第十七章,勾股定理,单元测试八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版）.docx

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1、第十七章,勾股定理,单元测试八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版）第十七章 勾股定理 单元测试 一、单选题 1一个直角三角形两边长分别是和，则第三边的长是（ ） A B或 C或 D C 记第三边为c，然后分c为直角三角形的斜边和直角边两种状况，利用勾股定理求解即可解：记第三边为c，若c为直角三角形的斜边，则； 若c为直角三角形的直角边，则 故选：C 本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、娴熟驾驭勾股定理是解题的关键 2ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能推断它是直角三角形的是（） AA: B: C =345 BA=B+C Ca2=(b+c)(b-c) Da:b:c =12 A 依

2、据直角三角形的概念，角的特点和勾股定理的逆定理逐一推断即可解：依据直角三角形的两锐角互余，可知180=7590，不是直角三角形，故正确； 依据三角形的内角和定理，依据A+B+C=180，且A=B+C，可得A=90，是直角三角形，故不正确； 依据平方差公式，化简原式为a2=b2-c2，即a2+c2=b2，依据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，故不正确； 依据a、b、c的关系，可干脆设a=x，b=2x，c=x，可知a2+c2=b2，可以构成直角三角形，故不正确. 故选A. 此题主要考查了直角三角形的判定，关键是依据三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理和勾股定理逆定理进行推断即可. 3如图，在直

3、线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（） A4 B6 C16 D55 C 运用正方形边长相等，再依据同角的余角相等可得BAC=DCE，然后证明ACBDCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可解：由于m、q、n都是正方形，所以AC=CD，ACD=90； ACB+DCE=ACB+BAC=90， BAC=DCE，且AC=CD，ABC=DEC=90 ACBDCE（AAS）， AB=CE，BC=DE； 在RtABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sn=Sm+Sq=11+5=16， 正方形n的面积为16， 故选C 本题主要考查对全等三

4、角形和勾股定理的综合运用，关键是证明三角形全等 4若ABC的三边长分别为a、b、c且满意（a+b）（a2+b2c2）0，则ABC是（） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 B 首先依据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定ABC直角三角形.（a+b）（a2+b2c2）=0， a+b0， a2+b2c2=0，即a2+b2=c2， ABC直角三角形， 故选：B 此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形态，娴熟驾驭，即可解题. 5如图，在中，平分交于点，平分，交于点，若，则（ ） A75 B100 C120 D125 B 依据角平分线的

5、定义推出ECF为直角三角形，然后依据勾股定理求得CE2+CF2=EF2CE平分ACB，CF平分ACD， ACE=ACB，ACF=ACD，即ECF=（ACB+ACD）=90， 又EFBC，CE平分ACB，CF平分ACD， ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF， CM=EM=MF=5，EF=10， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100 故选：B 本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用 6如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ） A5m B12m C13m D18m C 干脆利用勾

6、股定理即可得由题意得： 则 故选：C 本题考查了勾股定理的应用，驾驭勾股定理是解题关键 7将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( ) A B C D C 视察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可首先依据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm； 再依据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm， 所以h的取值范围是7cmh16cm， 故选C. 本题考查了勾股定理的应用，留意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围主要是依

7、据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度 8有下面的推断： 若ABC中，a2b2c2，则ABC不是直角三角形； ABC是直角三角形，C=90，则a2b2=c2； 若ABC中，a2b2=c2，则ABC是直角三角形； 若ABC是直角三角形，则(ab)(ab)=c2. 其中推断正确的有() A4个 B3个 C2个 D1个 B 依据勾股定理及其逆定理依次推断即可解答.c不肯定是斜边，错误； 依据勾股定理可得正确； 依据勾股定理的逆定理可得正确； 若ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，正确 共2个正确 故选B 本题考查了勾股定理及其逆定理，娴熟运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键 9

8、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为、；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为、其中， ，则（ ） A B C D C 如下图1示，分别用AB、BC和AC表示、,然后依据勾股定理得出、的关系，可计算出；同理如下图2所示，可得出、的关系，进而计算出，计算即可得出答案.如图1， , , , 依据勾股定理，有， , 如图2，设圆心角为， , , , 同理可得, 故答案为C. 本题主要考查勾股定理与代数求解之间的关系，熟知等边三角形和扇形的面积公式是解答本题的关键. 10如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面

9、积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ） A16 B17 C18 D19 B 如图 设正方形S2的边长为x， 依据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD， AC=2CD，CD=2， EC2=22+22，即EC=； S2的面积为=8； S1的边长为3，S1的面积为33=9， S1+S2=8+9=17故选B 11如图，ABC中，ACB=90，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将ACD沿CD翻折得到ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（） A B C D2 A 试题解析：如图延CD交AE与点H，作，垂足为F 在中， D为AB的中点， AD=BD=DC 解得 由翻折的性质可

