5.1质点的运动微分方程.pdf

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1、质点运动微分方程 第一定律第一定律 不受力（平衡力系）作用的质点将永远保持静止或作匀速不受力（平衡力系）作用的质点将永远保持静止或作匀速 直线运动。又称惯性定律直线运动。又称惯性定律。力力是改变质点运动状态的原因是改变质点运动状态的原因。（。（定性定性） 第二定律第二定律 质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小， 加速度与力的方向相同。加速度与力的方向相同。 （定量定量） 牛顿牛顿三定律三定律 maF 质点动力学基本方程质点动力学基本方程 力使物体产生沿其方向的加速度力使物体产生沿其方向的加速度 F作用在质点上的合力作用在质点上的合力

2、( (共点力系的合力共点力系的合力) ) a质点相对惯性系的加速度质点相对惯性系的加速度( (绝对加速度绝对加速度) ) 瞬时运动量的关系瞬时运动量的关系 适用范围适用范围 ( (低速、宏观、惯性系低速、宏观、惯性系) ) 动力学基本定律动力学基本定律 第三定律第三定律 两质点间相互作用的力，总是大小相等两质点间相互作用的力，总是大小相等、方向相反方向相反、沿两沿两 点连线分别作用在两质点上。点连线分别作用在两质点上。 m 1 n i i aF 质点质点运动运动微分方程直角坐标形式微分方程直角坐标形式 d d d d d d x mF t y mF t z mF t 2 2 1 2 2 1 2

3、 2 1 n xi i n yi i n zi i 质点运动微分方程质点运动微分方程 d d m t 2 2 1 n i i r F 质点质点运动运动微分方程自然坐标形式微分方程自然坐标形式 d d 0 v mF t v mF F 1 2 1 1 n i i n ni i n bi i 质点动力学方程的复合运动形式质点动力学方程的复合运动形式 ()m 1 n erci i aaaF 已知已知质点的运动，求作用于质点的力质点的运动，求作用于质点的力。 求解求解这类问题时这类问题时，只需根据已知的运动规律只需根据已知的运动规律，通过微分运算通过微分运算或复合或复合 运动运动求求出加速度出加速度；从

4、而按质点运动；从而按质点运动微分方程或动力学方程求微分方程或动力学方程求出未知力出未知力。 已知已知作用作用于质点的力，求质点的运动于质点的力，求质点的运动。 求解求解这类问题时这类问题时，首先要列出质点运动微分方程式首先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分然后进行积分， 同时利用运动的初始条件确定积分常数同时利用运动的初始条件确定积分常数，求出质点的运动规律求出质点的运动规律。 具体求解具体求解步骤步骤: : 明确研究对象明确研究对象 分析分析受力受力-全部外力全部外力 分析分析运动运动-一般位置一般位置( (运动描述的方法运动描述的方法) ) 建立建立方程并方程并求解求解( (解析法和数

5、值法解析法和数值法) ) 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题 d d m t 2 2 1 n i i r F 例例 小球小球M的重量为的重量为G，设以匀速，设以匀速vr沿直管沿直管OA运动，同时直管运动，同时直管OA以匀以匀角角 速度速度 绕绕铅直轴铅直轴z转动。求小球对管壁的水平压力。转动。求小球对管壁的水平压力。 已知质点的运动，求作用于质点的力已知质点的运动，求作用于质点的力。 erc aaaa 0 2 aOM a av 2 e r cr maFN aaaa erc 2G Fmav g Ncr z G M O A vr 解：研究小球，受力分析。解：研究小球，受力分析。 O A M

6、ae ac FN Ff 一般位置一般位置运动运动分析。分析。 以小球为动点，以小球为动点，OA杆为动系。杆为动系。 解解: :研究物体研究物体，受力分析受力分析。 例例 质量是质量是m的物体的物体M在均匀重力场中沿铅直线由静止下落在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻受到空气阻 力的作用力的作用。假定阻力假定阻力F与速度平方成比例与速度平方成比例，即即F=v2 ，阻力系数阻力系数的的单位单位 为为kg/m，数值由试验测定数值由试验测定。试求物体的运动规律试求物体的运动规律。 d d v mmgv t 2 x x v 令令 mg u d () d vg uv tu 22 2 d d u v

7、g t uvu 0022 vt 已知作用于质点的力，求质点的运动已知作用于质点的力，求质点的运动 运动分析运动分析，取坐标轴取坐标轴x铅直铅直向下向下，原点在物体的初始位置原点在物体的初始位置。 F mg M 物体物体速度随时速度随时间变化间变化的规律为的规律为 tanh 是双曲正切是双曲正切。 u vut g tanh() g u tg u t xt g u tg u t /00 2/ gee x uee d d ()() ()() g u tg u tg u t g u tg u tg u t 2 / 2 / eee vuu eee 1 1 ()()() ()()() 物体的运动方程为物体

8、的运动方程为 gt ugt u 2/2 ggu x ueeugt 2 lnln(cosh) ()() cosh 是双是双曲余弦曲余弦。 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） A 例例 球磨机是一种粉碎机械球磨机是一种粉碎机械，滚筒绕通过滚筒绕通过中心的水平中心的水平轴轴O以匀以匀角角速转动速转动， 内装钢球和物料内装钢球和物料，钢球被筒壁带到一定高度钢球被筒壁带到一定高度A(即即=0) 时脱离筒壁时脱离筒壁，然然 后沿抛物线轨迹落下后沿抛物线轨迹落下，从而击碎物料从而击碎物料。已知滚筒内壁半径为已知滚筒内壁半径为R，求滚筒求滚筒 的转速的转速n。 解：钢球解：钢球为为质点，在一般位置受力分析。质点，在一般位置受力分析。 mg FN F n 2 aR 运动运动分析分析 an n N 2 mRFmgcos 质点动力学方程质点动力学方程 当当 =0 时钢球时钢球将落下，这时将落下，这时FN = 0 O n 60 2 N 2 1 Rm nFmg R (cos ) 30 0 R n g 9.549cos 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 小结小结 maF 质点动力学基本方程质点动力学基本方程 d d m t 2 2 1 n i i r F 质点运动微分方程质点运动微分方程