【高中数学】等比数列的前n项和公式第2课时课件-2023-2024学年高二上人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、4.3.2等比数列的前n项和公式复习回顾复习回顾1、等比数列的前、等比数列的前n项和公式项和公式(1)“知三求二知三求二”实质是方程思想实质是方程思想(2)当已知当已知a1，q(q1)及及n时，用公式时，用公式 求和比较方便；求和比较方便；当已知当已知a1，q，an时，则用公式时，则用公式 求和求和2、方法总结、方法总结当当q=1时，时，Sn=na1新知探究新知探究思考思考1：等比数列前等比数列前n项和公式项和公式 (q1)有什么样的函数特征？有什么样的函数特征？等比数列前等比数列前n项和公式的性质项和公式的性质当当q1时，时，即即Sn是是n的的指数型函数指数型函数.当当q1时，时，Snna1

2、，即，即Sn是是n的的正比例函数正比例函数.qn的系数与常数的系数与常数项项互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数.则则SnAqnA.1、一个等比数列的前一个等比数列的前n项和项和Sn=(1-2)+2n，则，则=()A、-1 B、1 C、2 D、3 例题解析例题解析B解析：解析：SnAqnA.qn的系数与常数项互为相反数的系数与常数项互为相反数.1-2=-，=1随堂练习随堂练习1、若数列若数列an是等比数列是等比数列，且其前且其前n项和为项和为Sn=3n+1-2k，则实数则实数k等于等于.解析：解析：Sn=3n+1-2k=33n-2k，且且an为等比数列为等比数列，3-2k=0，即即2、记数

3、列记数列an的前的前n项和项和Sn2n.(1)当当3时，求时，求an的通项公式；的通项公式；(2)是否存在常数是否存在常数，使得，使得an为等比数列？请说明理由为等比数列？请说明理由例题解析例题解析解析解析：(1)把把3代入数列的前代入数列的前n项和，求出首项，再由项和，求出首项，再由anSnSn1求出求出n2时的通项公式，验证后得答案时的通项公式，验证后得答案解：解：(1)当当=3时，时，Sn=2n3，当当n2时，时，an=SnSn1=2n32n13=2n1.当当n=1时时a1=S1=5，不符合上式，不符合上式.2、记数列记数列an的前的前n项和项和Sn2n.(1)当当3时，求时，求an的通

4、项公式；的通项公式；(2)是否存在常数是否存在常数，使得，使得an为等比数列？请说明理由为等比数列？请说明理由例题解析例题解析解：解：(2)由由Sn2n，得，得 当当n1时时a1S12；当当n2时，时，anSnSn12n2n12n1.若存在常数若存在常数，使得，使得an为等比数列，为等比数列，则则2201，得，得1.故存在实数故存在实数1，使得，使得an为等比数列为等比数列解析解析：(2)由数列的前由数列的前n项和求得首项，再由项和求得首项，再由anSnSn1求出求出n2时的通项公时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得式，由首项适合该通项公式即可求得的值的值2、已知数列已知数列an的前的前

5、n项和为项和为Sn，若，若Sn2n-1，判断，判断an是不是等比数列，是不是等比数列，请请说明理由说明理由随堂练习随堂练习解：由解：由Sn2n-1，得，得a1=S1=1，当当n2时，时，an=SnSn1=(2n-1)(2n1-1)=2n1，令令n=1，得，得21-1=1=a1，所以，所以an=2n1，nN*，所以所以an是等比数列是等比数列.新知探究新知探究注意：注意：(3)(4)不能作为证明方法，不能作为证明方法，证明一个数列是等证明一个数列是等比数列，只能用比数列，只能用定义法或等比中项法定义法或等比中项法等比数列的判定等比数列的判定(2)等比中项法：若等比中项法：若an12anan2(n

6、N*且且an0)，则数列，则数列an为等比数列为等比数列(1)定义法：若数列定义法：若数列an满足满足 (q为常数且不为零为常数且不为零)或或 (n2，q为常数且不为零为常数且不为零)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式法：若数列an的通项公式为的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列(4)前前n项和项和公式法：公式法：若数列若数列an的前的前n项和为项和为SnAqnA(Aq0且且q1)，则则数列数列an是等比数列是等比数列新知探究新知探究思思考考2：若若an是是公公比比为为q的的等等比比数数列列，S偶偶、S奇奇分分

7、别别是是数数列列的的偶偶数数项项和和与与奇奇数数项和，则项和，则S偶偶，S奇奇之间有什么关系？之间有什么关系？等比数列前等比数列前n项和公式的性质项和公式的性质(1)若等比数列若等比数列an的项数有的项数有2n项，则项，则(2)若等比数列若等比数列an的项数有的项数有2n1项，则项，则S奇奇a1a3 a2n-1 a2n+1a1(a3a2n-1 a2n+1)a1q(a2a4a2n)a1qS偶偶S奇奇a1qS偶偶S偶偶a2a4a2nS奇奇a1a3a2n1S偶偶a2a4a2nS偶偶qS奇奇3、已知、已知等比数列等比数列an共有共有32项，其公比项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少，且奇数项之

