(奥数典型题)容斥原理--2024年六年级下册小升初数学思维拓展含答案.pdf

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1、第1页（共26页）学科网（北京）股份有限公司容斥原理容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考容斥原理 1：两量重叠问题 A 类与 B 类元素个数的总和A 类元素的个数+B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的

2、元素个数 用符号可表示成：ABA+BAB（其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思）容斥原理 2：三量重叠问题 A 类、B 类与 C 类元素个数的总和A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数+同时是 A 类、B 类、C 类的元素个数用符号表示为：ABCA+B+CABBCAC+ABC 板块二：典题精练板块二：典题精练 板块一：知识精讲板块一：知识精讲 (奥数典型题)容斥原理-2024年六年级下册小升初数学思维拓展 第2页（共26

3、页）学科网（北京）股份有限公司 1三年级共有 80 名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有 52 人，参加美术组的有48 人那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？2我们班参入调查了饭后吃水果情况：30 人喜欢吃苹果，27 人喜欢吃梨，10 人两种都喜欢，问我们班有多少人？3同学们收集图片张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳 7 个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这 5 人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这 3 人收集了奥运图片（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？4在校运动会上，共有 30 人参加跳远和

4、跳高。参加跳远的有 18 人，参加跳高的有 22 人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？5三（1）班有 48 人，其中订少年报的有 32 人，订数学报的有 38 人，有 25 人两份报都订。（1）只订少年报而没有订数学报的有多少人？（2）只订数学报而没有订少年报的有多少人？（3）有多少人两种报都没订？6学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有 210 幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共 148 幅，获得一二等奖的作品共 140 幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？7王老师出了两道数学题，全班 42 人，答对第一题的有 28 人，答对第二题的有 32 人，两题

5、都答错的有 1人。那么，两题都答对的有多少人？8六年级参加学校组织的研学旅行。学校分时段提供了以传统文化和劳动教育为主题的两次研学旅行，六年级每个同学至少参加了一次。已知有23的同学参加了传统文化，有 45%的同学参加了劳动教育，有 14个同学两次都参加了。六年级共有多少名同学？9三（1）班参加跑步的有 22 人，参加跳绳的有 26 人，两项都参加的有 10 人，两项都没参加的有 2 人。三（1）班共有学生多少人？10四年级有 108 名学生去春游，带水果的有 77 人，带矿泉水的有 78 人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？11四（3）班学生都订了报纸，其中订中国少年报的有 3

6、8 人，订少年智力开发报的有 35 人已知四（3）班共有 52 名学生，则两种报纸都订了的学生有多少人？第3页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 12三年级有 68 人订阅了现代少年报，有 79 人订阅了中国少年报，其中有 12 人两种都订了。订阅了报刊的一共有多少人？13三（1）班参加数学兴趣小组和音乐兴趣小组的共有 42 人，其中参加数学兴趣小组的有 23 人，参加音乐兴趣小组的有 26 人，同时参加两个兴趣小组的有几人？14学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？15三（2）班报名参加作文竞赛的有 21 人，报名参加数学竞赛的有

7、25 人，其中参加作文和数学两项竞赛的有 8 人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？16三（1）班共有 36 名同学订阅杂志，其中订阅数学天地的有 21 人，订阅语文天地的有 18 人，每人至少订阅一种有多少名同学订阅了两种杂志？17某班成立了 A，B，C 三个学习兴趣小组，经过调查，参加 A 兴趣小组的占 45%，参加 B 兴趣小组的占35%，参加 C 兴趣小组的占 30%，同时参加 A，B 兴趣小组的占 10%，同时参加 A，C 兴趣小组的占 8%，同时参加 B，C 兴趣小组的占 5%，同时参加 A，B，C 三个兴趣小组的占 3%，试计算下列各事件的概率：（1

8、）仅参加 A，B 兴趣小组；（2）恰好参加两个兴趣小组；（3）至少参加一个兴趣小组；（4）不参加任何兴趣小组。18四（1）班有 40 名学生，喜欢诵读古诗词的有 28 名，喜欢读数学故事的有 25 名，且每人至少喜欢其中的一种既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？19六（1）班有 45 人，有59的同学订了小学生数学报，有35的同学订了小学生语文学习，两种报纸都订的至少有多少人？20 七个数的平均数是 14，前五个数的平均数是 13，后五个数的平均数是 15，中间三个数的平均数是多少？21【文明中的教学】三（2）班学生为我市争创“文明城市”参加义务劳动。已知全班共 58 人，帮助清洁工进

