2016数学一解析.pdf

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1、2016年数学（一）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（O.【解解】由 lim x工o+dx(1+j?)6-T=且(1+-=1且 才(1+无)+b1 9应选(C).djr1 壬“（1+工）(2)再由lim x工一*+a+b即a V 1且a【答案答案】（D）.1 cLz*o j?(l+工)1打：收敛得a VI,0 X(十工)+Hra(.,GT 收敛得 a+b 1,1 X(1十无)0【解解】F()=/(jr)djr=取C=O得f（jr）的一个原函数为F（z）=(jt 1)2 C x V 19jr(lnx 一 1)+C+1，x 1.4应选(D).j?(In j?一 1)+】9 工$1.(3

2、)【答案答案】（A）.【解解】设小=（1+小2 馅+川,兀=（1+工2）2十丿1+川，由线性微分方程解的结构得g 小=2/1+/为,+（工）夕=0的解，代入得-p（-T）2/1+JC 2=0,解得 P（.JC）=一-一2；再由线性微分方程解的结构，得严=（1+小2为“+p（_z）y=q&）的解，代入得4z(1+)-7 (1+2)2=q(=)，解得 q(jt)=3jt(1+JC 2),应选(A).1十工(4)【答案答案】(D).【解解】/(0)=0,lim/(J：)=0,lim/(jc)=lim 丄=0,x-o-()()+f8 n由/(0)=/(0-0)=/(0十0)=0得于(工)在工=0处连续

3、.由 lim 八?=lim-=1 得(0)=1；力 j-*0 无丄./(JT)/(0)nlim-=lim,+无 z-o+工由一V 乂 V 丄得:V 冷 V 19从而 lim =19于是 F+(0)=19Ti+l n?十 1 1 丄一0+1n n因为/I(0)=f(0)=1?所以/(壬)在z=0处可导9应选(D).【答案】（C）.【解解】由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P lAP=B.2 oE(X),E(X2)=y,D(X)对 P AP=B 两边取转置得PtAt（P_1）t=Bt,或（PT）tTaT（pT）t=b,即At与Bt相似,（A）正确；由P AP=B得P A1 P=B 1，即与 矿

4、|相似，（E）正确；由 P AP=B 及 P A P=B 得 P _1（A 十A i）P=於+B 1,即A+A与B+B 1相似，（D）正确，应选（C）.（6）【答案答案】（E）./I 2 2【解解】二次型的矩阵为A=2 1 22 2 1A-1-2-2 A-1-2-2由A|=-22=(A+1)2(A 一 5)=0 得A 1矩阵A的特征值为入1=5,入2 A 3=一1,二次型的规范形为f（Jr 1，工2，z3）=5祈一 y yl,从而/（厂，工2，工3）=2表示的曲面为5j；i yl 3/3=2,该曲面表示双叶双曲面，应选（E）.（7）【答案答案】（E）.【解解】由XN（，川）得士H n（0,1）

5、,（Jp=px+/则p随着C的增加而增加，应选(E).(8)【答案答案】(A).【解解 方法一 X B(2,y),丫,2 4 2E(X)=E(y)=y,D(X)=D(y)=g,E(XY)=1 X 1 X PX=1,Y=1Cov(X,Y)=E(Xy)-E(X)E(Y)=-9一Cv(X,Y)_=_lx2JD(X)7D(Y)9 4方法二PX=0=C(y)(i)2=1 9P X=1 =C2 y=4/01 21X44 1，同理丫4409 99应选(A).2 19/984424=,E(Y)=,D(Y)=T0 937PXY=Q=g，艮卩 XYPXY=1=FX=l,y292E(XY)=g,Cov(X,Y)=E

6、(XY)E(X)E(Y)2992PXYCov(x,y)VD(X)-VD(Y)二、填空题2 9 1-X 一=-9 4 2（9）【答案】【解解】limr f 0Zln(l+Zsin t)dt0i 21 COS Xlim工f 0t ln(1+/sin/)dt0limj-*0 x ln(1+j?sin x2工31 4X2)_ 1（10）答案】_/+（一1）4aa【解解】rot A=j+(y 1)R.N1.x y z(11)【答案】一djr+2d【解解】将x=Q,y=1代入得n(工l)z y2=x2f(x nq)两边关于jc求偏导得n+(z+1)n：=2jc f Jjc 一 z jc2 f(x 一 z

7、(1 一 zx)?将 e=09)=1=1 代入得/(O)=1;(w+1)n y2=x2f(jc nq)两边关于y求偏导得(工+1)n；2y=x2 _f(jc n 9?)(zy)+ffy(jc 之9丿)9 将乂=。9丿=1，n=1 代入得 n；(C)91)=2,故 c!n|(o,i)=一 山+2dy.(12)【答案】y.T【解解】方法一 arctan x=x-o(工3)9-=1 一 ax 2+o(jc 2)91+ax则 arctan x-勺1+axax 3+o(_z 3),f(0)再由 f(x)=/(0)+/Z(O)J7+X2+3!/(0)1 仙/曰飞厂亍，解侍方法二(工)=j 2_(1心2)2

