2017数学一解析.pdf

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1、2017年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（A）.【解】/（0+0）=lim-=占，/（0）=/（0 0）=b,ax 厶 a因为于（工）在工=0处连续，所以八0+0）=/（0）=/（0-0）,从而ab=，应选（A）.（2）【答案】（C）.【解】方法一 若fCx）0,则fJ）0,从而/（I）/（-1）0；若 f（jt）0,则/（;）0,从而/（1）/（-1）|/（-1）|，应选（C）.方法二 由于（工）于（工）=y/2（）0得/钦工）单调递增，从而 f 2（l）/2（-1）,故|于（1）|/（-1）|，应选（C）.（3）【答案】（D）.T 2 3f【解】=2xy,=r,牙-=2z,dx

2、 dy dzZ|=4,iZI=i,ZI=o,dx 丨（1,2,0）3y I（1,2,0）dz I（1,2,0）1 c 2 2cos a=?cos/?=9 cos y=?所求的方向导数为学|=4x 十ixf=2,应选（D）.dn I（1,2,0）3 3（4）【答案】（C）.【解】从=0到t=t0的时间段上，甲、乙走过的距离分别为S=Ui（t）dt9 S2=5（）山9J o J o在 t=tQ 时 9S=S2+1C9 即Vi（t）dt=I s（t）ck+10,J 0 Jo或 f i（?）=10,故 t0=25,应选（C）.J 0（5）【答案】（A）.【解】方法一 令A=aa 1,A2=A,令 AX

3、=AX，由（A?-A）X=（A2-A）X=0 得 A2-A=0,A=0 或 A=1,因为trA=a*a=1+A得A的特征值为入=入”=0,入”=1,E aa 1 的特征值为 A=入”_i=1,A=0,从而|E aa|=0,即E-aaT不可逆，应选（A）.方法二 令 A=E/,人2=(aa 1)(E aa r)=E 2aa+aa 1=A,由 A(E 一 A)=O 得 r(A)+r(E 一 A)n,再由厂(A)+r(E A)rA+(E A)=r(E)=n 得r(A)+r(E A)=n,而 E A=aa1,r(E A)=r(aa 1)=r(a)=1,于是r(A)=-1 0-1得r(2E-A)=1,则

4、A可相似对角化，从而AC；o01 10 _ 1由 2E-B=0 0 0得r(2E-B)=2,则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似,0 0应选(E).方法点评：设为n 阶矩阵，且丨AE A|=l AE-B|,即的特征值相同，则(1)若矩阵A,B都可相似对角化，则AB；(2)若矩阵中一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则A与於不相似.(7)【答案】(A).【解】由 P(A|B)P(A|B)得P(AB)P(B)PCA)-P(AB)P(B)1-P(B)，即F(A|B)P(A|B)等价于 P(AB)P(A)F(B)；由 P(B|A)P(B|A)得P(AB)P(A)F(B)-P(AB)1-P(A)，

5、即P(B|A)F(B|A)等价于 P(AB)P(A)P(B),应选(A).(8)【答案】(E).【解】若总体XNO，/),则 汀xy 乂屮(“i),因为总体XN(，l),所以工(X,“)2*2(兀)，工(X,_ 乂严*2(_i=1=1再由乂N&,丄)得寻上=庙(乂一)N(0,l),从而n(X-M)z/(I),4n不正确的是(B),应选(E).二、填空题(9)【答案】0.【解】方法一 f O=XZ+z J7+工*+O(工*),f（0）由/严=0得/（0）=0.方法二 根据求导改变奇偶性的性质，因为_/（工）为偶函数，所以/（工）为奇函数,故/（0）=0.（10）L答案】e（C!cos 麗工+C2

6、sin42x）（C,C2 为任意常数）.【解】特征方程为入2+2入+3=0,特征值为心,2=1 土施i,通解为夕=e r（C!cos扼工+C2）（C!,C2为任意常数）.（ID 答案】一1.【解】，Q=X+y0 P 2xy(jr 2+y 2 _ 1)2因为曲线积分与路径无关，所以3-ox dy（12）【答案】I(1 十 HFa 2 I _2 7 9x+y 1DQ 2axy3x(j：2+y 2 l)z P,故 a=_1.解 方法一 SCz)=工(一l)Tm”T=_ 工(一1)工=_(占三 n=l n=l 丄十力(1+77方法二 令 SQ)=(1)T”hT,n=l oo 则 S(jc)djr=丫(

