人教版八年级数学下册《勾股定理与逆定理》精品教案（解析版）.docx

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1、第 1 页 共 22 页人教版八年级数学下册勾股定理与逆定理 精品教案（解析版）勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之 间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要 依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其它自然科学中 也被广泛地应用。勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为 ，那么ab，c 222abc直角三角形中常用数： 整数边：；345形形68 10形形5 12 13形形72425形形8 15 17形形 ；94041形形如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k为正数） ；abc形形akbkck形形含

2、特殊角：和的三角形三边之比分别为306090，454590，和.13 21 12【引例】一旗杆离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前有6m8m 多高？【解析】如图，设原旗杆底端点为，顶端点，从点处ABC折断，则由题意可知图中，6mAC 8mAB 90A 在中，RtABC90A ，222ACABBC，2210BCACAB61016h 旗杆折断之前高 16m题型一：勾股定理题型一：勾股定理CBA第 2 页 共 22 页【例 1】1. 图 1 和图 2 中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的 定理，这

3、个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 其中图 1 是中国数学史上有名的 （数学家的名字）弦图简单写出证明过程（浙江湖州、新疆中考）【解析】勾股定理，（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）222abc 赵爽（中国数学家，主要贡献是深入研究了 周髀算经 ，涉及了勾股 定理的理论和证明）证明：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正 方形面积图 1：22224()2abcbaab图 2：，即22()42ababc222abc【点评】勾股定理的证明方法很多，比如可用方格来验证勾股定理等等2. 如图 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式； 如图 2，且三点共RtRtABCCDE

4、90BD BCD， 线.试证明；90ACE图 2图 1abcabcabcabcabcabcabccbaCBA第 3 页 共 22 页 伽菲尔德（Garfield，1881 年任美国第 20 届总统）利用 1 中的公 式和图 2 证明了勾股定理（1876 年 4 月 1 日，发表在新英格兰教育 日志上） ，现请你尝试该证明过程（丰台期末）【解析】 这个公式为222()2abaabb ，ABCCDEBACDCE 90ACBDCEACBBAC 由于共线，BCD，所以180ACEACBDCE 1809090 梯形的面积为ABDE；2111 222ABEDBDababab另一方面，梯形可分成三个直角三角

5、形，其面积又可以表示成ABDE2111222ababc，即221111 2222abababc222abc3. 勾股证明的方法成百上千种，其中几何原本中的证法非常经典，是 在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示） ，同学们，如果直角 三角形的三边长为（ 为斜边） ，试利用此图证明.ABCabc形形c222abc第 4 页 共 22 页cbaNMHFEDCBAABCDEFHMNPG【解析】如右图可知：22ADBACFACEDAFGPACFADBSSSS形形形形形形形，同理，2 AFGPbS形形2 GHBPaS形形222abc【探究对象】勾股定理的分类证明【探究目的】勾股定理是几何学中的明

6、珠，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有 500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，这是任何定理无法比拟的。下面仅用若干种既简单又著名的证明方法来进行说明以拓展学生思路.【探究一】以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”“无字证明”不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形或移动图形就可以得证。 刘徽的证明第 5 页 共 22 页cba约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。如上图，小正方形与较大正方形的面积和与最大正

7、方形的面积之间的等量关系，不依靠运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理。 拼图证明上面的两个图形是在印度、阿拉伯和欧洲出现的一种拼图，通过图形的拼凑，可以简洁轻易地证明勾股定理. 意大利著名画家达芬奇的证法5544332211图 1图 25544332211第 6 页 共 22 页在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，连接BC、FE，如图 1.沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板、，如图 2.将纸板翻转后与拼在一起，可以得到其他图形，如图 3.通过剪接翻转拼凑，两个长方形纸板（图 1 和图 2 ）里面的六边形是相等的，从而可以直观地得到，图 1 和图 3 中的四个三角形