8、,1+jc(1 十 ax)厂(OJ+o(x 3)得(1+2)26(2j?一 2a2j?3(1+a2)32 一 6j?2(6a 一 622 j?2)(1+ajr2)一 6aw(6qh 一 2tz2 j?3)(1+2)3(1+ajc2)4所以(0)=2+69 由一2+6q=1 得 a=.（13）【答案】A4+A3+2A2+3A+4.A-100A1 00 1 0【解解】0A10=A 0A 1+0 A-100A-132 入+14 2 入+1132A+1=入入(入 2 4-A+2)+3+4=A4+A3+2A2+3A+4.-1+()T+0 1L|2 A+13A+1|4入+1(14)【答案】(&2,108)

9、.【解解】pj W 0.025 -V“0.025 l=95,一 o得 P F 0.025Z H i X+M0.025 =0.95,由+M 0.025=10.8 得启0.025=10.8 F=1.3,从而 F -ZZ 0.025=&2,故的置信度为0.95的双侧置信区间为（8.2,10.8）.三三、解答题解答题（15）【解解】卜山旳卜山旳2(l+cos 91r2cos 9 drD i 2g f y=(cos4(9+3cos30+3cos?&)d03 J-i16 ff TJo(cos4 9+3cos30+3cos2)d=(4+3I3+32)=5托+.(16)【证明】(I)微分方程yr+2yf ky

10、=0的特征方程为A 2+2A+=0,解得入 i=1+k，A 2=1 f 4-00因为0 VbVl,所以A!0,A2 由|y(_z)cLz=Ci|e 1 dj?+C2 edz,得|y(_z)(lr 收敛.Jo Jo J 0 J o(d)方法 由入 1 V 0,入 2 V 0 得 lim yCx)lim(C+)=0,lim 3/(2)=lim(C入e，+C2A)=。9才|OO J7-|-OO+oo i+r+i于是J 丿(工)dr=万 j/(h)dz+2j/z(jc)djr J 9再由yx)dj?=j/(z)+00J 03/(工)dzI+=j/(0)=,10=j/(0)=,0o=y Cx)r+3得

11、y(攵)dj?=.j 0 k方法二将 y(0)=l,j/(0)=1 代入 y=Ce+C2eAzG+C2=1,A 1 Ci 十 A 2C2 1.解得Ci1心 _2+Jlb 入 1 入 2 2 ky(工)dz=)2k得(17)【解解】方法一 由=(2工+1用得f(x,y)=*eyj(2_z+l)d(e2j)+爭(y)=*，(2工+1)e2x 2 J e21 dr+甲(_y)=x e1y(f)Cy).由/(o，y)=y+1 得爭(夕)=y+i，于是/&，)=工+夕+1.f工，:y)一工宀+1,令p“)=答a,q(“)=m3y学=(2_z+,学=(2h+1)/vdy ox因为学=学，所以曲线积分与路径

12、无关，dy dx于是 I(t)=(2 工十 l)e2j djr+(1 ei)dy=t+尹.J 0 Jo由 I/(l)=l-e2t=0 得 t=2,因为r(o=e2z 0,所以当t=2时,I(i)取最小值，最小值为M2)=3.方法二 由夕)=(2工+1)e2jy 得/(工，夕)=x&Ty+卩($),OX由/(0,夕)=夕+1 得卩(夕)=丿+1,从而/()=x e2jy+y+1 于是 I(t)=d/(a-,y)=/(1,Z)-/(0,0)=誉一+t.由 I Ct)=1 e2l=0 得 t=2,当t 2时，厂(/)2时，厂(r)0,则r=2时J(r)取最小值，且最小值为/=3.n（18）解解】由高

13、斯公式得/=（J?2+l）dydz 2ydzdx+3ncLz d2（2乂+1）du 9而 J=|X|X2Z”_i|,卄1由递推关系得丨工卄1 工”丨W-丨工2 工1 I 因为级数工 X 2|收敛，所以工丨H”+i H”|收敛,”=1 力 n=1故级数工(工”+1 乂”)绝对收敛.n=l(11)级数 (工卄1 一工”)的部分和为n=1S”=(2工1)+(工 3一 攵2)+(工卄 1 一 久”)=工”+1 Xi，因为级数丫(工”+1 jr )收敛，即limS”存在，所以limz”存在.”=nf8”-*8令 limz”=a，s+i=f Cx)及函数)的连续性得 a=f(a).n f 00令9?(jr

