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1、4.3.2等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式1、等比数列的定义：、等比数列的定义：3、等比数列的主要性质：、等比数列的主要性质：2、通项公式：、通项公式：复习回顾复习回顾an=a1qn-1an=amqn-ma，G，b成等比数列成等比数列 则则aman=apaq=at2G2=ab在等比数列在等比数列an中若中若m+n=p+q=2t情景导入情景导入 国国际际象象棋棋起起源源于于古古印印度度.相相传传国国王王要要奖奖赏赏国国际际象象棋棋的的发发明明者者，问问他他想想要要什什么么.发发明明者者说说：“请请在在棋棋盘盘的的第第1个个格格子子里里放放上上1颗颗麦麦粒粒，第第2个个格格子子里里放放上
2、上2颗颗麦麦粒粒，第第3个个格格子子里里放放上上4颗颗麦麦粒粒依依次次类类推推，每每个个格格子子里里放放的的麦麦粒粒数数都都是是前前一一个个格格子子里里放放的的麦麦粒粒数数的的2倍倍，直直到到第第64个个格格子子.请请给给我我足足够够的的麦麦粒粒以以实实现现上上述述要要求求.”国国王王觉觉得得这这个个要要求求不高，就欣然同意了不高，就欣然同意了.已知已知1000颗麦粒的质量约为颗麦粒的质量约为40g，据查，据查，20162017年度世界小麦产量约为年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言.情景导入情景导入问题问题1：这位
3、聪明的这位聪明的发明者发明者要求的麦粒总数是多少呢？要求的麦粒总数是多少呢？麦粒总数为麦粒总数为问题问题2：1，21，22，263 构成什么数列？构成什么数列？等比数列等比数列问题问题3：1+21+22+263 应归结为什么数学问题呢？应归结为什么数学问题呢？求等比数列的前求等比数列的前n项和问题项和问题1+2+22+23+263=？新知探究新知探究探究探究1：如何求这个数列的前如何求这个数列的前n项和？项和？探究探究2：观察上式相邻两项，有什么特征？观察上式相邻两项，有什么特征？所以将所以将式两边同式两边同乘以乘以2则有则有如果我们把每一项都如果我们把每一项都乘以乘以2，就变成了与它相邻的项
4、就变成了与它相邻的项S64=1+2+22+262+263 2S64=2+22+23+263+264 新知探究新知探究探究探究3：比较比较、两式，你有什么发现？两式，你有什么发现？S64=1+2+22+262+263 2S64=2+22+23+263+264 思考：思考：观察整个过程，观察整个过程，式两边为什么要乘以式两边为什么要乘以2？-得：得：错位相减法错位相减法S64=264-1新知探究新知探究探究探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言根据以上计算判断国王能否实现他的诺言.一千颗麦粒的质量约为一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了，那么以上这些麦粒的总质量超过了7
5、000亿吨，亿吨，约是约是2016 2017年度世界小麦产量的年度世界小麦产量的981倍倍 因此，国王根本因此，国王根本不可能不可能实现他的诺言实现他的诺言264-1=184467440737095516151.841019新知探究新知探究思考思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢项和公式呢？-得：得：q 得得思考思考2：要求出要求出Sn，是否可以把上式两边同除以，是否可以把上式两边同除以(1-q)？Sn=a1+a2+a3+an-1+an Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn
6、-1+a1qn (1-q)Sn=a1-a1qn新知探究新知探究思考思考2：要求出要求出Sn，是否可以把上式两边同除以，是否可以把上式两边同除以(1-q)？(1-q)Sn=a1-a1qn当当1-q0，即，即q1时，除以时，除以1-q得得当当1-q0，即，即q1时，时，注意：分类讨论注意：分类讨论Sn=a1+a2+a3+an-1+an =a1+a1+a1+a1+a1 =na1 1、等比数列的前、等比数列的前n项和公式项和公式新知探究新知探究(1)等比数列求和时，应考虑等比数列求和时，应考虑q=1与与q1两种情况两种情况.(2)推导等比数列前推导等比数列前n项和公式的方法：项和公式的方法：错位相减法
7、错位相减法.(3)步骤步骤:乘公比乘公比，错位写错位写，对位减对位减.注意：注意：新知探究新知探究思考思考3：等比数列的前等比数列的前n项和公式有何函数特征？项和公式有何函数特征？(1)当公比当公比q1时，设时，设 ，等比数列的前等比数列的前n项和公式是项和公式是SnA(qn1)，即即Sn是关于是关于n的指数型函数的指数型函数(2)当公比当公比q1时，因为时，因为a10，所以，所以Snna1，Sn是关于是关于n的正比例函数的正比例函数1、已知数列、已知数列an是等比数列是等比数列.例题解析例题解析1、已知数列、已知数列an是等比数列是等比数列.例题解析例题解析1、已知数列、已知数列an是等比数