8、和比偶数项之和少60，则数列，则数列an的所有项之和是的所有项之和是()A、30 B、60 C、90 D、120 例题解析例题解析D解：设等比数列解：设等比数列an的奇数项之和为的奇数项之和为S奇奇，偶数项之和为，偶数项之和为S偶偶，则则S偶偶=qS奇奇=3S奇奇又又S奇奇+60=S偶偶，则，则S奇奇+60=3S偶偶 S奇奇=30，S偶偶=90 故数列故数列an的所有项之和是的所有项之和是 30+90=120.3、已知等比数列已知等比数列an共有共有2n项项，其和为其和为-240，且且(a1+a3+a2n-1)(a2+a4+a2n)=80，则公比则公比q=.随堂练习随堂练习2解：因为解：因为a

9、n是项数为偶数的等比数列，是项数为偶数的等比数列，又因为又因为S奇奇+S偶偶=-240，S奇奇-S偶偶=80，所以所以S奇奇=-80，S偶偶=-160新知探究新知探究思考思考3：已知等比数列已知等比数列an的的公比公比q-1，前，前n项和为项和为Sn，证明，证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列成等比数列，并求这个数列的公比，并求这个数列的公比.等比数列前等比数列前n项和公式的性质项和公式的性质 因为因为qn为常数，所以为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为成等比数列，公比为qn.证明：当证明：当q=1时，时，Sn=na1，S2n-Sn=2na1-na1=n

10、a1，S3n-S2n=3na1-2na1=na1，4、等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn=48，前，前2n项和为项和为S2n=60，则前，则前3n项和项和S3n=_.例题解析例题解析方法一：方法一：设设等比数列等比数列的首项为的首项为a1，公比为公比为q，由已知易知，由已知易知q1，方法二：方法二：由由Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，成等比数列，得得(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即即(6048)248(S3n60)，解得，解得S3n63.4、在等比数列在等比数列an中中，若若S2=7，S6=91，则则S4=.随堂练习随堂练习解：解：数列数列an是等比数列是等比数列

11、，且易知公比且易知公比q-1，S2，S4 S2，S6 S4也构成等比数列，也构成等比数列，即即7，S4-7，91-S4构成等比数列构成等比数列，(S4-7)2=7(91-S4)，解得解得S4=28或或S4=-21.又又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)0，S4=28.5、如果一个等比数列前如果一个等比数列前5项和等于项和等于10，前前10项的和等于项的和等于50，求这个数列前求这个数列前15项的和及其公比项的和及其公比.随堂练习随堂练习方法一：方法一：设设等比数列等比数列的首项为的首项为a1，公比为公比为q，由已知易知，

12、由已知易知q1，方法二：方法二：由由Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，成等比数列，得得(S10S5)2S5(S15S10)，即即(5010)210(S1550)，解得，解得S15210.例题解析例题解析等比数列前等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用5、如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为5cm，取正方形，取正方形ABCD各边的中点各边的中点E,F,G,H，作第，作第2个正方形个正方形EFGH，然后再取正方形，然后再取正方形EFGH各边的中点各边的中点I,J,K,L，作第，作第3个正方形个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形

13、求从正方形ABCD开始，连续开始，连续10个正方形的面积之和；个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少之和将趋近于多少?分析：分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.解解：设正方形的面积为设正方形的面积为a1，后继各正方形的面积依次为，后继各正方形的面积依次为a2，a3，an，则则a1=25.设设an的前项和为的前项和为Sn.则数列则数列an是以是以25为首项，公比为为首项，公比为 的等

14、比数列的等比数列.所以，前所以，前10个正方形的面积之和为个正方形的面积之和为由于第由于第k+1个个正方形的顶点分别是第正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以个正方形各边的中点，所以例题解析例题解析等比数列前等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用5、如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为5cm，取正方形，取正方形ABCD各边的中点各边的中点E,F,G,H，作第，作第2个正方形个正方形EFGH，然后再取正方形，然后再取正方形EFGH各边的中点各边的中点I,J,K,L，作第，作第3个正方形个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形求从

15、正方形ABCD开始，连续开始，连续10个正方形的面积之和；个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少之和将趋近于多少?(2)当当n无限增大时，无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和无限趋近于所有正方形的面积和：a1+a2+a3+an+，所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.随着随着n的无限增大，的无限增大，将趋近与将趋近与0，Sn趋近与趋近与50.例题解析例题解析等比数列前等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用6、去年某

16、地产生的生活垃圾为去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加的垃圾量每年增加1.5万吨万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理年内通过填埋方式处理的垃圾总量的垃圾总量(精确到精确到0.1

17、万吨万吨).分析：分析：由题意可知，每年由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以而每年以环保方式处理的垃圾量环保方式处理的垃圾量构成等差数列构成等差数列.因此因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.解：设从今年起每年生活垃圾的总量解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨单位：万吨)构成等比数列构成等比数列an，每年以环保方式处理的垃圾量每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨单位：万吨)构成等差数列构成等差数列bn，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨单位：万吨

