)2(1AEEA 证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得|A2A|2 即|A|AE|2 故|A|0 所以A可逆 而A2EA2|A2E|A2|A|20 故A2E也可逆 由 A2A2EO A(AE)2E A1A(AE)2A1E)(211EAA 又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E

27、)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 )3(41)2(1AEEA 16 设A为3阶矩阵 21|A 求|(2A)15A*|解 因为*|11AAA 所以|521|*5)2(|111AAAAA|2521|11AA|2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)*证明 由*|11AAA 得A*|A|A1 所以当A可逆时 有|A*|A|n|A1|A|n10 从而A*也可逆 因为A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又*)(|)*(|1111AAAAA 所以 (A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)

28、*(A1)*18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*|A|n1 证明 (1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得 AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于*|11AAA 则AA*|A|E 取行列式得到|A|A*|A|n 若|A|0 则|A*|A|n1 若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*|A|n1 19 设321011330A ABA2B 求B 解 由ABA2E可得(A2E)BA 故 321011330121011332)2(11A

29、EAB011321330 20 设101020101A 且ABEA2B 求B 解 由ABEA2B得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE)因为01001010100|EA 所以(AE)可逆 从而 201030102EAB 21 设Adiag(1 2 1)A*BA2BA8E 求B 解 由A*BA2BA8E得 (A*2E)BA8E B8(A*2E)1A1 8A(A*2E)1 8(AA*2A)1 8(|A|E2A)1 8(2E2A)1 4(EA)1 4diag(2 1 2)1 )21,1,21(diag4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A的伴随阵8030010100100001*A

30、 且ABA1BA13E 求B 解 由|A*|A|38 得|A|2 由ABA1BA13E得 ABB3A B3(AE)1A3A(EA1)1A 11*)2(6*)21(3AEAE 1030060600600006603001010010000161 23 设P1AP 其中1141P 2001 求A11 解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1.|P|3 1141*P 1141311P 而 11111120 012001 故 31313431200111411111A68468327322731 24 设APP 其中111201111P 511 求(A)A8(5E6AA2)解 ()8(5

31、E62)diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125)diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P1 *)(|1PPP 1213032220000000011112011112 1111111114 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为 A1(AB)B1B1A1A1B1 而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆 (A1B1)1A1(AB)B11B(AB)1A 26 计算30003200121013013000120010100121 解 设10211A

32、30122A 12131B 30322B 则 2121BOBEAOEA222111BAOBBAA 而 4225303212131021211BBA 90343032301222BA 所以 2121BOBEAOEA222111BAOBBAA9000340042102521 即 300032001210130130001200101001219000340042102521 27 取1001DCBA 验证|DCBADCBA 解 41001200210100101002000021010010110100101DCBA 而 01111|DCBA 故|DCBADCBA 28 设22023443OOA

33、求|A8|及A4 解 令34431A 22022A 则 21AOOAA 故 8218AOOAA8281AOOA 1682818281810|AAAAA 464444241422025005OOAOOAA 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求 (1)1OBAO 解 设43211CCCCOBAO 则 OBAO4321CCCCsnEOOEBCBCACAC2143 由此得 snEBCOBCOACEAC2143121413BCOCOCAC 所以 OABOOBAO111 (2)1BCOA 解 设43211DDDDBCOA 则 snEOOEBDCDBDCDADADDDDDBCOA4231214321 由

34、此得 snEBDCDOBDCDOADEAD42312114113211BDCABDODAD 所以 11111BCABOABCOA 30 求下列矩阵的逆阵 (1)2500380000120025 解 设1225A 2538B 则 5221122511A 8532253811B 于是 850032000052002125003800001200251111BABA (2)4121031200210001 解 设2101A 4103B 2112C 则 1111114121031200210001BCABOABCOA 411212458103161210021210001 第三章 矩阵的初等变换与线性