14、)=x /(jr),即z=a为爭(工)的零点.因为爭(0)=/(0)=一 1,9?(2)=2-/(2)=1-/(2)-f(0)=l-2/，(V)0,其中 7 6(0,2),所以(p(x)在(0,2)内有零点.又因为卩(工)=1/(工)0,所以卩(2)只有唯一的一个零点，且位于(0,2)内，于是 0 a V 2 9 即 0 Vlimj?”f 8 2.(20)【解解】方法一当a工一2（A：B）=CA B）/1-1-1:222a11a11a一 a 一 1且aH 1时,I1-1-122 0a+233 a-4001-10/2100_ 1a+20-1a223-1-31 一 a3a1 0 01a+2a 一

15、40 1 00a+20 0 1-1 0a 一 401AX=B 有唯一解,X=A B=-13aa+2a 一 4a+2当 a=1 时，(A i B)0I1-1-1:22 卩0011 033-37卜0111-10000 o0000/由r(A)=r(A：B)=2 3得AX=B有无数个解,令 X=(X|,x2),l由 X=紅(一 1+1k i-得/0 1 1 1 1,X?=怡2 1+-1=QT 1丿 0/X=I k!1 2 _ 1 j1 为任意常数).紅 k2 因为r（A）Hr（A；B）,所以AX=B无解.I1-1-122 I1-1-122a=一 2 时，（A；B）4033-6-001-1000-330

16、/0000JB）=3,所以AX=B有唯一解,1-1-11-1-1方法二|A|=2 a 1=0a+23=(a+2)(a 一 1)-1 1 a（）0a 一 1当a工一 2且a H 1时，因为r（A）=r（AZ1-1-122 1001a+2由（A丨B）t4a+233a 一 4 亠0100a 401-10丿001_ 1a+201o13aa+2得a 4a+21 1 1当 a=1 时，（A；B）-033o000:22 0011-37卜0I11-1；00 0000/由r（A）=r（A丨B）=2V3得AX=B有无数个解,令 X=(X1,X2),由Xit卜1/11 110 1/1-1丿十紅1，X2=H 1 十-

17、1=紅1 0丿 110丿 k2丿得X=71一紅一1）（4，紅为任意常数）.k2 a=一 2 时，(A!B)Z1-1122卩-1-122-03；-3-6001-1o0-3 i30丿（）000因为r(A)r(A If),所以AX=B无解.A 12 入+30 0矩阵A的特征值为A!=1,入2=2,入3-1（21）【解解】（I）由丨AE-A|=0=A(A+1)(A+2)0得将右=0.1 代入(AE-A)X=0.由一E-A=-2 01-12 00-1 I11卜00J000/得入11对应的特征向量为了10将入2=2 代入(AE-A)X=0,由一2E-A-2-21I11丄0000-2001得000J入2=-

18、2对应的特征向量为S:0将入3=0代入QE A)X(),由一 A=，o-2I3001001001_ _3-1得入30对应000的特征向量为S32得I113 1/T0令P=I22,由 P AP=0_ 2o02 00o2-112000I1 13/-D0A=p0Th=1 2d0(-2)000丿o 02000I299 21-22-298=200 21 21002 200o/cn）由B2=BA得“100=B9SB2=BA=BA999-2 1-22-2笃笃即（pp203)=(a 9 a 2 93)olOO-2 1-2100229 000丿 丿(2-2)a i+(2100 _2)a2+0a 3故02=(1-

19、2)a 1+(1-2100)a2+0a 3，见=(2-298)a j+(2-299)a+0a3.2)djr1120丄（22）【解解】（I）区域D的面积为A=P（VT-J 03,0,（n）设（u,x）的联合分布函数为g（“），G（0,*）随机变量（X,Y）的联合密度为=(无9丿)G(Z 9)丄_丄D,D.pu w 0,X w*=P X Y,X w2归0丄当0 1时,F(z)=PZz=PU=O,XY,X z=32一 z3当1 z 2 时,F(z)=1,|(z-l)2;0,Z V 0,z2 z3,0Wzl,故 F(z)J Q o4+2(2-l)2-(z-l)2,1 z 2,u 乙1,z a 2.(23)【解解】(I)总体X的分布函数为F(_r)=J当 0 时,F(z)=0；当 xO 时，FQ)=1；当 V0 时，F(_z)=d:r=y,J()()(J0,V 0,3 即f（h）=話，o w夂v e,|i,工o.设T的分布函数为Ft（/）,则FT(t)=P T t P max X i,X 2,X 3 W/=PX t,X2 ,X3 C r=PX tPX2 tPX-,t0,t 9=P3X?=F3(r)=-?,9、1，t 0,0=e,t鼻e.随机变量T的概率密度为fTCt）=沪lo，Qt 9,其他.(II)E(tzT)=aE(T)由E（aT）=0得a=,即当a=时,aT为参数0的无偏估计.