8、是全等的.所以，正方形的ABOF面积加上正方形的面积等于正方形的面积，即.CDEOBC E F222()()()BOCOBC【探究二】以欧几里得的证明方法为代表的证明方法在欧几里得的几何原本一书中给出勾股定理的以下证明. 设ABC为一直角三角形，其中C为直角.从C点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等.图 1图 2图 3第 7 页 共 22 页bbccaaKHGFMLEDCBA在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面

9、积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积做三个边长分别为的正方形，把它们拼成如图所示形状，使cba、三点在一条直线上，连结BF，CD，AK，CE，过C作CLDE，交AB于点GCB、M，交DE于点L ,AFAC ABADFABCAD FABCAD的面积等于FAB21 2a的面积等于矩形ADLM的面积的一半CAD第 8 页 共 22 页PHGFEDCBAabcabcabcab c矩形ADLM的面积等于2a同理可证，矩形MLEB的面积等于2b正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积来源:Zxxk.Com，即. .222bac2

10、22abc【探究三】以赵爽的“弦图”为代表的数形结合的证法这一类证法，运用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系. 体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合。讲义上介绍了赵爽弦图（外弦图） 、内弦图及总统证法。【探究四】其他证明方法 梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. . 过C作AC的延长线交DF于点P. . D、E、F在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18

11、090= 90. .又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. . ABC + CBE = 90. . RtABC RtEBD,第 9 页 共 22 页cccbacbaABCEF PQMN ABC = EBD. . EBD + CBE = 90. . 即 CBD= 90. .又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. . BDPC是一个边长为a的正方形. .同理，HPFG是一个边长为b的正方形. .设多边形GHCBE的面积为 S，则,21222abSbaabSc2122 , 222cba. . 项明达证明做两个全等的直角三角形，设它

12、们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. . 再做一个边长为c的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. .过点Q作QPBC，交AC于点P. . 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. . BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90，第 10 页 共 22 页 BCPM是一个矩形，即MBC = 90. . QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c，RtBMQ RtBCA

13、. .同理可证 RtQNF RtAEF. .从而将问题转化为的梅文鼎证明. .【例 2】 如下左图，是一段楼梯示意图，楼梯长 米，高为 米，若在此AB5BC3 楼梯铺地毯，则地毯的长度至少需要_米 下右图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的 直角三角形围成的若，将四个直角三角形中边长为 的直角边分别向外延长6AC 5BC 6 一倍，得到图 2 所示的“数学风车” ，则这个风车的外围周长是 如果直角三角形的三边长为 10、6、x，则最短边上的高为 已知中，ABC13AB 15AC 高，则的长为_.12AD BC53CBA【解析】 347 76图 2图 1CBAABDCCD

14、BA第 11 页 共 22 页 分类讨论：10 为斜边或x为斜边，高为 8 或 10. 分类讨论，如图或 4.14BC 如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形 abc，222abc勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直关系对于勾股定理逆定理的证明，我们采用构造全等三角形的证明方法来完成已知：如图，已知的三边满足，ABCabc、222abc求证：是直角三角形ABC证明：以为两条直角边，为直角构造ab、C ，RtA B C 则由勾股定理得，222A Bab 由已知可知，A Bc ，ABCA B C ，90CC 是直角三角形ABC【引例】在中，中线求证：是等腰ABC13c

15、mAB 24cmAC 5cmBD ABC 三角形【解析】证明：如图，在中，ABC，22222213512ABBDAD是直角三角形，ABD90ADB题型二：勾股定理的逆定理题型二：勾股定理的逆定理cbaCBAABCabDCBA第 12 页 共 22 页也是直角三角形，BCD，2213BCCDBD，13ABCB是等腰三角形ABC【例 3】 下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A. B.6810abc形形123abc形形C. D.53144abc形形236abc形形 下列各组式子所表示的线段中，一定能构成直角三角形的有 _，（） ； ，（是正整数） ；1k 4k1k 1k 1m2m3mm，； ，（）

