2001数学一解析.pdf

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1、2001年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】yf 2j/+23/=0.【解解】由通解形式得二阶常系数齐次线性微分方程的特征值为AU2=l+i,特征方程为(入一1 i)(A l+i)=C)9即入?一 2入+2=0.故微分方程为yf 2yf+2歹=0.2(2)【答案】三【解解】zrdiv(grad 厂)2 2 无 yr-r-2 Z 7 22rrIfG,丿)dy1X1y12/(:,yAx*020*-1如图所示,将。=(工,夕)|1一夕工2,1三了 示成X型区域为D=(_z,y)|lW_z2,l攵夕冬0,1yf(j-,y)dx改变积分次序为【解解】i故f(jc 9)dz 9f(9 y)dr22

2、djr于(工,y)dy.1-X(4)【答案】y(A+2E).【解解】由 A2+A-4E=O,得(A E)(A+2E)=2E.-H-2*1 2 r r于是 div(grad r)|(i,-2,2)(3)【答案】于是(A-E)-y(A+2E)=E,由逆矩阵的定义得(A-E)_1=y(A+2E).(5)【答案】y.【解解】由切比雪夫不等式得P|X-E(X)|2二、选择题(6)【答案】(D).【解解】当工0时,由/&)单调增加,得fx)$0,则(A),(C)不对;在z=0的右邻域内,由/(乂)单调增加,得于(工)O,!iIlJ(B)不对,应选(D).(7)【答案】(C).【解解】因为函数可偏导不一定可

3、微,所以(A)不对;曲线在(0,0,/(0,0)处的切向量为011-Z1 090 09(0,0)Z f*八在(0,0,f(0,0)处的切向量为1,0,3,应选(C).)=0(8)【答案】(B).【解解】因为当力0时,1-cos A-*0+,IU./(I cos h)/(I cos h)/(0)1 cos h于是曲线cosh21 昇(0),h2J y1h-0即忸書也存在只能使右导数存在,故(A)不对;-/(A sin h)/(A sin h)/(0)lim-e-=lim-:-Ao h a-o h sin hh 一 sin hh2e、h 一 sin h 小 匕 Lir f(h sin h)亠才 宀

4、/士f(A sin h)/(0)士 因为lim-=0,所以lim -;-存在不_定使lim -r-2 存a-o h A-o h h sin h在,即)在=0处不一定可导,(c)不对;取/(r)=F X 显然 厶八)=1,因为 lim/Xj?)=0 H _/(0),所以/(工),12,x=0,I h 在工=0处不连续,故在z=0处不可导,(D)不对,应选(E).方法点评:导数定义为lim 竽=厂(攵(),等价定义为lim -了口=f(工Q,心0 乂 X X 0考查导数定义时一定要准确理解导数定义的本质,注意如下三个方面:(1)导数定义中工f 0要同时保证Ax f 0和f 0一;口/(jc0 ah

5、)/(J7O+6A)(2)定义中函数增量后一项必须为/(乂。),即lim -厂22-S 工0)存hf o h在不能保证十(工。)存在;(3)分子分母自变量改变量的阶相同,即lim+)二心也中a,0是同阶无穷小.a0 ap-0(9)【答案】(A).【解解】令丨入E A|=0,得A的特征值为A J=4,A 2=A3=A4=0.显然B与A特征值相同,且A.B都是实对称矩阵,故A.B相似且合同,应选(A).方法点评:设A,於是两个实对称矩阵,则A与B相似的充分必要条件是丨XEA|=|XEB|,即两个矩阵的特征值相同;设是两个实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是A,B正、负特征值的个数相同.(10)

6、【答案】(A).【解解】方法一由X+Y=”,得丫=X+兀,于是D(X)=D(y),Cov(X,Y)=Cov(X,X+“)=D(X).Cov(X,Y)7d(x)7dTy)D(X)D(X)=1,应选(A).方法二 因为 PY=-X+=1 且一1 VO,所以 PxY=-l,应选(A).方法点评:设X,丫为两个随机变量,若pXY=l,称随机变量X,Y正相关,其充分必要条件 为 P Y=aX 4-6=l(a 0);设X,Y为两个随机变量,若pXY=一 1,称随机变量X,Y负相关,其充分必要条件为 P Y aX+b=l(a V 0).三、解答题(11)解解】方法一 令er=t,则f arctan eJe2

7、jarctan t、drarctan td(t2)1arctan2八1arctan2d1arctan2arctan t+2 丨?z 八2 J?(l+z2)dtarctan eT-arctan ex+C.2e2方法二f arctan erdjre 2,re2jarctan e+12e2x-arctan e d(e2j).p r d 7*2 J i+宀2d(e)arctan eJdCe)arctan eJ丄(7 1*1)2e2x2“1 0(1+0)2e2x+2Je2x1+e2x/i(13)解解】由(arctan 工)=-=工(一 1)工1+力 n=0故g12?112arctan 1 1 r-;-a

8、rctan e+C.2 尹 2eJ 2(12)【解解】具而卩(工)=于(工 JQ 9工)+/!(工 JQ 口)_f(工 9无)+(j?9 无)9 卩(1)=/(1,/*(1,1)=/(1,1)=1,3f_3xb(_z)=3爭2(工)爭(工),(1,1)=3 9(i,i)由/;(!,!)2,/,2(bl)=S得z(i)=/;(i,/(ia)+/;(i,/(ia):/;(ia)+/;(ia)i=/;(ia)+兀(1,1)”(1,1)+兀(1,1)=2+3(2+3)=17,故具爭3(H)dj-=51.1(-1 ooE严m,于是fCx)=工(T)2”=。2兀+严 1+VE2 2“+1(-1),p(1)