9、行垃圾分类的有 36 人，帮助交警进行交通疏导的有 29 人，每人至少参加一种劳动。两种劳动都参加的有多少人？第4页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 22四年级有 72 人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有 56 人，参加演故事的有 27 人。两项活动都参加的有多少人？23三年级有 108 个小朋友去秋游，带矿泉水的有 68 人，带水果的有 87 人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？24三（1）班同学订阅语文报的有 28 人，订阅数学报的有 27 人，这两种报都订阅了的有 15 人，如果每人至少订阅了一种报刊，这个班一共有多少个同

10、学？25甲、乙、丙三所大学选派部分学生参加开幕式表演，已知甲、乙两校共有 194 人参加，甲、丙两校共有 198 人参加，乙、丙两校共有 196 人参加，甲、乙、丙三校各有多少人参加开幕式表演？26某班有 48 名学生，每人至少订阅一份数学报或学习报 已知1112的学生订阅了数学报，14的学生订阅了两种报刊，订阅学习报的学生有多少人？27小丽在自己班进行调查，得到如表数据：会跳舞的 28 人 不会跳舞的 23 人 会弹钢琴的 19 人 会拉二胡的 32 人 这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人？.28红旗小学六年级有 240 人，喜欢语文与不喜欢语文的人数比是 5：3，喜欢数学与不喜欢数

11、学的人数比是 7：5，两门学科都喜欢的有 86 人，两门学科都不喜欢的有多少人？29三（2）班有 42 名学生，会下象棋的有 21 名学生，会下围棋的有 17 名学生，两种都不会的有 10 名学生。两种都会下的有多少名学生？30一条公交线路从起点到终点有 8 个站，一辆公交车从起点站出发，前 6 站上车 100 人，前 7 站下车 80人，则从前 6 站上车而在终点站下车的乘客有多少人？31三（1）班部分学生参加“冬季运动会“，其中参加跳绳项目的有 22 人，参加踢毽子项目的有 23 人，两项都参加的有 8 人。三（1）班参加运动会的共有多少人？32三一班有 55 名同学，每人至少参加赛跑和跳

12、绳比赛中的一种已知参加赛跑的有 26 人，参加跳绳的有 38 人，两项比赛都参加的有多少人？33三（1）班参加数学竞赛和作文竞赛学生的名单如下表：第5页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 数学竞赛 刘进 吴琼 李晓红 王梅 刘洋 李强 赵圆 刘苗 作文竞赛 王梅 刘芳 李强 刘洋 张军 周小平 吴琼 （1）既参加数学竞赛又参加作文竞赛的有多少人？（2）参加数学竞赛和作文竞赛的一共有多少人？34同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆参观老虎馆的有 70 人，参观熊猫馆的有 65 人，两个馆都参观的有 45 人去动物园的一共有多少人？35正当人民开开心心迎接 2020 年春节到来时，一场突如其来的

13、新冠病毒席卷了整个神州大地新冠病毒来势汹汹，它的传染性极强，可以人传人为了预防新冠病毒新学期开始同学们在家线上学习，线上做作业一次作业四年级一班语文作业全对的有 31 人，数学作业全对的有 34 人，两种作业都对的是 30人，每人至少全对一种作业四年级一班共有学生多少人？36某单位有职工 138 人，其中有56的人买了中国共产党章程，有23的人买了中国共产党第二十次全国代表大会文件汇编，每名职工至少买了其中的一种书，两种书都买的有多少人？37某校对一年级某班新生做一项调查，学生共 48 人，会唱歌的人数占全班的23，会跳舞的占全班的34，两项都不会的有 3 人，两项都会的有多少人？38四年级一

14、班同学参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一个项目，有 30 人参加跳绳，有 26 人参加踢毽子，两项都参加的有 13 人，四年级一班一共有多少人？39三（1）班有 45 人，其中 19 人喜欢吃苹果，16 人喜欢吃橘子，8 人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子。喜欢吃苹果和橘子的有多少人？这两种水果都不喜欢吃的有多少人？40三年级（1）班有 45 名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有 25 人，参加拔河赛的有 35 人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？41某科研小组的 32 名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有 16 人，会讲英文的有 28 人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。（1）两种语言都