16、2k23k22k21m 2m21m 1m 如下图，在由单位正方形组成的网格图中标有，四条ABCDEFGH 线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A， B，CDEFGHABEFGHC， D，ABCDGHABCDEF【解析】 D ，选 B8AB 20CD 5EF 13GH 【例 4】1. 已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状；FHGEDBCA第 13 页 共 22 页【解析】a2c2b2c2=a4b4c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，c2=a2+b2，或22abABC是直角三角形或等腰三角形.2. 如图，RtABC中，C=90，

17、AD平分CAB，DEAB于E，若 AC=6，BC=8，CD=3 求DE的长； 求ADB的面积【解析】AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=DE，CD=3，DE=3；在 RtABC中，由勾股定理得：AB=，22226810ACBCADB的面积为 SADB=ABDE=103=151 21 2在几何题中，通常会综合运用勾股定理与逆定理解决三角形的问题，如证明两 条直线互相垂直、图形折叠、在数轴上寻找无理数、解斜三角形等等同时，在综 合题中也常常利用勾股定理求线段长题型三：勾股定理与逆定理的应用题型三：勾股定理与逆定理的应用BEDCA第 14 页 共 22 页【引例】如图，铁路上、两点相距，、为两

18、村庄，AB25kmCD 若，于，于，10kmDA 15kmCB DAABACBABB 现要在上建一个中转站，使得、两村到站ABECDE 的距离相等求应建在距多远处？ EA【解析】设的长度为，由勾股定理得：AEkmx222222ADAEDECEBEBC，解得2222102515xx15x 【例 5】 如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1=；2 再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又3 过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此 法继续作下去，得OP2012= 如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的2.5m 墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面0

19、.7m ，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 2mm 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、25cm8cm、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外6cm10 3cm面的最短长度是 cm【解析】由勾股定理得：OP1=；得OP2=；OP4=；232215依此类推可得OPn=，OP2012=，1n 2013 0.8；222.520.70.8 5；222256810 35【例 6】 把图 1 的矩形纸片折叠，、两点恰好重合落在边上的点ABCDBCAD 处(如图 2)，已知，那么矩形纸片的P90MPN5PM 12PN ABCD 面积为 1510EDCBAP4P3 P2P1PO第 15 页 共 2

20、2 页图 2图 1NHPMGDADCBA 如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，） ，点C的坐标为（，0） ，点P为斜边OB上的一个31 2 动点，则PA+PC的最小值为 ACPOBxy【解析】 由勾股定理可得，过点P作高，可求得高为，13MN 60 13面积为1800 13 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA 于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，） ，3AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，33由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，1 21 2第 16 页

21、 共 22 页AM=，3 2AD=2=3，3 2NDA=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，1 23 2332C（，0） ，1 2CN=3=1，1 23 2在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，2 23311322即PA+PC的最小值是，31 2【例 7】 已知钝角三角形的三边长分别为 、 、 ，求该三角形的面积234 已知锐角三角形的三边长分别为 、 、 ，求该三角形的面积578432ACB875CBA第 17 页 共 22 页D432ACBDABC578【解析】 过点作于，设，利用勾股定理AADBCDCDx ，22222234ADxx解得，面积为11 8x 2 2113 15288A

22、D3 15 4 过点作于，设，利用勾股定理AADBCDCDx ，2222275(8)ADxx解得，面积为11 2x 2 2115 3722AD10 3【点评】这类题目除了构造直角三角形，也可以用海伦公式：已知三角形的三边为、 、 ，令，三角形的面积为对于abc2abcp()()()Sp papbpc钝角三角形和锐角三角形的问题，通常采取“特殊处理” ，即通过作高利用 直角三角形的知识来解决问题训练 1.在正方形中，为的中点，为上一点，且，求证：ABCDFDCEBC1 4ECBCAFEFEFABCDEFABCD【解析】连接，设正方形的边长为，则，利用AE4a4ADa2DFCFaCEa 勾股定理，

