线性代数线性代数线性代数 (1).pdf

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1、向量及其运算 1.1 引 言 线性代数的中心问题是求解线性方程组.例：给定一个线性方程组 它能表示为 此方程组可解 可表示为 和 的线性组合.线性代数是建立在向量的加法和数乘这两种所谓“线性运算”上的.1.2 维空间中的点 在直线上取定坐标系后，每个实数一一对应表示直线上的点.一个二元有序数组 一一对应地表示平面上的点.1.2 维空间中的点 一个三元有序数组 一一对应地表示 维空间中的点.同理，定义 维空间的点为一个 元有序数组 称 为点 的第 个坐标.1.2 维空间中的点 称两个点 与 相等，若 可以定义两个点 与 的和 若 为一个数，可以定义数乘运算：1.2 维空间中的点 一些例子：则 则

2、 则 1.2 维空间中的点 容易看到这样定义的加法和数乘运算对任意 维空间中点 满足以下 条性质：1.2.3.若令 为一点，则 4.若以 表示 则 5.6.7.8.1.3 向 量 向量指空间中具有一定长度及方向的直线段.通常记起点为 ,终点为 的向量为 .力、位移、速度、加速度等都是物理学中常出现的向量.两个向量相等 二者长度相等，方向相同.相等的向量 1.3 向 量 向量的加法(addition)：两个向量 和 的和 为以向量 为邻边 的平行四边形的对角线 代表的向量(平行四边形法则).向量的加法又满足三角形法则.1.3 向 量 向量的数乘(scalar multiplication)：1.

3、3 向 量 向量的加法满足结合律，即对任意向量 向量的加法满足交换律，即对任意向量 当 时，称向量 为零向量，记为 .则 可表示为 对任意向量 成立.对向量 ，记向量 为 ，则 即为 1.3 向 量 1.3 向 量 若固定向量的起点，如记之为原点，则向量由其终点唯一确 定.于是我们可以等同：1.维空间中的点；2.元有序数组；3.维空间中由原点出发的向量.我们将不加区分地使用向量的这三个身份.记 为列向量,其中 为向量 的第 个分量.1.3 向 量 向量的加法：数乘：1.4 向量空间的定义 在由称为“向量”的元素构成的非空集合 中，若定义了加法和 数乘运算，且对任意向量 及数 满足以下 条性质：

4、1.2.3.存在零向量 ，4.对任意向量 ，存在唯一相反向量 ，使得 5.6.7.8.则称 为定义在数域 上的向量空间(vector space).1.5 向量的线性组合 定义：设 为 个 维向量，则 称 为向量 的一个线性组合.例：给定 则 是向量 的一个线性组合.1.5 向量的线性组合 问题：给定一组向量 ，则 的全部线性组合是怎样的集合？例：向量 的全部线性组合 为以 为方 向的一条直线.1.5 向量的线性组合 例：向量 和 的全部线性组合 为 ，其中 为任意实数.这是平面 .1.5 向量的线性组合 例：向量 和 的全部线性组合 为 ，其中 为任意实数.这是直线 1.5 向量的线性组合

5、例：向量 的全部线性组合 为整个 维空间.这是因为，任意 维向量 都可以表示为 的下列 线性组合：1.5 向量的线性组合 例：向量 的全部线性组合 为向量 张成的平面 .这是因为 在 所张成的这张平面上.1.5 向量的线性组合 总结：在 维空间中，一般而言，向量 ，和 ，或 ,和 的所有线性组合分别是一条直线，一张平面或整个 维空间.1.6 向量的点积，长度 定义：设 是两个 维向量，定义点积(dot product)为 点积又称为内积(inner product)或数量积(scalar product).注意：两个向量的点积是一个数.例：（1）则 例：（2）则 1.6 向量的点积，长度 例：

6、（经济学中的点积）已知三种商品的价格分别是 ，其交易数量分别 为 ，其中 表示卖出，表示买入.则总收入 若记价格向量为 ，交易数量向量为 则总收入 .若 ，则说明收支平衡.若讨论多件商品，则需引入高维向量空间及高维向量的点积.1.6 向量的点积，长度 定义：向量 的长度（length）或模（norm）定义为 若 ，则 特别，例：，则 1.6 向量的点积，长度 定义：若 ，则 称为单位向量（unit vector）.例：，则 .单位化：任给一非零向量 ，则 是沿 方向的单位向量.例：，则沿 方向的单位向量为 向量点积的性质：1.（对称性）2.（线性性）3.且等号成立当且仅当 （正定性）1.7 向

7、量的夹角 定义：若 ，则称向量 和 垂直(perpendicular)(或称正交(orthogonal).记作 或 规定：零向量和任意向量垂直.这样定义的垂直的概念与几何直观是一致的，即 事实上，设 ，则 构成直角三角形的三边.于是由勾股定理知 左边展开 得 故有 反之亦然.1.7 向量的夹角 命题：两非零向量 的夹角 满足 证明：一般地，向量 构成三角形的三边.由余弦定理得 故：若 ，则 ，取 若 ，则 ，取 例：，则 夹角 1.8 两个不等式 两个不等式：Cauchy-Schwarz不等式：等号成立当且仅当一个向量是另一个向量的倍数.Cauchy-Schwarz不等式首先由法国数学家Aug

8、ustin-Louis Cauchy(1789-1857)于1821年发现,再由俄国数学家Viktor Yakovych Bunyakovsky(1804-1889)于1859年重新发现,后由德国数学家Herman Schwarz(1843-1921)于1886年再次重新发现.A.L.Cauchy H.Schwarz 1.8 两个不等式 两个不等式：三角不等式(Triangle inequality)：等号成立当且仅当 之一为另一向量的非负倍数.证明：等号成立当且仅当 ，这等价于 之一 是另一个向量的非负倍数.1.8 两个不等式 例：设 ,则由Cauchy-Schwarz不等式得 若令 ,则得“几何平均不大于算术平均”：例：设 求 的最小和最大可能长度.解：首先,由Cauchy-Schwarz不等式,故 所以,