3.1.2质点运动微分方程2.pdf

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1、例三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑物块 以加速度a2滑下,其质量为mA。试求：楔块的加速度a1值。 解： A B a1 a2 x: mAax=mAgsin y: mAay=FN-mAgcos 讨论： 2. a1 g tan, 3. a1= g tan, ay= a1 sin a20, 物块相对下降。 a2=0, 物块相对不动。 A ar=a2 ae=a1 y x FN P 自由度为自由度为2，有，有2个独立运动参量，个独立运动参量，1个已知，个已知，1个未知个未知 ax= a1 cos +a2 v0 mg s 例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为v0,

2、 = 0。试求绳作用在小球上的力F( ), 并分析小球的运动。 解： F n = i Fam : : n cos sin 2 mgFml mgml = = 运动微 分方程 积分上式可得： l v mmgF 2 0 )2cos3(+= 分析小球的运动 （1）微幅摆动 lg+=sin0 sin += 2 0 At=+sin() A v l = 0 ,0 运动特点：等时性 （周期与初始条件无关） 2 = g l 初始条件： =0, 00 0 v l g l += 0 微分方程的通解 确定积分常数 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） （2）大幅摆动0si

3、n 2 =+ 大 幅 摆 动 不 具 有 等 时 性 rad)( s)( t 例 一人在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子，当空气阻 力F=- kmv时,试求：石子的运动轨迹。 v0 x y mg 建立微分方程: m gyk mm gFym y = xkmFxm x = xkx =tk x x d d = ktx x x = 0 |ln )(dd 0 kte k v x kt = kt evx = 0 )1 ( 0 kt e k v x = gyky= kt gyk yk = + d ktgyk y =+ 0 | )ln( kt gegyk =+ )1 ( 2 kt e k g t k g

4、 hy += t k e gy kt d ) 1( d = y F x F x y 解: n 例4 4 圆柱破碎机械中放置钢球与石块，为使石块破碎效率最佳， 应使转动圆柱中的钢球达到最高位置再落下，试求此时转速n。 解: 沿法向建立质点运动微分方程: cos N 2 n mgF R v mma+= 代入后: 30 n RRv= )cos( 30 N mgF m R R n+= 当 FN=0 cos 30 R g n = R g n 30 =当 最高位置 =0 gm N F s F 例6: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 fd，圆柱半径为 r =1m。（。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。 r o 解：取质点为研究对象 =+m am gFF N n : : = = + mrmgF mrmgF d 2 N cos(1) sin(2) =Ff F ddN 由（2）式解得： =+Fm rm g N 2 sin 代入（1）式得： =+m rm gfm rm g d 2 cos(sin) m g F FN n 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 数值方法给出质点位 置、速度和切向加速度 随时间的变化规律 gm o rad/s,0,rad0 00 = t(s) 1 . 0= s f )( )( )( t t t