18、)，则则an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，Sn=(a1b1)+(a2b2)+(anbn)=(a1+a2+an)(b1+b2+bn)=(201.05+201.052+201.05n)(7.5+9+6+1.5n)当当n=5时，时，S563.5所以，所以，从从今年起今年起5年内，年内，通过填埋方式处理的垃通过填埋方式处理的垃圾总量约为圾总量约为 63.5万吨万吨.方法总结方法总结数列求和方法：数列求和方法：分组求和分组求和法法(1)求形如求形如cnanbn的的前前n项和公式项和公式，其中，其中an与与bn是等差数列是等差数列或或等比数列等比数列；(2)将等差数列和等比数列分开：将等差数列

19、和等比数列分开：Tnc1+c2+cn(a1+a2+an)(b1+b2+bn)(3)利用利用等差数列和等比数列前等差数列和等比数列前n项和公式项和公式来计算来计算Tn.例题解析例题解析等比数列前等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用7、某牧场今年初牛的存栏数为、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每，且在每年年底卖出年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系；之间

20、的关系；(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中的形式，其中k，r为常数；为常数；(3)求求S10=c1+c2+c3+c10的值的值(精确到精确到1)分析：分析：(1)可以利用可以利用“每年存栏数的每年存栏数的增长率为增长率为8%”和和“每年年底卖出每年年底卖出100头头”建立建立cn+1与与cn的关系；的关系；解：解：(1)由题意，得由题意，得c1=1200，并且，并且cn+1=1.08cn100.分析：分析：(2)这是这是待定系数法待定系数法的应用，可以将它还原为的应用，可以将它还原为(1)中中的递推的递推公式形式，通公式形式，通过比较系

21、数，得到方程组；过比较系数，得到方程组；例题解析例题解析等比数列前等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用7、某牧场今年初牛的存栏数为、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每，且在每年年底卖出年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系；之间的关系；(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中的形式，其中k，r为常数；

22、为常数；(3)求求S10=c1+c2+c3+c10的值的值(精确到精确到1)解：解：(1)由题意，得由题意，得c1=1200，并且，并且cn+1=1.08cn100.(2)将将cn+1-k=r(cn-k)化成化成cn+1=rcnrk+k.比较比较的系数，可得的系数，可得解这个方程组，得解这个方程组，得所以，所以，(1)中的递推公式可以化为：中的递推公式可以化为：cn+1-1250=1.08(cn-1250).例题解析例题解析等比数列前等比数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用7、某牧场今年初牛的存栏数为、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，预计以后每年存栏数的

23、增长率为8%，且在每，且在每年年底卖出年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系；之间的关系；(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中的形式，其中k，r为常数；为常数；(3)求求S10=c1+c2+c3+c10的值的值(精确到精确到1)分析：分析：(3)利用利用(2)的结论可得出解答。的结论可得出解答。(3)由由(2)可知，数列可知，数列cn-1250是以是以-50为首项，为首项，1.

24、08为公比的等比数为公比的等比数列，则：列，则：(c11250)+(c21250)+(c31250)+(c101250)724.3.所以，所以，S10=c1+c2+c3+c10125010724.3=11775.711776.6、求下列各式的和求下列各式的和(1)(2-35-1)+(4-35-2)+(2n-35-n)；(2)1+2x+3x2+nxn-1.随堂练习随堂练习7、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若Sn=2an+1，求，求Sn.随堂练习随堂练习Sn=-2n+1，8、已知数列、已知数列an的首项的首项a1=3，通项，通项an=2np+nq(nN*，pq为常数为常数)

25、且且a1，a4，a5成等差数列成等差数列.(1)求求p，q的值；的值；(2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.随堂练习随堂练习p=q=1分组求和法分组求和法9、已知等比数列、已知等比数列an中中a1=2，a3+2是是a2和和a4的等差中项的等差中项.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)记记bn=anlog2an，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.随堂练习随堂练习错位相减法错位相减法an=2nSn=2+(n-1)2n+110、设、设Sn为数列为数列an的前的前n项和，已知项和，已知a10，2an-a1=S1Sn，nN*.(1)求求a1，a2，并求数列，并求数列an的

26、通项公式；的通项公式；(2)记记bn=nan，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn.随堂练习随堂练习an=2n-1Tn=(n-1)2n+111、已知数列、已知数列an是递增的等差数列，是递增的等差数列，a2，a4是方程是方程x2-5x+6=0的根的根.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列 的前的前n项和项和Sn.随堂练习随堂练习课堂小结课堂小结等比数列前等比数列前n项和的性质：项和的性质：(1)若一个非常数数列若一个非常数数列an的前的前n项和项和Sn=AqnA(A0，q0，nN*)，则数，则数列列an为等比数列，为等比数列，即即Sn=AqnA(A0，q0，q1，nN*)数列数列an为等比数列为等比数列.(2)等比数列等比数列an中，若项数为中，若项数为2n，则，则 ；若项数为；若项数为2n+1，则，则 .(3)若等比数列若等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，则，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列成等比数列(其中其中Sn，S2nSn，S3nS2n，均不为均不为0).