35、方程组 1把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)340313021201;(2)174034301320;(3)12433023221453334311;(4)34732038234202173132.解(1)3403130212011312)3()2(rrrr020031001201)2()1(32rr01003100120123rr 300031001201 33r100031001201323rr 1000010012013121)2(rrrr100001000001 (2)174034301320 1312)2()3(2rrrr31003100132021233rrrr0000310010

36、02021r000031005010(3)12433023221453334311 141312323rrrrrr1010500663008840034311)5()3()4(432rrr22100221002210034311 2423213rrrrrr00000000002210032011 (4)34732038234202173132 242321232rrrrrr1187701298804202111110141312782rrrrrr41000410002020111110 34221)1(rrrrr0000041000111102020132rr 0000041000301102

37、0201 2.设987654321100010101100001010A，求 A。解：A=11100010101987654321100001010=287221254 3试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1)323513123;(2)1210232112201023.解（1）10001000132351312310101100120041012310121121023200010023 210212112922710001000321021211233267100010001 故逆矩阵为21021211233267(2)1000010000100001121023211220102

38、320104301100001001200110012102321 10612430110000100100011001210232110612631110 1022111000010000100021 106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为10612631110104211 4(1)设132231,113122214BA,求X使BAX;(2)设132321,433312120BA,求X使BXA.解(1)132231113122214BA初等行变换412315210100010001 4123152101BAX(2)132321433312120BA初等

39、列变换474112100010001 4741121BAX 5.设101110011A，AX=2X+A,求 X。解：由 AX=2X+A 得：XAEA1)2(011101110 6在秩是r的矩阵中,有没有等于 0 的1r阶子式有没有等于 0 的r阶子式 解 在秩是r的矩阵中,可能存在等于 0 的1r阶子式,也可能存在等于 0 的r阶子式.例如，00000000010000100001.3)(R同时存在等于 0 的 3 阶子式和 2 阶子式.7从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B,问BA,的秩的关系怎样 解 )(AR)(BR 设rBR)(，且B的某个r阶子式0Dr.矩阵B是由矩阵A划去一行得到的，所

40、以在A中能找到 与Dr相同的r阶子式Dr，由于0DDrr，故而)()(BRAR.8求作一个秩是 4 的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(解 设54321,为五维向量,且)0,0,1,0,1(1,)0,0,0,1,1(2,则所求方阵可为,54321A 秩为 4,不妨设)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,0,0,0(55443xx 取154 xx 故满足条件的一个方阵为0000010000010000001100101 9求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)443112112013;(2)815073131213123；(3)02301085

41、235703273812.解(1)443112112013rr2144312013121156405640121112133rrrr 200005640121123秩为rr.二阶子式41113(2)8150731312231231527332105911701443127122113rrrrrr 20000059117014431323秩为rr.二阶子式71223(3)02301085235703273812434241322rrrrrr02301024205363071210131223rrrr0230114000016000071210 344314211614rrrrrrrr000001

42、00007121002301 秩为 3 三阶子式07023855023085570 10.设 A、B 都是nm矩阵，证明BA 的充分必要条件是)()(BRAR。证：必要性即定理 3，故需证明充分性，设)()(BRAR=r，由矩阵的等价标准型理论知矩阵 A、B具有相同的标准型，nmrEF000，于是FA，FB，从而由等价关系的对称性和传递性，知BA。11.设32321321kkkA，问 k 为何值时，可使：(1)1)(AR；(2)2)(AR；(3)3)(AR。解：对 A 作初等变换，32321321kkkA)2)(1(300)1(3)1(20321kkkkk，于是，由定理 3，(1)当 k1 时

43、，1)(AR；(2)当 k-2 时，2)(AR；(3)当21kk且时，3)(AR。12求解下列齐次线性方程组:(1);0222,02,02432143214321xxxxxxxxxxxx (2);05105,0363,02432143214321xxxxxxxxxxxx(3);0742,0634,0723,05324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx (4).0327,01613114,02332,075434321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解(1)对系数矩阵实施行变换:2122111212113410013100101,即得4443