15、会讲的有多少人？（2）只会讲中文的有多少人？（3）只会讲英文的有多少人？42一个班有 38 人，班主任在班会上问：“谁参加美术兴趣小组？请举手！”有 30 人举手。又问：“谁参加体育兴趣小组？请举手！”有 35 人举手。最后问：“谁美术、体育小组都没有参加？”没有人举手。求这个班美术、体育小组都参加的人数。第6页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 43五年四班有 48 个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中34的同学订了作文，56的同学订了数学小灵通，两种读物都订阅的有多少人？44三（1）班有 45 人，其中 25 人喜欢看熊出没，35 人喜欢看西游记，如果每人至少选一个，有多少人两个

16、动画片都喜欢看？45三年级（1）班有 52 人，喜欢喝牛奶的有 27 人，喜欢喝豆浆的有 36 人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？46东山小学六年级有男生 150 人，喜欢足球和乒乓球中的一种或两种，其中，喜欢乒乓球运动的占 54%，喜欢足球运动的占 62%有多少人既喜欢乒乓球运动又喜欢足球运动？47新星小学参加“全国机器人奥林匹克竞赛”的有 4 人，参加“全国走进美妙的数学花园竞赛”的有 16人。猜猜看，这所学校同时参加“全国机器人奥林匹克竞赛”和“全国走进美妙的数学花园竞赛”的最多和最少可能有多少人？为什么？48某班一次考试有 52 人参加，共有 5 道题，每道题做错的人数如下：题号

17、 1 2 3 4 5 人数 4 6 10 20 39 又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有 7 人，5 道题全做对的有 6 人，做对 2 道题的人数和 3 道题的人数一样多，那么做对 4 道题的有多少人？4978 个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有 39 人，即参加体育组又参加文娱组的有 18 人参加文娱组的有多少人？50随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有 32 名同学，其中 14 人有兄弟，13 人有姐妹，8 人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？51三年级（2）班喜欢踢足球的有 20 人，喜欢打乒乓球

18、的有 15 人，这两项运动都喜欢的有 6 人，三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有多少人？52三年级一班有 45 人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门学习书法的有 26 人，学习绘画的有25 人书法和绘画都学习的有多少人？53三（1）班一共有 42 人，会打篮球的有 17 人，会踢足球的有 21 人，两种运动都不会的有 10 人。两种运动都会的有多少人？54学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有 40 名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有 24人参加科技小组，17 人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？55三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有 32 人订了数学王国，有 2

19、6 人订了作文天地，其中有 第7页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 12 人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？56三年级有 224 人去郊游带面包的有 159 人，带方便面的有 198 人，每人至少带这两种食品中的一种，两种食品都带的有多少人？第8页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 专题专题 40 容斥原理容斥原理 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1【答案】见试题解答内容【分析】根据“参加书法组的有 52 人，参加美术组的有 48 人”可得两者的总人数：52+48100 人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：1

20、008020（人），据此解答即可【解答】解：52+4880 10080 20（人）答：既参加书法组又参加美术组的有 20 人【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）2【答案】47 人。【分析】先用 30 加上 27 求出两者的人数和，然后减去重叠的人数 10 即可。【解答】解：30+2710 5710 47（人）答：我们班有 47 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。3【答案】见试题解答内容【分析】（1）7 个人收集了名山图片，3 人收集了奥运图片，没有重叠的人数，把这两部分的人数相加即可（2）7 个人收集了名山图

21、片，5 人收集了河流图片，其中李红、王丹、高伟这 3 人两样都收集了，所以用 7 与 5 的和，减去重叠的人数 3 就是收集名山图片和河流图片的共有多少人【解答】解：（1）7+310（人）答：收集名山图片和奥运图片的共有 10 人 （2）7+53 123 9（人）第9页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 答：收集名山图片和河流图片的共有 9 人【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题 4【答案】10 人。【分析】先用 18 加上 22 求出两者的和，这其中把两项比赛都参加的人数多计算了一次，然后减去总人数 30 就是既参加跳远又参加跳高的有多少人。【解答】解：