23、在中，RtADF22224220AFaaa第 18 页 共 22 页在中，RtCEF222225EFaaa在中， RtABE 22224325AEaaa显然，在中，满足，故AEF222AEAFEFAFEF训练 2.如图， 已知的面积为，以其三边作半圆，RtABC20 得到两个月牙图形（阴影部分） ，则月牙图形的面积 【解析】由例题知道大半圆的面积=两个小的半圆面积之和，从 而月牙面积=直角三角形的面积20训练 3.为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子 的底面周长为，高为如果要求彩带从柱子底端的处绕柱子 4 圈后1m3mA 到达柱子顶端的处，那么至少应购买彩带 米B【

24、解析】5训练 4.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图 （如图） ，他们登陆后先往东走 8 千米，又往北走 2 千米， 遇到 2 障碍后又往西走 3 千米，再折向北走到 6 千米处往 东一拐，仅走 1 千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B 的直线距离是多少千米？（清华附期中）【解析】过B作垂线，由勾股可得千米10AB 题型一题型一 勾股定理勾股定理 巩固练习巩固练习3BA8621CBA第 19 页 共 22 页【练习 1】如图 1，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分ABC 别用、表示，则不难证明 1S2S3S123SSS 如图 2，分别以直角三角形三边为直径向外作

25、三个半圆，其面积ABC 分别用、表示，那么、之间有什么关系？（不必证1S2S3S1S2S3S 明） 如图 3，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面ABC 积分别用、表示，请你确定、之间的关系并加以证1S2S3S1S2S3S 明 四边形的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个ABCD 正方形，面积分别为、则、和之间的关系1S2S3S4S1S2S3S4S 是 ABCS1S3S2图 3ABCS1S3S2图 2图 1S2S3S1CBAS4S3S2S1DBCA【解析】设的三边、的长分别为 、 、 ，则RtABCBCCAABabc222cab 123SSS 证明如下：显然，123SS

26、S2 13 4Sc2 23 4Sa2 33 4Sb 222 23133()44SSabcS 1324SSSS【点评】分别以直角三角形三边为一边向外作“相似形” ，其面积对应用、ABC1S 、表示，则2S3S123SSS题型二题型二 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 巩固练习巩固练习第 20 页 共 22 页【练习 2】 若的三边 、 、 ，满足 ，则是ABCabc222()()0ab abcABC （ ） A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 若，以 、 为三边长的三角形是2212(13)10250xyzzxyz （ ） A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或

27、直角三角形 D等腰直角三角形 已知的三边为 、 、 ，且，则ABCabc4ab1ab 14c 是（ ） ABCA等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 【解析】 C B得，满足，2212(13)50xyz12x 13y 5z 22251213以 、 为三边长的三角形为直角三角形xyz B，4ab1ab 2222221621414abababc故是直角三角形ABC【练习 3】如右图，四边形中，ABCD15AB 12BC 16CD ，且，则四边形的面积是 25DA 90CABCD【解析】连接，证为直角三角形，面积为 246.BDABD题型三题型三 勾股定理与逆定理的应用

28、勾股定理与逆定理的应用 巩固练习巩固练习【练习 4】如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点数字和字 母代表各自正方形面积则_1234SSSSDCBA第 21 页 共 22 页321S4S3S2S1【解析】设边长为 ，边长为 ，则，即，同理，1Sa2Sb221ab121SS343SS. 12344SSSS【练习 5】细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：2( 1)12 11 2S 2( 2)13 22 2S 2( 3)14 33 2S 用含有 （n是正整数）的等式表示上述变化规律；n 推算出的长；10OA 求出的值2222 12310SSSS【分析】此题意在渗透长为无理数的线段的

29、画法及观察、归纳、探究能力的考查【解析】 2()112nnnnS ， 1010OA 55 4测 1.边长为 的等边三角形的面积为 a【解析】过点作于点AADBCD由等腰三角形三线合一，得到且，RtABD30BAD，利用勾股得到，故面积为2aBD 3 2ADa23 4a第 22 页 共 22 页测 2.如图，是的中线，把ADABC45ADC 沿直线折过来，点落在点的位置上，ADCADCC 如果，那么_4BC BC 【解析】2 2测 3.小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边 远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，1.5m0.5m 竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 m【解析】解得2221.5(0.5)xx2x CDCBAx+0.50.5x1.5