10、知AC=CE，AD=DE， 为直角三角形 故选A 12如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC的面积为（） A B C D A 分析：将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，依据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，则BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，AE=5，延长BP，作AFBP于点FAP=3，PE=4，依据勾股定理的逆定理可得到APE为直角三角形，且APE=90，即可得到APB的度数，在直角APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形AB

11、C的面积 详解：ABC为等边三角形， BA=BC， 可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，且延长BP，作AFBP于点F如图， BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60， BPE为等边三角形， PE=PB=4，BPE=60， 在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， AE2=PE2+PA2， APE为直角三角形，且APE=90， APB=90+60=150 APF=30， 在直角APF中，AF=AP=，PF=AP= 在直角ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12 则ABC的面积是AB2=（25+12）=9+ 故选A 点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、

12、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 二、填空题 13己知三角形三边长分别为，则此三角形的最大边上的高等于_. 分析：依据勾股定理的逆定理可推断三角形为直角三角形，然后依据直角三角形的面积求解即可. 详解：三角形三边长分别为， 三角形是直角三角形 高为 故答案为. 点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理推断此三角形是直角三角形是解题关键. 14如图，滑竿在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0

13、.5米时，滑竿顶端A下滑_米 0.5 结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，C=90， AC=2（米）. BD=0.5米， CD=2米， CE=1.5（米）， AE=AC-EC=0.5（米） 故答案为0.5. 点睛：本题考查正确运用勾股定理擅长视察题目的信息是解题以及学好数学的关键 15如图，在中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，于点N，则MN=_ 连接AM，依据等腰三角形三线合一的性质得到AMBC，依据勾股定理求得AM的长，再依据直角三角形的面积公式即可求得MN的长解：连接AM， ABAC，点M为BC中点， AMCM，BMCM， ABAC5，BC6， B

14、MCM3， 在RtAMC中，AC5，CM3， 依据勾股定理得：AM4， 又SAMCMNACAMCM， MN 故答案为：. 本题综合运用了等腰三角形的三线合一，勾股定理特殊留意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边 16如图所示，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是_cm2 17 试题解析：依据勾股定理可知， S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1， S大正方形=S正方形C+S

15、正方形D+S正方形A+S正方形B=49 正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）. 17如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请根据图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_ 50 易证AEFBAG，BCGCDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和AEF，ABG，CGB，CDH的面积，即可解题EAF+BAG=90，EAF+AEF=90， BAG=AEF， 在AEF和BAG中， ， AEFBAG，（AAS） 同理BCGCDH， AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3， 梯形DEFH的面积=

16、(EF+DH)FH=80， SAEF=SABG=AFAE=9， SBCG=SCDH=CHDH=6， 图中实线所围成的图形的面积S=80-29-26=50， 故答案为：50 本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证AEFBAG，BCGCDH是解题的关键 18在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它须要爬行的最短路径的长是_分米 ； 13或 试题分析：把立体图绽开可得 依据侧面绽开图可由两点之间，线段最短，知AB最短

17、，故依据勾股定理可求得AB=13分米； 依据立体图形可知把AC，BE向外绽开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面绽开可得到直角边为6+2+2=10，然后依据勾股定理可求得最短距离为； 同的方式，得到两直角边分别为11和6，然后依据勾股定理求得最短距离为= 考点：立体图形的侧面绽开图，两点之间，线段最短，勾股定理 19如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_dm. 25 先将图形平面绽开，再用勾股定理依据两点之间线段最短进行解答即可如图所示 三

18、级台阶平面绽开图为长方形，长为20，宽为（2+3）3，蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+（2+3）32=252，解得：x=25 故答案为25 本题考查了平面绽开最短路径问题，用到台阶的平面绽开图，只要依据题意推断出长方形的长和宽即可解答 20如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是_ AB，EF，GH 本题应先计算出各线长度，再依据勾股定理逆定理进行推断AB2=22+22=8， CD2=42+22=20， EF2=12+22=5， GH2=32+

19、22=13， 所以AB2+EF2=GH2 故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH 故答案为：AB，EF，GH 本题考查勾股定理的逆定理的应用推断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以推断即可 21如图，ABC中，ACB=90，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分ABC，假如M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是_ 2.4 过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于N，则CE即为CMMN的最小值，再依据三角形的面积公式求出CE的长，即为CMMN的最小值 解：过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于

