2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练（含最新2018模拟题）：专题8 立体几何 第58练 .docx

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1、训练目标(1)利用公理、定理或已知的结论证明空间图形的位置关系；(2)用几何法或空间向量法求空间角.解题策略(1)证明空间的平行和垂直的关键是线线、线面、面面关系的相互转化，解题时要充分理解三者之间的联系；(2)利用向量方法求空间角是利用计算方法解决几何问题，要建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量.1.如图，在三棱锥PABC中，PAC和PBC是边长为的等边三角形，AB2，点O，D分别是AB，PB的中点(1)求证：OD平面PAC；(2)求证：OP平面ABC；(3)求三棱锥DABC的体积2.在如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点(1)求证：

2、DE平面ACC1A1；(2)若ABBC，ABBC，ACB160，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值3.(2018届温州一模)如图，在四面体ABCD中，ABBCCDBDAD1，平面ABD平面CBD.(1)求AC的长；(2)点E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值4如图1，四边形ABCD为梯形，ABCD，C，点E在CD上，ABCE，BFBD，BDBC.现将ADE沿AE折成如图2APE位置，使得二面角PAEC的大小为.(1)求PB的长度；(2)求证：PB平面ABCE；(3)求直线CE与平面APE所成角的正弦值答案精析1(1)证明点O，D分别为AB，PB的中点，ODPA.又PA平

3、面PAC，OD平面PAC，OD平面PAC.(2)证明连接OC，OP，点O为AB的中点，AB2，OCAB，OC1.同理，POAB，PO1.又PC，PC2OC2PO22，POC90.POOC.POOC，POAB，ABOCO，PO平面ABC.(3)解由(2)可知OP平面ABC，OP为三棱锥PABC的高，且OP1.设点D在平面ABC内的射影为点E，则DEOP，V三棱锥DABCSABCOP21.2(1)证明取AB中点F，连接DF，EF.在ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DFAC，又DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1.在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为

4、A1B1，AB的中点，所以EFAA1，又EF平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1.因为DFEFF，所以平面DEF平面ACC1A1.因为DE平面DEF，故DE平面ACC1A1.(2)解因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BCBB1，又ABBC，ABBB1B，所以BC平面ABB1A1.因为ABBC，BB1BB1，所以ABB1CBB1，所以AB1CB1，又ACB160，所以AB1C为正三角形，所以AB1ACAB，所以BB1AB.取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1BO，AB1CO，又因为BOCOO，所以AB1平面BCO，所以平面AB1C平面BCO，点B在

5、平面AB1C上的射影在CO上，所以BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角在RtBCO中，BOABBC，所以tanBCO.3解(1)AB1，BD，AD2，AB2BD2AD2，ABBD，又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AB平面ABD，AB平面CBD，ABBC，ABBC1，AC.(2)由(1)可知，AB平面BCD，ABCD，过点B作BGCD于点G，连接AG，ABBGB，则有CD平面ABG，又CD平面AGD，平面AGD平面ABG，过点B作BHAG于点H，BHCD，AGCDG，AG，CD平面AGD，则有BH平面AGD，连接HE，则BEH为BE与平面ACD所成的角由BCCD1，BD，得

6、BCD120，BGBCsinBCG1，又AB1，AG.由ABBGBHAG，得BH.又BEAD1，sinBEH.4(1)解因为ABEC，ABEC，所以四边形ABCE是平行四边形，所以BCAE，又因为BDBC，所以BDAE，所以AEFB，AEFP，即PFB为二面角PAEC的平面角又BF，PF2，由余弦定理得BP2BF2PF22BFPFcos BFP9，所以BP3.(2)证明BF，PF2，BP3，满足勾股定理，所以BFPB.又因为BFAE，PFAE，BFPFF，所以AE平面PFB，所以AEPB.又BFAEF，BF，AE平面ABCE，所以PB平面ABCE.(3)解方法一作BNPF于点N，连接AN，由(

7、2)可知，AE平面BFP，所以平面BFP平面APE，又平面BFP平面APEPF，BN平面BFP，所以BN平面APE，所以BAN是直线AB与平面APE所成的角在RtFBP中，BNBFsin ，因为四边形ABCE为平行四边形，所以AC，所以AB2，所以sin NAB.所以直线AB与平面APE所成角的正弦值为，即直线CE与平面APE所成角的正弦值为.方法二由于BF，BP，BC两两互相垂直，如图，以点B为坐标原点，BC，BF，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系则B(0,0,0)，C(3,0,0)，A(1，0)，E(2，0)，P(0,0,3)，则(3,0,0)，(1，3)，设平面APE的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则n(0，1)，设直线CE与平面APE所成的角为，(1，0)，则sin |cosn，|，即直线EC与平面APE所成角的正弦值为.