22、18+2230 4030 10（人）答：既参加跳远又参加跳高的有 10 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）。5【答案】（1）7 人；（2）13 人；（3）3 人。【分析】（1）求只订少年报而没有订数学报的有多少人，用订少年报的人数减去两份报都订的人数即可。（2）求只订数学报而没有订少年报的有多少人，用订数学报的人数减去两份报都订的人数即可。（3）求有多少人两种报都没订，用总人数减去至少订一种的人数即可。【解答】解：（1）32257（人）答：只订少年报而没有订数学报的有 7 人。（2）382513（人）答：只订数学报而没有订少年报的有 13 人。

23、（3）7+13+2545（人）48453（人）答：有 3 人两种报都没订。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。知识点是容斥原理一：总人数（A+B）既 A 又 B。6【答案】62、78、70 幅。【分析】140+148288（幅），是一、二、二、优秀奖数量的和，比一、二、优秀奖总数 210 幅多的数量就是二等奖的数量，即 28821078（幅）；那么一等奖就有 1407862（幅），优秀奖有 1487870（幅）；据此解答即可。第10页（共26页）学科网（北京）股份有限公司【解答】解：140+148288（幅）28821078（幅）1407862（幅）1487

24、870（幅）答：获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有 62、78、70 幅。【点评】本题主要考查容斥原理，解答本题的关键先求出二等奖的数量。7【答案】19 人。【分析】根据两题都答对的学生数（答对第一题的人数+答对第二题的人数）（总人数两题都答错的人数）；据此解答。【解答】解：（28+32）（421）6041 19（人）答：两题都答对的有 19 人。【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两题都答对的学生数（答对第一题的人数+答对第二题的人数）（总人数两题都答错的人数）。8【答案】120 名【分析】把总人数看作单位“1”，那么两次都参加的占总人数的（23+45%1），它对应的具体数量是14 人，

25、然后用除法解答即可。【解答】解：14（23+45%1）14760 120（名）答：六年级共有 120 名同学。【点评】解答本题关键是求出两次都参加的占总人数的的几分之几。9【答案】40 人。【分析】由题意，用（22+26）求出至少参加一项比赛的同学的总人数，再减去两项都参加的人数就是参加比赛的总人数，最后加上两项都没参加的人数；据此解答。【解答】解：22+2610+2 488 第11页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 40（人）答：三（1）班共有学生 40 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量A+B既 A 又 B。10【答案】47 人。【分析】根据容斥原理公式：既 A 又

26、 B（A+B）总人数解答即可。【解答】解：77+78108 155108 47（人）答：既带水果又带矿泉水的有 47 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。11【答案】21 人。【分析】有 38 人订了中国少年报，有 35 人订了少年智力开发报，一共有 38+3573 人，其中两种报纸都订的人数被计算了两次，根据容斥原理可知，有（38+35）52 名学生两种报纸都订了。【解答】解：（38+35）52 7352 21（人）答：两种报纸都订了的学生有 21 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。12【答案】135 人。【分

27、析】订阅了现代少年报的人数+订阅了中国少年报的人数两种都订的人数总人数。【解答】解：68+7912 14712 135（人）答：订阅了报刊的一共有 135 人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。13【答案】7 人。【分析】先用 26 加上 23 求出这两个兴趣小组的人数和，然后再减去实际的总人数 42，就是同时参加两个兴趣小组的有几人。【解答】解：23+2642 第12页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 4942 7（人）答：同时参加两个兴趣小组的有 7 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。14【答案】16 人。【分析】根据容斥原

28、理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。【解答】解：12+95 215 16（人）答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有 16 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）。15【答案】38 人。【分析】三（2）班的人数参加作文竞赛的人数+参加数学竞赛的人数参加作文和数学两项竞赛的人数；据此解答即可。【解答】解：21+258 468 38（人）答：三（2）班一共有 38 人。【点评】本题考查了容斥原理知识点，基本计算方法：总数A+B既 A 又 B。16【答案】见试题解答内容【分析】用 21 加上 18 求出它们的和，这样两种杂

29、志都订的多算了一次，然后减去 36 就是两种杂志都订的【解答】解：21+18363（名）答：有 3 名同学订阅了两种杂志【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A 类 B 类元素个数总和属于 A 类元素个数+属于 B类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数 17【答案】（1）7%；（2）14%；（3）90%；（4）10%。【分析】（1）用 10%减去 3%求出仅参加 A，B 兴趣小组的概率即可。第13页（共26页）学科网（北京）股份有限公司（2）用同时参加 A、B 兴趣小组，同时参加 A、C 兴趣小组，同时参加 B，C 兴趣小组的人数和减去同时参加 A、B、C 三个兴趣小组百分率的 3