9、2+2+乙9 丄严”=0 2+1立2”*V召召 2“1(f=1+2 2-x 2(W1),”=i 1 4/?(-1),_)1 r r/i -1 1 _ 兀 1故 r=7C/(1)-1=T-T(14)【解解】设截口平面为X,按右手准则2取上侧Q的方向向量为K=1,1,1,cos B=V3丄73由斯托克斯公式得方向余弦为cos a1cos 7 V31a dx2 y z2x y+6)dS=2z2了dS=dS V3-=24.D寸(4w+2?+3n)dS2方法点评:三维空间对坐标的曲线积分常用两个计算方法:方法一定积分法lx=卩(才),设L:夕=(),(起点t=a,终点t=0)9则 In=co(方)Pdj

10、:+Qdj/+Kdz=P 串(t)90()9S()卩(t)+Q(),0()2(r)W()+R 卩(Y),(r)93(r)a/()d/方法二 斯托克斯公式Fdjr+Qdy+Kdz=cos a aSxPCOS P dQcos y3dzRdS.(15)证明】(I)由微分中值定理得/()-f(0)=/O+0(U_z,即 _/(工)=_/(o)+/e(工)z工,其中 9(x)c(o,i).不妨设_/(工)=/(0)+/01(工)工工,/(z)=y(o)+y&2(H)vz,两式相减得/血(工)工工=_/&2(攵)幻2,注意到攵工o,则有/&1(工)2=/02(工)攵.因为yQ)连续且厂(工)ho,所以厂(

11、工)o或/(工)vo,即十(工)单调增加或单调 减少,于是齿(工)=九(工),即存在唯一的0(久)6(0,1),使得/(J?)=/(0)+(X)J7.(II)由泰勒公式得/(x)=/(0)+/(0)+轿仝川,其中E介于0与工之间,于是八0)+/(0)宀 2!/(0)+/0工或由严(工)连续及/(工)H0,两边取极限得严(O)lim0Q)=常,故limOQ)=.丁一*丁一*o Z!才 才-*o 2(16)【解解】/时刻雪堆的体积为P1)fT 7T P(,TTh 3(t)V(t)=j dz Jj djr dy J A2(Z)h(t)zdz=-2 2人(-(CzJ+w-13 兀/z 2(/)12由题

12、意得晋=-O.9S&),整理得/A/)=不不,解得力(/)=-t+C,由 A(O)=13O得C=13O,于是A(z)=-r+13O,令h(t)=0得/=100(小时),即高度为130厘米的雪堆经过100小时可以全部融化.方法点评:本题考查微分的实际应用.重点要理解元素法的思想,元素法的具体步骤为:(1)先假设有关的自变量和函数(有时需要建立适当的坐标系);(2)取自变量的区间元素,根据问题的实际含义求出所求量的元素;(3)将所求量的元素在自变量区间上定积分.【例】设水桶含10 L液体,浓度为15 g/L,现往桶中以2 L/min的速度注清水,同时将桶 内液体搅拌均匀后以2 L/min的速度排出

13、,问经过几分钟液体浓度降低一半?【解】设第t分钟时溶质为m(t),取/,/+山,则dm=0 巴?X 2ck.fdm 1 门.-1=0 9 厶于是有曲 5 解得m(t)=150e 5.m(0)=150,令 m(z)=*X 150,解得 t 51n 2(分钟).(17)【解解】因为a,a2,-.a5为AX=0的基础解系,所以-.a,线性无关.由齐次线性方程组解的结构性质得02,0、仍为方程组AX=()的解,则攸,比,攸为方程组AX=O的基础解系的充分必要条件是負2,卩$线性无关,h00.(2 t 2G0.0而(01,02,.、)=(a 1,-,a、)0t 2tl 0000.0 0(200则莎.“2

14、,,伏线性无关的充分必要条件是(-20=冇+(1)卄匕工0,12100当t+(-1)7 H 0时,即当S为偶数时心01.“2,,“、为方程组AX=O的基础解系.00H士 t2;当1为奇数时5工一上2,向量组1(18)【解解】(I)由 AP=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-2A2x)=P 1 o0 0 0 3=PB,1 2因为A B,所以A的特征值为;h=3,入2=0,A3=1,于是A+E的特征值为i=-2,“2=1,“3=2,故|=4./0O 得A=PBP _1,其中B=103o1_ 2丿A00(U)由丨 XE-B|=-1A3=(入+3)A(A 1)=0,0-1A+2得B的特

15、征值为心=3,入2=0 9入3=1.方法点评:求矩阵的特征值通常有如下三个方法:(1)定义法,即令AX=AX(X H 0),通过矩阵满足的方程求出矩阵的特征值.【例】设A为方阵,且A2=2A,求A的特征值.【解】令AX=AX,由A?=2A得(入$2入)X=0,因为XHO,所以入=0或入=2.(2)公式法,即通过特征方程|入E A|=0求出特征值.(3)关联矩阵法,即若AB,则|AE-A|=|AE-B|,从而特征值相同.(19)【解解】(I)X 的分布律为 PX=k=-e(k=0,1,2,).k!PY=m|X=n=C:prn(l pYm(Q=0,1,2,-).(II)PX=n=m=P X=n P Y=m X=n=C;:/(1 eA(0 m 7?=0,1,2,-).n!(20)【解解】令Y,=X,+X+,(1 z ),因为X,X2,-,X2相互独立且服从正态分布,所以 V,N(2,2t2)(1 i ).不妨设V,,丫2,丫”为来自总体N(2,2川)的简单随机样本,=-,=2X,n,=in n于是统计量 丫=工(X,+X”+,2乂)2=工(X 0)2,1=1 1=1-y)2/S(y,-y)2由-X2(/7-1),得 E-=1,故 E(Y)=2(1)汽

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