2001数学一解析.pdf

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1、2001年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】yf 2j/+23/=0.【解解】由通解形式得二阶常系数齐次线性微分方程的特征值为AU2=l+i,特征方程为（入一1 i）（A l+i）=C）9即入？一 2入+2=0.故微分方程为yf 2yf+2歹=0.2（2）【答案】三【解解】zrdiv(grad 厂)2 2 无 yr-r-2 Z 7 22rrIfG，丿)dy1X1y12/(:,yAx*020*-1如图所示，将。=（工，夕）|1一夕工2,1三了 示成X型区域为D=（_z,y）|lW_z2,l攵夕冬0,1yf（j-,y）dx改变积分次序为【解解】i故f(jc 9)dz 9f(9 y)dr22

2、djr于(工,y)dy.1-X(4)【答案】y(A+2E).【解解】由 A2+A-4E=O,得(A E)(A+2E)=2E.-H-2*1 2 r r于是 div(grad r)|(i,-2,2)（3）【答案】于是(A-E)-y(A+2E)=E，由逆矩阵的定义得(A-E)_1=y(A+2E).（5）【答案】y.【解解】由切比雪夫不等式得P|X-E（X）|2二、选择题（6）【答案】（D）.【解解】当工0时，由/&）单调增加，得fx）$0,则（A）,（C）不对；在z=0的右邻域内，由/（乂）单调增加，得于（工）O,!iIlJ（B）不对，应选（D）.（7）【答案】（C）.【解解】因为函数可偏导不一定可

3、微，所以（A）不对;曲线在（0,0,/（0,0）处的切向量为011-Z1 090 09(0,0)Z f*八在(0,0,f(0,0)处的切向量为1,0,3,应选(C).)=0(8)【答案】(B).【解解】因为当力0时,1-cos A-*0+,IU./(I cos h)/(I cos h)/(0)1 cos h于是曲线cosh21 昇（0）,h2J y1h-0即忸書也存在只能使右导数存在，故（A）不对;-/(A sin h)/(A sin h)/(0)lim-e-=lim-:-Ao h a-o h sin hh 一 sin hh2e、h 一 sin h 小 匕 Lir f（h sin h）亠才 宀

4、/士f（A sin h）/（0）士 因为lim-=0,所以lim -；-存在不_定使lim -r-2 存a-o h A-o h h sin h在，即）在=0处不一定可导，（c）不对；取/（r）=F X 显然 厶八）=1,因为 lim/Xj?）=0 H _/（0）,所以/（工）,12,x=0,I h 在工=0处不连续，故在z=0处不可导,（D）不对，应选（E）.方法点评：导数定义为lim 竽=厂（攵（），等价定义为lim -了口=f（工Q,心0 乂 X X 0考查导数定义时一定要准确理解导数定义的本质，注意如下三个方面：（1）导数定义中工f 0要同时保证Ax f 0和f 0一；口/（jc0 ah

5、）/（J7O+6A）（2）定义中函数增量后一项必须为/（乂。），即lim -厂22-S 工0）存hf o h在不能保证十（工。）存在；（3）分子分母自变量改变量的阶相同，即lim+）二心也中a,0是同阶无穷小.a0 ap-0（9）【答案】（A）.【解解】令丨入E A|=0,得A的特征值为A J=4,A 2=A3=A4=0.显然B与A特征值相同，且A.B都是实对称矩阵，故A.B相似且合同，应选（A）.方法点评：设A,於是两个实对称矩阵，则A与B相似的充分必要条件是丨XEA|=|XEB|,即两个矩阵的特征值相同；设是两个实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是A,B正、负特征值的个数相同.（10）

6、【答案】（A）.【解解】方法一由X+Y=”，得丫=X+兀，于是D(X)=D(y),Cov(X,Y)=Cov(X,X+“)=D(X).Cov(X,Y)7d(x)7dTy)D(X)D(X)=1，应选（A）.方法二 因为 PY=-X+=1 且一1 VO,所以 PxY=-l,应选（A）.方法点评：设X,丫为两个随机变量，若pXY=l,称随机变量X,Y正相关，其充分必要条件 为 P Y=aX 4-6=l（a 0）；设X,Y为两个随机变量，若pXY=一 1,称随机变量X,Y负相关，其充分必要条件为 P Y aX+b=l（a V 0）.三、解答题（11）解解】方法一 令er=t,则f arctan eJe2

7、jarctan t、drarctan td(t2)1arctan2八1arctan2d1arctan2arctan t+2 丨?z 八2 J?(l+z2)dtarctan eT-arctan ex+C.2e2方法二f arctan erdjre 2,re2jarctan e+12e2x-arctan e d(e2j).p r d 7*2 J i+宀2d(e)arctan eJdCe)arctan eJ丄(7 1*1)2e2x2“1 0(1+0)2e2x+2Je2x1+e2x/i(13)解解】由(arctan 工)=-=工(一 1)工1+力 n=0故g12?112arctan 1 1 r-；-a

8、rctan e+C.2 尹 2eJ 2(12)【解解】具而卩(工)=于(工 JQ 9工)+/!(工 JQ 口)_f(工 9无)+(j?9 无)9 卩(1)=/(1,/*(1,1)=/(1,1)=1,3f_3xb（_z）=3爭2（工）爭（工），(1,1)=3 9(i,i)由/；(!,!)2,/，2(bl)=S得z（i）=/；（i,/（ia）+/；（i,/（ia）：/；（ia）+/；（ia）i=/；（ia）+兀（1,1）”（1,1）+兀（1,1）=2+3（2+3）=17,故具爭3（H）dj-=51.1(-1 ooE严m,于是fCx）=工(T)2”=。2兀+严 1+VE2 2“+1(-1),p(1)