44、424134334xxxxxxxx.故方程组的解为 1343344321kxxxx.(2)对系数矩阵实施行变换:5110531631121000001001021 即得4432242102xxxxxxxx 故方程组的解为 10010012214321kkxxxx (3)对系数矩阵实施行变换:74216314721351321000010000100001 即得00004321xxxx.故方程组的解为00004321xxxx(4)对系数矩阵实施行变换:3127161311423327543000000001720171910171317301 即得443343243117201719171317

45、3xxxxxxxxxx.故方程组的解为1017201713011719173214321kkxxxx 13求解下列非齐次线性方程组:(1);8311,10213,22421321321xxxxxxxx (2);694,13283,542,432zyxzyxzyxzyx(3);12,2224,12wzyxwzyxwzyx (4);2534,4323,12wzyxwzyxwzyx 解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有 60003411100833180311102132124 2)(AR而3)(BR,故方程组无解 (2)对系数的增广矩阵施行行变换:691413283542141320000000

46、021101201,即得zzzyzx212.亦即021112kzyx.(3)对系数的增广矩阵施行行变换:111122122411112000000100011112,即得0212121wzzyyzyx 即00021010210012121kkwzyx (4)对系数的增广矩阵施行行变换:000007579751025341253414312311112 000007579751076717101 即得wwzzwzywzx757975767171 即00757610797101757121kkwzyx 14.写出一个以1042013221ccx（*）为通解的齐次线性方程组。解：把(*)式改写为21

47、212143214322ccccccxxxx把31xc，42xc，得 43434343214322xxxxxxxxxx，由此知所求方程组有 2 个自由未知数3x，4x，且对应的方程组为 4324314322xxxxxx，即043022432431xxxxxx，它以(*)式为通解。15取何值时,非齐次线性方程组 2321321321,1xxxxxxxxx(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解 解(1)0111111,即2,1时方程组有唯一解.(2)()(BRAR 21111111B22)1)(1()2)(1(00)1(11011 由0)1)(1(,0)2)(1(2,得2时,方程组无解.(

48、3)3)()(BRAR,由0)1)(1()2)(1(2,得1时,方程组有无穷多个解.16非齐次线性方程组 23213213212,2,22xxxxxxxxx 当取何值时有解并求出它的通解 解)2)(1(000)1(3211012121112121122B 方程组有解，须0)2)(1(得2,1 当1时,方程组解为001111321kxxx 当2时,方程组解为022111321kxxx 17 设 ,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321xxxxxxxxx.问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解 并在有无穷多解时求其通解 解 154224521222初等行变换2)4)(1

49、(2)10)(1(00111012251 当0A,即02)10()1(2 1且10时，有唯一解.当02)10)(1(且02)4)(1(，即10时，无解.当02)10)(1(且02)4)(1(，即1时，有无穷多解.此时，增广矩阵为000000001221 原方程组的解为00110201221321kkxxx (Rkk21,)18.证明1)(AR的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量Tb，使TabA。证：充分性：设Tmaaaa21，Tmbbbb21，并不妨设011ba，利用矩阵秩的定义，显然，A有一个一阶非零子式，任取A的一个 2 阶子式（为确定起见，不妨设取A的第 i 行、第 j 行及第

50、k 列、第 l 列所得 2 阶子式）：0lkjilkjiljkjlikibbabbaababababa，于是，1)(AR。必要性：设nmijaA)(因1)(AR，由等价标准型理论知，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使QPA0001，于是QPA0001QP001001Tab 其中001Pa和Qb001分别为非零 m 维列向量及非零 n 维行向量。19.设 A 为nm矩阵，证明：(1)方程mEAX 有解的充分必要条件是mAR)(；(2)方程nEYA 有解的充分必要条件是nAR)(；证：（1）方程mEAX 有解),()(mEARAR(定理 7)mAR)(（必要性由不等式mAREARmm