30、 倍就是恰好参加两个兴趣小组的概率。（3）根据“A 类、B 类与 C 类元素个数的总和A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数既是 A类又是 B 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数+同时是 A 类、B 类、C 类的元素个数”解答即可。（4）用 1 减去至少参加一个兴趣小组的概率即可。【解答】解：（1）10%3%7%答：仅参加 A，B 兴趣小组的概率是 7%。（2）10%+8%+5%3%3 23%9%14%答：恰好参加两个兴趣小组的概率是 14%。（3）45%+35%+30%10%8%5%+3%110%23%+3%90%答：至少参加一个兴趣小

31、组的概率是 90%。（4）190%10%答：不参加任何兴趣小组的概率是 10%。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。18【答案】见试题解答内容【分析】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和，再用人数和减去全班的人数就是两样都喜欢的人数【解答】解：28+2540 5340 13（人）答：既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有 13 人【点评】本题题考查了容斥原理；知识点是：既 A 又 B 的人数（A+B）总人数 19【答案】7 人。【分析】先用总人数分别乘分率，求出订两种报纸的分别有多少人。根据容斥原理可知，订小学生数 第14页（共26页）学科网（北京）

32、股份有限公司 学报的人数+订小学生语文学习的人数总人数两种报纸都订的人数。【解答】解：4559=25（人）4535=27（人）25+2745 5245 7（人）答：两种报纸都订的至少有 7 人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。20【答案】14。【分析】总数平均数数据个数，据此求出七个数的和、前五个数的和、后五个数的和。把前五个数的和与后五个数的和相加，此时多算了一次中间三个数的和，因此减去七个数的总和就是中间三个数的和，再除以数据个数 3 即可。【解答】解：（135+155147）3 423 14 答：中间三个数的平均数是 14。【点评】解答此题的关键是掌握容斥原理的应用和平

33、均数的相关公式。21【答案】7 人。【分析】先用 36 加 29 求出帮助清洁工进行垃圾分类的和帮助交警进行交通疏导的人数和，再减去总人数 58 就是重复计算的人数，也就是两种劳动都参加的人数。【解答】解：36+2958 6558 7（人）答：两种劳动都参加的有 7 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。22【答案】11 人。【分析】根据容斥原理公式：既 A 又 B（A+B）总人数解答即可。【解答】解：56+2772 8372 第15页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 11（人）答：两项活动都参加的有 11 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问

34、题的灵活应用，可借助图形解决问题。23【答案】47 人。【分析】根据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数去秋游的总人数既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。【解答】解：68+87108 155108 47（人）答：三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有 47 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）。24【答案】见试题解答内容【分析】先计算出订制两种报纸的总人数，因为有两种报纸都订制的人数重复数了，所以订制两种报纸的总人数就比班级实际人数多，即订制两种报纸的总人数减去两种报纸都订的人数，就是班级实际的人数【解答】解：27+2815 5515 4

35、0（人）答：这个班一共有 40 个同学【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）25【答案】98 人、96 人、100 人。【分析】将已知两校的人数相加，再除以 2，即可求出甲、乙、丙三校的总人数，再减去甲、乙两校的人数，即可求出丙校的人数，用乙、丙两校的人数减去丙校的人数，即可求出乙校的人数，用甲、丙两校的人数减去丙校的人数，即可求出甲校的人数。【解答】解：（194+198+196）2 5882 294（人）294194100（人）19610096（人）第16页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 19810098（人）答：甲校有 98 人、乙校有 9

36、6 人、丙校有 100 人参加开幕式表演。【点评】本题考查容斥原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。26【答案】16 人。【分析】先根据分数乘法的意义分别求出订阅数学报的人数和订阅两种报刊的人数，再根据容斥原理公式解答即可。【解答】解：481112=44（人）4814=12（人）48（4412）16（人）答：订阅学习报的学生有 16 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。27【答案】32 人，19 人。【分析】根据前两个条件求出这个班的总人数，然后分别减去会弹钢琴的人数和会拉二胡的人数就是这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人。【解答】解：28+2351