20、N， BD平分ABC，MEAB于点E，MNBC于N， MNME， CECMMECMMN的最小值 AC3，BC4，AB5， AC2BC2AB2， ACB90， ABCE BCAC， 即5CE34 CE2.4 即CMMN的最小值为2.4 故答案为2.4 本题考查的学问点是轴对称最短路途问题，解题关键是画出符合条件的图形. 22如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AFCD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是_. 1.5 连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出CAF =DAF，由SAS证明ADFACF，得出CF=DF，ADF=ACF=

21、BDF=90，设CF=DF=x，则BF=4-x，在RtBDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可连接DF，如图所示： 在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5， AD=AC=3，AFCD， CAF =DAF，BD=AB-AD=2， 在ADF和ACF中， ADFACF（SAS）， ADF=ACF=90，CF=DF， BDF=90， 设CF=DF=x，则BF=4-x， 在RtBDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2， 即x2+22=（4-x）2， 解得：x=1.5； CF=1.5； 故答案为1.5 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证

22、明ADFACF得到CF=DF，在RtBDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键 23已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_. (2，4)或（3，4） 当ODP是腰长为5的等腰三角形时，考虑到BD<OD,所以有两种状况，OD=PD或OP=OD.再依据勾股定理即可求出点到轴的距离，从而求出点的坐标解：A（7，0），C（0，4）， AB=OC=4 OA=7， D的坐标为（5，0）， OD=5， AD=2， 四边形OABC是矩

23、形， A=90， ， 故有三种状况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD， 当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去） 当OD=OP时，PC= = =3. 故此时点P的坐标为（3，4）. 当OP=PD时，P(,4)（舍去）. 故答案为：（2，4）或（3，4） 本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用等学问， 以及分类探讨的数学思想，留意考虑问题要全面. 24在锐角三角形ABC中BC=，ABC=45，BD平分ABC若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CMMN的最小值是_ 4 过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再依据BC=

24、，ABC=45，BD平分ABC可知BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长解：过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于N， 则CE即为CM+MN的最小值， BC=，ABC=45，BD平分ABC， BCE是等腰直角三角形， CE=BCcos45=4 CM+MN的最小值为4 本题考查了轴对称最短路途问题，难度较大,依据题意作出协助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键三、解答题 25如图，在ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D，求证：. 见解析 连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD、AM、BM进行代换就

25、可以最终得到所要证明的结果证明：连接MA， MDAB， AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2， C=90， AM2=AC2+CM2 M为BC中点， BM=MC AD2=AC2+BD2 本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外精确作出协助线也是正确解出的重要因素 26如图，在ABC中，CD是AB边上高，若AD16，CD12，BD9 （1）求ABC的周长 （2）推断ABC的形态并加以证明 （1）60；（2）直角三角形，证明见解析. （1）利用勾股定理可求出AC，BC的长，即可求出ABC的周长； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明解：（1）CD是AB边上高， CD

26、A=CDB=90， AC=20， BC=15， AB=AD+BD=25， ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60； （2）ABC是直角三角形，理由如下： 202+152=252， 即AC2+BC2=AB2， ABC是直角三角形 本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；娴熟驾驭勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键 27已知，如图，在RtABC中，C=90，A=30，BC=18cm动点P从点A动身，沿AB向点B运动，动点Q从点B动身，沿BC向点C运动，假如动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时动身，设运动时间为t(s)，解答下列问题： (1)t为_时，PBQ是等边三角

27、形？ (2)P，Q在运动过程中，PBQ的形态不断发生改变，当t为何值时，PBQ是直角三角形？说明理由 (1)12；(2)当t为9或时，PBQ是直角三角形，理由见解析. （1）依据等边三角形的性质解答即可； （2）分两种状况利用直角三角形的性质解答即可(1)要使，PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ， 在RtABC中，C=90，A=30，BC=18cm AB=36cm， 可得：PB=36-2t，BQ=t， 即36-2t=t， 解得：t=12 故答案为；12 (2)当t为9或时，PBQ是直角三角形， 理由如下： C=90，A=30，BC=18cm AB=2BC=182=36(cm) 动点P以2c

28、m/s，Q以1cm/s的速度动身 BP=AB-AP=36-2t，BQ=t PBQ是直角三角形 BP=2BQ或BQ=2BP 当BP=2BQ时， 36-2t=2t 解得t=9 当BQ=2BP时， t=2(36-2t) 解得t= 所以，当t为9或时，PBQ是直角三角形 此题考查了等边三角形的判定和含30角的直角三角形的性质，关键是含30角的直角三角形的性质的逆定理解答 28如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上 (1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求： ABQ，BCM，CDN，ADP的面积； 正方形ABCD的面积

