线性代数线性代数线性代数 (5).pdf

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1、5 矩阵的逆 5.1 可逆矩阵的定义 一元一次方程 当 时两边乘以 得 且 具有 下列性质：类似地，可引入可逆矩阵的概念：定义：对方阵 若存在矩阵 满足 则称 是可 逆的(invertible).称 是 的逆矩阵(inverse matrix),记作 不可逆矩阵也称为奇异矩阵(singular matrix),而可逆矩阵也称为非 奇异矩阵(nonsingular matrix).注：存在不可逆方阵，如 5.1 可逆矩阵的定义 定义：对方阵 若存在矩阵 满足 则称 是可 逆的(invertible),称 是 的逆矩阵(inverse matrix),记作 不可逆矩阵也称为奇异矩阵(singula

2、r matrix),而可逆矩阵也称为非 奇异矩阵(nonsingular matrix).注：存在不可逆方阵，如 5.2 矩阵可逆的性质(1)若方阵 满足 则 特别的,方阵的逆唯一.证明：5.2 矩阵可逆的性质(2)若 可逆,则 有唯一解 证明：两边乘 得 5.2 矩阵可逆的性质(3)有非零解 不可逆.(4)矩阵 可逆 且 例：设 故 可逆,且 5.2 矩阵可逆的性质 (5)对角矩阵 可逆 且 (6)若方阵 满足 则 且 5.2 矩阵可逆的性质 定理:(1)若 是可逆矩阵，则 也可逆，且 (2)若 阶方阵 和 都可逆,则 可逆,且 (3)若 可逆，则 也可逆，且 5.3 初等矩阵的逆 例 小结

3、：初等矩阵 都是可逆的,其逆把 变回 5.3 初等矩阵的逆 5.4 Gauss-Jordan消元法求 例：设 两个方程组有相同系数矩阵,可以一起消元.增广矩阵写成 通过初等矩阵来记录消元过程.5.4 Gauss-Jordan消元法求 方法：Gauss-Jordan消元法 因此 5.4 Gauss-Jordan消元法求 总结：设 可逆,则 德国大地测量学家Wilhelm Jordan(1842-1899)改进了Gauss消元法.W.Jordan 5.4 Gauss-Jordan消元法求 例：求 的逆.解：5.4 Gauss-Jordan消元法求 因此 5.4 Gauss-Jordan消元法求 由

4、Gauss-Jordan消元法求逆矩阵的过程知：设 可逆,则 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵 因此 有初等矩阵 使得 故 可逆 可表示成一系列初等矩阵的乘积.5.5 矩阵可逆与主元个数 由Gauss-Jordan消元法求逆的过程还可以得到 定理：阶矩阵 可逆 有 个主元.证明：若 阶方阵 有 个主元,则方程组 分别有唯一解 则 得 的右逆.此时,可经过一系列初等行变换化为单位矩阵,即存在初等矩阵 使得 于是得 的左逆.对方阵 右逆 左逆 逆,故 可逆.5.5 矩阵可逆与主元个数 设 可逆,即存在矩阵 使 假设 没有 个主元,则对 用初等行变换必产生一个零行,即存 在初等矩阵的乘积 使 有零

5、行.于是 也有零行,这与 是初等矩阵的乘积 矛盾.因此 阶可逆方阵 必有 个主元.由证明过程知 定理：若对 阶方阵 有 则 且 5.6 下三角矩阵的逆 主对角线下(上)方元素全为零的方阵称为上(下)三角矩阵.例：一般地，不难证明：定理：两个 阶下(上)三角矩阵 与 的乘积仍为下(上)三角矩阵,且 的主对角元等于 与 的相应主对角元的乘积.5.6 下三角矩阵的逆 例:设 求 解:因此 5.6 下三角矩阵的逆 一般地，定理：下三角矩阵可逆 主对角元素都非零.可逆下三角矩阵的逆也是下三角阵.若原矩阵对角元素都是 则逆的对角元也都是 5.7 分块矩阵的消元和逆 考虑分块矩阵 其中 可逆.则可进行分块矩阵的初等行变换,使之变成分块上三角矩阵:使用分块初等矩阵,即有 5.7 分块矩阵的消元和逆 为把一般分块矩阵变为分块上三角矩阵,称下列三种变换为分块矩 阵的初等行变换：1.把一个块行减去另一块行左乘以 2.两个块行互换位置;3.用一个可逆矩阵左乘某一块行.类似有分块矩阵的初等列变换,则需要用矩阵作右乘.5.7 分块矩阵的消元和逆 相应得分块初等矩阵,如 5.7 分块矩阵的消元和逆 例：设 为可逆的分块上三角矩阵,其中 是 矩阵 为 矩阵.求 解：用 表示 且把它分块使 故有 由此解得 于是 分块上三角矩阵可逆 主对角线上各分块都是可逆的.