37、（人）511932（人）513219（人）答：这个班不会弹钢琴的有 32 人，不会拉二胡的有 19 人。【点评】本题考查了简单的容斥原理，关键是求出这个班的总人数。28【答案】36 人。【分析】喜欢语文与不喜欢语文的比是 5：3，则喜欢语文的占总数的55+3，为 24055+3人；同理喜欢数学的有 24077+5人，根据容斥原理可知，喜欢语文与数学的共有 24055+3+24077+586 人，两门都喜欢的是 86 人，则两门都不喜欢的有 240（24055+3+24077+586）人。【解答】解：240（24055+3+24077+586）240（24058+24071286）240（150

38、+14086）240204 第17页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 36（人）答：两门学科都不喜欢的有 36 人。【点评】根据容斥原理之一：A 类 B 类元素个数总和属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A类又是 B 类的元素个数求出喜欢语文与数学的人数是完成本题的关键。29【答案】6 名。【分析】先求出会下象棋的人数与会下围棋的人数和，再加上两样都不会的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种都会的人数，所以再减去总人数 42，就是两种棋都会的人数。【解答】解：21+17+1042 4842 6（名）答：两种棋都会下的有 6 名。【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是 A

39、 类又是 B 类的元素个数属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数+非 A 非 B 元素个数元素总个数。30【答案】20 人。【分析】首先弄清前 6 个车站共上车的 100 人，要么在前 7 个车站（包含第 7 个车站）下车，要么在第8 个车站下车，由于所求的问题和第 7 个车站上车的人数无关，所以可以不考虑；这样的话，除终点站外前面各站共下车的 80 人就是 100 人中的 80 人，因此从 100 人中去掉 80 就是从前六站上车而在终点站下车的乘客；据此解答即可。【解答】解：根据分析可得，1008020（人）答：从前 6 站上车而在终点站下车的乘客共 20 人。【点评】本题题干条件比较

40、多，关键是理清关系，明确前 6 个车站共上车的 100 人，包括两部分，即在前 7 个车站（包含第 7 个车站）下车，和第 8 个车站下车。31【答案】37 人。【分析】由题意，用 22+23 求出至少参加一项比赛的同学的总人数，再减去两项都参加的人数就是参加运动会的总人数；据此解答。【解答】解：22+238 458 37（人）第18页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 答：三（1）班参加运动会的共有 37 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量A+B既 A 又 B。32【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参加赛跑的人数+参加跳绳的人数全班人数

41、两项比赛都参加的人数，把数代入计算得：26+38559（人）【解答】解：26+3855 6455 9（人）答：两项比赛都参加的有 9 人【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键找对参加比赛的人和全班人数的关系 33【答案】（1）4 人；（2）11 人。【分析】参加数学竞赛的有 8 人，参加作文竞赛的有 7 人，两种都参加的有：吴琼、王梅、刘洋、李强，共有 4 人；然后根据容斥原理解答即可。【解答】解：（1）两种都参加的有：吴琼、王梅、刘洋、李强，共有 4 人；答：既参加数学竞赛又参加作文竞赛的有 4 人。（2）8+74 154 11（人）答：参加数学竞赛和作文竞赛的一共有 11

42、 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。34【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数两个馆都参加人数去参观的总人数把数代入计算即可【解答】解：70+6545 13545 90（人）答：去动物园的一共有 90 人【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用知识点是：既 A 又 B（A+B）总人数 第19页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 35【答案】35。【分析】根据题干分析可得，四年级一班的总人数完成语文作业的 31 人+完成数学作业的 34 人两种作业都做完的人数 30，据此

43、列式计算即可解答。【解答】解：31+3430 6530 35（人）答：四年级一班共有学生 35 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决问题的方法，因为两种作业都完成的人数重复加了 1 次，所以完成语文和数学作业的人数之和，减去重复的人数，就是总人数。36【答案】69 人。【分析】把职工买的书的本数看作单位“1”，用买了中国共产党章程占职工人数的分率加上买了中国共产党第二十次全国代表大会文件汇编占职工人数的分率减去单位“1”即是两本都买的占职工人数的分率，用总人数乘此分率即是两种书都买的人数。【解答】解：138（56+231）13812 69（人）答：两种书都买的有 69 人。【点评】本题考查了容

