线性代数线性代数线性代数 (6).pdf

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1、6 分解 6.1 分解 回忆消元法的过程：方阵 上三角矩阵 使用矩阵语言：是初等矩阵的乘积.例：目标：将矩阵 分解成一个下三角矩阵(lower triangular matrix)和一个上三角矩阵(upper triangular matrix)的乘积.初等行变换 6.1 分解 看三阶方阵的情形：设不需做换行，经Gauss消元法变为上三角阵 即 于是 消去矩阵为下三角矩阵.下三角矩阵的逆、乘积均是下三角矩阵.6.1 分解 问题：为什么用 而非 例：6.1 分解 容易计算 不易计算.只包含消去信息 包含其他信息.是这样得到的：将消元的系数写在相应位置上.记 代入得“”表示把矩阵的第 行减去第 行

2、的 倍.6.1 分解 例 为上三角矩阵，对角元为 的主元.为下三角矩阵，对角元为 乘数 位于对角元下方.6.1 分解 有时，写成 例：上例中 其中 为对角阵 为上三角阵 为下三角阵 和 的对角元 都是 6.2 用 分解解线性方程组 若 则方程组 变为 (下三角形方程组)(上三角形方程组)例：已知 应用 的 分解来解 其中 6.2 用 分解解线性方程组 解：不计求 分解的运算在内,解两个三角方程组 和 比直接解 简单.6.2 用 分解解线性方程组 实际问题中常需解一系列具有相同系数矩阵的线性方程组 当 可逆时，可求 再求 实践中，1.用消元法解第一个方程组，同时得到 的 分解；2.用 分解解剩下

3、的方程组.6.3 消元法的计算量 问题：设 为 阶矩阵，用Gauss消元法解 需多少次加减乘除运算？求乘数 共需 次除法.共需 次乘法.共需 次减法.对 阶矩阵继续消元，6.3 消元法的计算量 所以，消元法一般过程含乘除法次数为 含加减法次数为 回代过程：含乘除法次数为 含加减法次数为 因此，Gauss消元法的计算量为 含乘除法次数 加减法次数 6.4 分解的存在性和唯一性 并非每个矩阵 都有 分解,即使 可逆.例：若 则 问题：若可逆矩阵 有 分解，则 应满足什么条件？设 是 的左上角的 子矩阵，称为 的 阶顺序主子阵.6.4 分解的存在性和唯一性 定理：设可逆矩阵 的顺序主子阵 均为可逆阵

4、，则 有 分解.证明：对 的阶数 用数学归纳法.时，定理成立.假设 时定理成立,则 时，其中 是 维列向量，是 维行向量.6.4 分解的存在性和唯一性 由 可逆，对 作消元：由归纳假设，故 定理得证.即 6.4 分解的存在性和唯一性 定理：设 阶可逆阵 有 其中 为下三角矩阵 为上三角矩阵，且 则分解唯一.证明：设可逆阵 有两个 分解：则 为对角阵.因 的对角元为 故 对角元全为 故 即 同理，设可逆矩阵 则分解唯一.6.5 对称矩阵的 分解 设可逆对称矩阵 不需换行，只通过消元能化成上三角矩阵 即有 则 由 分解唯一性知 故 例：分解 分解 6.5 对称矩阵的 分解 例：6.6 置换矩阵 定

5、义：一个 元置换是 的一个排列.这诱导了 阶单位矩阵行的一个重排.单位阵行重排后得到的矩阵称为置换阵.注：例：所有 置换阵为 6.6 置换矩阵 所有 置换阵为 共有 个 阶置换阵.置换阵的逆还是置换阵,置换阵的乘积仍是置换阵.置换阵 满足 6.7 分解 定理：设 是一个 阶可逆阵，则存在置换阵 使得 证明：对矩阵 的阶数 用数学归纳法.时定理显然成立.假设 时定理成立.时，的第一列有非零元，否则 不可逆.设 则调换第 行和第 行,得矩阵 于是 也可逆.对 作消元得 且 6.7 分解 为 阶可逆阵,由归纳假设知，存在 阶置换阵 使 得 于是 最后令 则 故 6.7 分解 例：故 6.7 分解 例：6.7 分解 注意到