线性代数线性代数线性代数 (11).pdf

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1、11 四个基本子空间的基与维四个基本子空间的基与维数数 11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 这次课我们讨论以下四个基本子空间：设 是一个 阶阵，考虑 列空间(column space)行空间(row space)零空间(nullspace)左零空间(left nullspace)11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 注：(1)是 的行向量的全部线性组合.(2)和 是 的子空间.和 是 的子空间.目标：求四个基本子空间的基和维数.11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 设 如上，使用消元法 的一组基：的主列 例：通过 的主列，即 列为 的基.行变换 列对换 11.1

2、 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 求 的基？根据定义 而 的基容易求出.以上例为例：的一组基为 如何用 的行向量给出 的基？11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 例：可以看出 可用 线性表出，是 的基.11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 例：可以看出 是 的基.注：的基也可以使用列空间基的求法，即考虑 的列空间.11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 求 的基，两种方法：(1)求 的零空间的基础解系.(2)即存在可逆阵 则 即 是 的一组基.(且线性无关.)前 行有主元 后 行是零向量 11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 例：因此 有一组基 为了

3、记录 可以考虑 11.1 四个基本子空间的基四个基本子空间的基 总结：11.2 维数公式维数公式 设 是一个向量空间，是两个子空间，则 和 是 的子空间，但 一般不是子空间.例如：和 均是 的一维子空间.但它们的并不是子空间.但 这些空间的维数有如下关系：例如(上例)：满足公式.11.2 维数公式维数公式 例：阶实矩阵 阶对称矩阵 阶上三角矩阵 检查 阶对角阵 例：的解集 它是一个空间，一组基为 11.2 维数公式维数公式 例：设 考虑 求 和 的一组基.11.2 维数公式维数公式 解：令 行变换 主列为 的 列，即 是 的基.11.2 维数公式维数公式 任取 设 可设 ，因为 表出 表出 解方程组 求得 则 11.2 维数公式维数公式 因此 是 的一组基.验证维数公式：11.3 例题例题 例：设 为 阶方阵，则存在可逆阵 使得 令 11.3 例题例题 因此 的后 列是 的一组基；的后 行是 的一组基.(因为 且 )故 列满秩，它的 列是 的一组基.同理 行满秩，它的 行是 的一组基.11.3 例题例题 例：设 均为 阶阵，且它们的 个子空间均相等.进一步设 则 这是因为 的行空间重合，则 的第 行 的行向量的线性组合 的第 行.以此类推.