8、列是等比数列.例题解析例题解析解得解得n=5.1、在等比数列在等比数列an(nN*)中，若中，若a11，则则S10()随堂练习随堂练习B解析：解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式设公比为项和公式设公比为q，则该数列的前则该数列的前10项和为项和为1、等比数列的前、等比数列的前n项和公式项和公式新知探究新知探究方法二：方法二：Sn=a1+a2+an=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Snan)(1q)Sn=a1qan当当q=1时，时，Sn=na11、等比数列的前、等比数列的前n
9、项和公式项和公式新知探究新知探究方法三：方法三：当当q=1时，时，Sn=na12、在等比数列、在等比数列an中，公比为中，公比为q，前，前n项和为项和为Sn.例题解析例题解析n=6.解：解：(1)显然显然q1，又又an=a1qn-1.2、在等比数列、在等比数列an中，公比为中，公比为q，前，前n项和为项和为Sn.例题解析例题解析解解(法一法一)：(2)由由S62S3，得，得q1，由题意得，由题意得q3=8，q=2.2、在等比数列、在等比数列an中，公比为中，公比为q，前，前n项和为项和为Sn.例题解析例题解析解解(法二法二)：(2)由由S3=a1+a2+a3，S6=S3+a4+a5+a6=S3
10、+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3.q3=8，q=2.新知探究新知探究(1)“知三求二知三求二”实质是方程思想实质是方程思想(2)当已知当已知a1，q(q1)及及n时，用公式时，用公式 求和比较方便；求和比较方便；当已知当已知a1，q，an时，则用公式时，则用公式 求和求和方法总结方法总结2、在等比数列、在等比数列an中，公比为中，公比为q，前，前n项和为项和为Sn.随堂练习随堂练习(2)若若S3S62S9，求公比，求公比q；(3)若若a32S21，a42S31，求公比，求公比q.q=-2.n=5.2、在等比数列、在等比数列an中，公比为中，公比为q，前，前n项和为项
11、和为Sn.随堂练习随堂练习(2)若若S3S62S9，求公比，求公比q；(3)若若a32S21，a42S31，求公比，求公比q.解：解：(2)若若q1，则，则S3S63a16a19a12S9.所以所以q1，由已知，由已知，q3(2q6q31)0.q0，2q6q310，(q31)(2q31)0.q1，2、在等比数列、在等比数列an中，公比为中，公比为q，前，前n项和为项和为Sn.随堂练习随堂练习(2)若若S3S62S9，求公比，求公比q；(3)若若a32S21，a42S31，求公比，求公比q.解：解：(3)由题意得由题意得a4a32a3，3、已知等比数列、已知等比数列an的首项为的首项为-1，前，
12、前n项和为项和为Sn，若，若 ，求公比，求公比q.例题解析例题解析q1.4、在公差不为零的等差数列在公差不为零的等差数列an中，中，a11，且，且a1，a2，a5成等比数列成等比数列(1)求求an的通项公式的通项公式(2)设设 ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.例题解析例题解析解：解：(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，由已知得，由已知得a22a1a5，则则(a1d)2a1(a14d)，将将a11代入并化简得代入并化简得d22d0，解得，解得d2或或d0(舍去舍去).所以所以an1(n1)22n1.例题解析例题解析解：解：(2)由由(1)知知bn22n1，所以，所以bn
13、122n1，所以，所以4、在公差不为零的等差数列在公差不为零的等差数列an中，中，a11，且，且a1，a2，a5成等比数列成等比数列(1)求求an的通项公式的通项公式(2)设设 ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.所以数列所以数列bn是首项为是首项为2，公比为，公比为4的等比数列的等比数列12、等差数列、等差数列an中已知中已知a1=3，a4=12.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若若a2，a4分别为等比数列分别为等比数列bn的第的第1项和第项和第2项，求数列项，求数列bn的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Sn.随堂练习随堂练习an=3nbn=32nSn=6(2n-1)课堂小结课堂小结1、等比数列的前、等比数列的前n项和公式项和公式(1)“知三求二知三求二”实质是方程思想实质是方程思想(2)当已知当已知a1，q(q1)及及n时，用公式时，用公式 求和比较方便；求和比较方便；当已知当已知a1，q，an时，则用公式时，则用公式 求和求和2、方法总结、方法总结当当q=1时，时，Sn=na1
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