9、2+2+乙9 丄严”=0 2+1立2”*V召召 2“1(f=1+2 2-x 2(W1),”=i 1 4/?(-1),_)1 r r/i -1 1 _ 兀 1故 r=7C/(1)-1=T-T(14)【解解】设截口平面为X,按右手准则2取上侧Q的方向向量为K=1,1,1,cos B=V3丄73由斯托克斯公式得方向余弦为cos a1cos 7 V31a dx2 y z2x y+6)dS=2z2了dS=dS V3-=24.D寸(4w+2?+3n)dS2方法点评：三维空间对坐标的曲线积分常用两个计算方法:方法一定积分法lx=卩（才），设L：夕=（），（起点t=a,终点t=0）9则 In=co（方）Pdj

10、：+Qdj/+Kdz=P 串（t）90（）9S（）卩（t）+Q（），0（）2（r）W（）+R 卩（Y），（r）93（r）a/（）d/方法二 斯托克斯公式Fdjr+Qdy+Kdz=cos a aSxPCOS P dQcos y3dzRdS.（15）证明】（I）由微分中值定理得/（）-f（0）=/O+0（U_z,即 _/（工）=_/（o）+/e（工）z工，其中 9（x）c（o,i）.不妨设_/（工）=/（0）+/01（工）工工，/（z）=y（o）+y&2（H）vz，两式相减得/血（工）工工=_/&2（攵）幻2，注意到攵工o,则有/&1（工）2=/02（工）攵.因为yQ）连续且厂（工）ho,所以厂（

11、工）o或/（工）vo,即十（工）单调增加或单调 减少，于是齿（工）=九（工），即存在唯一的0（久）6（0,1）,使得/（J?）=/（0）+（X）J7.（II）由泰勒公式得/（x）=/（0）+/（0）+轿仝川，其中E介于0与工之间，于是八0)+/(0)宀 2!/(0)+/0工或由严(工)连续及/(工)H0,两边取极限得严(O)lim0Q)=常，故limOQ)=.丁一*丁一*o Z!才 才-*o 2(16)【解解】/时刻雪堆的体积为P1)fT 7T P(,TTh 3(t)V(t)=j dz Jj djr dy J A2(Z)h(t)zdz=-2 2人(-(CzJ+w-13 兀/z 2(/)12由题

12、意得晋=-O.9S&),整理得/A/)=不不，解得力(/)=-t+C，由 A(O)=13O得C=13O,于是A(z)=-r+13O,令h(t)=0得/=100(小时)，即高度为130厘米的雪堆经过100小时可以全部融化.方法点评：本题考查微分的实际应用.重点要理解元素法的思想，元素法的具体步骤为：(1)先假设有关的自变量和函数(有时需要建立适当的坐标系)；(2)取自变量的区间元素，根据问题的实际含义求出所求量的元素；(3)将所求量的元素在自变量区间上定积分.【例】设水桶含10 L液体，浓度为15 g/L,现往桶中以2 L/min的速度注清水，同时将桶 内液体搅拌均匀后以2 L/min的速度排出

13、，问经过几分钟液体浓度降低一半？【解】设第t分钟时溶质为m(t),取/,/+山,则dm=0 巴?X 2ck.fdm 1 门.-1=0 9 厶于是有曲 5 解得m(t)=150e 5.m(0)=150,令 m(z)=*X 150,解得 t 51n 2(分钟).(17)【解解】因为a,a2,-.a5为AX=0的基础解系，所以-.a,线性无关.由齐次线性方程组解的结构性质得02，0、仍为方程组AX=()的解，则攸，比，攸为方程组AX=O的基础解系的充分必要条件是負2,卩$线性无关,h00.(2 t 2G0.0而(01,02，.、)=(a 1，-,a、)0t 2tl 0000.0 0(200则莎.“2

14、,，伏线性无关的充分必要条件是(-20=冇+(1)卄匕工0,12100当t+(-1)7 H 0时，即当S为偶数时心01.“2,，“、为方程组AX=O的基础解系.00H士 t2；当1为奇数时5工一上2，向量组1(18)【解解】(I)由 AP=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-2A2x)=P 1 o0 0 0 3=PB,1 2因为A B,所以A的特征值为;h=3,入2=0,A3=1，于是A+E的特征值为i=-2,“2=1，“3=2,故|=4./0O 得A=PBP _1，其中B=103o1_ 2丿A00(U)由丨 XE-B|=-1A3=(入+3)A(A 1)=0,0-1A+2得B的特

15、征值为心=3，入2=0 9入3=1.方法点评：求矩阵的特征值通常有如下三个方法：(1)定义法，即令AX=AX(X H 0),通过矩阵满足的方程求出矩阵的特征值.【例】设A为方阵，且A2=2A,求A的特征值.【解】令AX=AX,由A?=2A得(入$2入)X=0,因为XHO,所以入=0或入=2.(2)公式法，即通过特征方程|入E A|=0求出特征值.(3)关联矩阵法，即若AB,则|AE-A|=|AE-B|，从而特征值相同.(19)【解解】(I)X 的分布律为 PX=k=-e(k=0,1,2,).k!PY=m|X=n=C：prn(l pYm(Q=0,1,2,-).(II)PX=n=m=P X=n P Y=m X=n=C；：/(1 eA(0 m 7?=0,1,2,-).n!(20)【解解】令Y,=X,+X+,(1 z ),因为X,X2,-,X2相互独立且服从正态分布，所以 V,N(2,2t2)(1 i ).不妨设V,，丫2,丫”为来自总体N(2,2川)的简单随机样本,=-,=2X,n,=in n于是统计量 丫=工(X,+X”+,2乂)2=工(X 0)2,1=1 1=1-y)2/S(y,-y)2由-X2(/7-1),得 E-=1,故 E(Y)=2(1)汽