29、 (2)设MBa，BQb，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？ （1）SABQ6， SBCM6， SCDN6， SADP6；S正方形ABCD25；（2）验证了勾股定理，证明过程详见解析. （1）依据直角三角形的面积公式即可得出结果； 由题意得出S正方形ABCD=S正方形MNPQ4SABQ，即可得出结果； （2）明显依据面积能够验证勾股定理（1）网格中每个小正方形的边长为1，由图可知AQ=3，BQ=4，Q=90，SABQAQBQ=6；同理SBCM=SCDN=SADP=6 MQ=7，S正方形MNPQ=72=49，S正方形ABCD=S正方形MNPQ4

30、SABQ=4946=25 （2）验证勾股定理 验证：在BCM和ABQ中，BM=AQ，M=Q，CM=BQ，BCMABQ（SAS），同理CDNDAPBCM S正方形ABCD=S正方形MNPQ4SABQ AB2=（a+b）24ab，即AB2=a2+b2 设AB=c，得：c2=a2+b2（勾股定理） 本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及面积的计算、三角形面积的计算；驾驭正方形和三角形面积的计算方法是解决问题的关键 29如图(1),在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c，若C=90，则有a2+b2=c2；如图(2)，ABC为锐角三角形时，小明猜想a2+b2>c2，理由如下： 设CD=x，在

31、RtADC中，AD2=b2-x2， 在RtADB中,AD2=c2-(a-x)2， 则b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax， 因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2， 所以当ABC为锐角三角形时a2+b2>c2. 所以小明的猜想是正确的. (1)请你猜想,当ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系； (2)证明你猜想的结论是否正确. (1)a2+b2<c2；(2)证明见解析. （1）依据题意可揣测：当ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2c2； （2）过点A作ADBC于点D；然后设CD=

32、x，分别在RtADC与RtADB中，表示出AD2，即可证得结论（1）当ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2c2； （2）如图3，过点A作ADBC于点D，设CD=x 在RtADC中，AD2=b2x2在RtADB中，AD2=c2（a+x）2，b2x2=c2（a+x）2，a2+b2=c22ax a0，x0，2ax0，a2+b2c2，当ABC为钝角三角形时，a2+b2c2 本题考查了勾股定理留意理解题意是解答此题的关键 30如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 . (1) 如图，分别以直角三角形AB

33、C三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?. （1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3；（3）S1=S2+S3 （1）依据勾股定理即可得到结论；（2）依据圆的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；（3）利用等边三角形的面积公式以及勾

34、股定理即可得到结论.（1）如图，在RtABC中，利用勾股定理得AB2AC2BC2，即S1S2S3. （2）如图，在RtABC中，利用勾股定理得AB2AC2BC2，则，故S1S2S3. （3）如图，以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，在RtABC中，利用勾股定理得AB2AC2BC2，则，故S1S2S3. 本题重点考查了勾股定理，即在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，本题的解题关键在于娴熟驾驭勾股定理的内容，分析题中各面积的关系. 31（1）问题发觉：如图1，ABC与CDE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，则线段AE、BD的数量关系为_

35、，AE、BD所在直线的位置关系为_； （2）深化探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同始终线上，CM为DCE中DE边上的高，请推断ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，已知ABC中，AB=7，BC=3，ABC=45，以AC为直角边作等腰直角ACD，CAD=90，AC=AD，连接BD，则的长为 （1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或73 （1）结论：AEBD，AEBD如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O只要证明ACEBCD（SAS），即可解决问题； （2）结论：AD2CM+BD，只要证明ACEBCD（SAS），即可解

36、决问题； （3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；（1）结论：AEBD，AEBD 理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O ACB和DCE均为等腰直角三角形， ACBDCE90， ACBC，CDCE， ACEBCD， ACEBCD（SAS）， AEBD，CAECBD， CAE+AOC90，AOCBOH， BOH+CBD90 AHB90， AEBD 故答案是：AEBD，AEBD （2）结论：AD2CM+BD， 理由：如图2中， ACB和DCE均为等腰直角三角形， ACBDCE90， ACBC，CDCE， ACEBCD， ACEBCD（SAS）， AEBD，BDCA

37、EC135 ADBBDCCDE1354590； 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， CMDMME， DE2CM ADDE+AE2CM+BD （3）情形1：如图31中，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，连接EA、EB、EC ACDADC45， ACAD，CAD90， BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD， EACBAD（SAS）， BDCE AEAB7， BE，ABEAEB45， 又ABC45， ABC+ABE45+4590， EC， BDCE 情形2：如图32中，作AEAB交BC的延长线于E，则ABE是等腰直角三角形， 同法可证：EACBAD（SAS）， BDCE， ABAE7， BE7， ECBECB73， 综上所述，BD的长为或73 考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等学问，解题的关键是正确找寻全等三角形解决问题，学会用分类探讨的思想思索问题.