44、斥原理的应用。37【答案】见试题解答内容【分析】根据分数乘法的意义，分别求出会唱歌的人数和会跳舞的人数，然后求出两者的和，这样再减去至少会一种的人数 48345 人，就是两项都会的有多少人【解答】解：4823=32（人）4834=36（人）48345（人）32+3645223（人）答：两项都会的有 23 人【点评】两量重叠问题：A 类与 B 类元素个数的总和A 类元素的个数+B 类元素个数既是 A 类又是 B类的元素个数 第20页（共26页）学科网（北京）股份有限公司 38【答案】43 人。【分析】根据容斥原理，用跳绳的 30 人加参加踢毽子的 26 人，求出和，然后再减去两项都参加的 13人

45、（重复计算的人数），就是四年级一班总人数。【解答】解：30+2613 5613 43（人）答：四年级一班一共有 43 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）。39【答案】27 人，18 人。【分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：19+1635（人），因为 8 人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是 35827（人），那么总人数减去这 27 人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数。【解答】解：19+168 358 27（人）452718（人）答：喜欢吃苹果和橘子的有 27 人，两种水果都不喜欢吃的有 18 人。【点评】

46、本题考查合情推理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。40【答案】15 人。【分析】根据容斥原理，参加接力赛的人数+参加拔河赛的人数总人数既参加接力赛又参加拔河赛的人数。【解答】解：25+3545 6045 15（人）答：既参加接力赛又参加拔河赛的有 15 人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。41【答案】（1）12 人；（2）4 人；（3）16 人。【分析】（1）根据“既 A 又 BA+B”总数量解答即可。（2）求只会讲中文的有多少人，用会讲中文的人数减去两种语言都会讲的人数。第21页（共26页）学科网（北京）股份有限公司（3）求只会讲英文的有多少人，用会讲英文的人数减去两

47、种语言都会讲的人数。【解答】解：（1）16+2832 4432 12（人）答：两种语言都会讲的有 12 人。（2）16124（人）答：只会讲中文的有 4 人。（3）281216（人）答：只会讲英文的有 16 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。42【答案】27 人。【分析】通过题意可知，全班同学都至少参加了美术和体育兴趣小组中的一个，根据“A 类人数+B 类人数全班人数既 A 又 B 类人数”即可求解。【解答】解：30+353827（人）答：这个班美术、体育小组都参加的人数是 27 人。【点评】本题考查了容斥原理的应用。43【答案】28 人。【分析】有3

48、4的同学订了作文，56的同学订了数学小灵通，则两种读物都订的人占全部人数的（34+561），所以两种读物都订的有 48（34+561），据此解答即可【解答】解：48（34+561）48712 28（人）答：两种读物都订的同学有 28 人。【点评】根据订两种读物的人数分别占全部人数的分率，求出两种读物都订的人数占全部人数的分率是完成本题的关键。44【答案】15。【分析】用喜欢看熊出没的人数加上喜欢看西游记的人数，再减去三（1）班总人数，就可得两个动画片都喜欢看的人数。第22页（共26页）学科网（北京）股份有限公司【解答】解：25+3545 6045 15（人）答：有 15 人两个动画片都喜欢看。

49、【点评】明确数量间包含与被包含的关系是解决本题的关键。45【答案】11 人。【分析】先用 27 加上 36 求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和，再减去三年级（1）班的总人数 52 就是重复计算的人数，也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。【解答】解：27+3652 6352 11（人）答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有 11 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。46【答案】见试题解答内容【分析】先把男生的总人数看成单位“1”，用男生的人数乘 54%求出喜欢乒乓球的人数，同理求出喜欢足球的人数，再把这两者相加，然后减去总人数，即可求出既喜欢乒乓球运动又喜欢

50、足球运动【解答】解：15054%+15062%150 81+93150 174150 24（人）答：有 24 人既喜欢乒乓球运动又喜欢足球运动【点评】解决本题先找出单位“1”，根据分数乘法的意义求出喜欢乒乓球和喜欢足球的人数，再根据容斥原理：既是 A 类又是 B 类的元素个数A 类元素的个数+B 类元素个数A 类与 B 类元素个数的总和 47【答案】4 人，0 人。【分析】参加“全国机器人奥林匹克竞赛”的有 4 人都参加“全国走进美妙的数学花园竞赛”时，同时参加“全国机器人奥林匹克竞赛”和“全国走进美妙的数学花园竞赛”的人数最多；参加“全国机器人奥林匹克竞赛”的有 4 人都没有参加“全国走进美