7、1)T nx z,_1 dj?=工(l)Tz Jo W=1 J 0 n=l1X _ X1+h 1+Jtr故 s(x)=T+1(i+)2(13)【答案】2.【解】(Aai,Aa2,AaQ=A,a?a：】)，因为 a!,a2,a,线性无关，所以(a i,a2,a3)可逆，从而 r(Aa i,Aa2,Aa3)=r(A),由:o 01|得r(A)=2,故向量组Aa!,Aa2,Aa 3的秩为2.o（14）【答案】2./jr 4-【解】X的密度为y（_z）=0.5卩Q）+0.25讥一y E(X)=+r+f+(工 4 亠订(工)山=0.5匸列&血+0.25匸吗(飞一)+2）卩（无）（1工=2(p(j：)dx

8、=2.方法点评:本题考查连续型随机变量的分布函数、密度函数及数字特征，需要注意以下几点:(1)若随机变量的分布函数为FQ),则其密度函数为(F(h),x 为F(h)的可导点，/(X)=(0,鼻为FQ)的不可导点.f+w(2)若/()为随机变量的密度函数，则/(x)d=1.J ooP4-OO(3)标准正态分布的密度函数爭(工)为奇函数，即|攵*卩(工)山=0(怡为正奇数).三、解答题(15)【解】字=e J/i sin x f；，dx I x 0d纽=djr 2 则彤W+e(e 丁1 一 sin x f2)cos x f sin x d sin x f2)?x=0(16)【解】lim 与ln(l

9、+)=lim 丄工ln(l+)=ln(1+jr)djr=rt ri f“fg n k=x n n Jo1 f 1,、2、1 21 z n,J1 1 f 1 E 1)+1=ln(l+r)d(jc)=x ln(1 x-.-drZ J o 2 Io z J o 1+z1,n 1 f 1/.,1,1 c 1,1 1 12 2 Jo+x 2 4 2 2 4方法点评：本题考查定积分的定义求极限.n 项和求极限一般分为两种类型：(1)分子次数齐、分母次数齐，且分母的次数高于分子一次，采用定积分定义求极限，即lim)djr.”8 n J Jo(2)若分子次数或分母次数不齐，一般使用迫敛定理.(17)解】jc

10、3+j/3 3_r+3y 2=0 两边对工求导得 3于+3y 2 y/3+3,y z=0,令3/=0得=1,j?2=1，对应的函数值为夕1=0，夕2=1；3jt 2+3+3y=0 两边再对工求导得 6工+6yy，2+Zy 2y+Zy=0,由夕(一 1)=2 0得=1为极小值点，极小值为y=0；由y”(1)=一 1V0得x=1为极大值点，极大值为y=1.(18)【证明】(I)根据极限保号性，因为lim 力 V0,所以存在&0,lo+f(工)当工e(o,&)时，v o,即当工e(o,&)时/(jr)o,工于是存在c 6(0,5),使得/(c)0,因为/(c)/(1)o,所以存在工。e(c,i)u(

11、0,1),使得/(工。)=0.(II)令 F(JC)=/(JC)/z(J7),则 F(工)=/(jc)+f，2(a:),由/(0)=/(c)=0,得存在工 6(0,c),使得/(&)=0,因/(O)=/(c)=0,所以 F(0)=F(i)=F(c),由罗尔定理，存在1 e(0,“)，存在？/2 6(&,c),使F(如)=0,尸(处)=0,即方程)+/，2(jt)=0在(0,1)内至少有两个不同的实根.(19)【解】(I)由J+$，得工2+亍=2工,/_ ix2|2 _ 故C在z Oy平面上的投影曲线为L：|(II)M=9 a/jt 2 y 2 z 2 dS 9由 z x=,工-,n；=夕 一得

12、 dS=丿1+n?+Ajc dy=a/2 djr dy,2+J2 Jx 2+y 2则 M=jj9 Jx 1 y 2 z 2 dS=9a/2JJ Jx2 y 2 42 dr dys d2 cos 0r2dr0=18 X f 2 cos 30d0=18 X 7 f 2 cos 30d0=64.3 J-于 3 J o(20)【证明】(I)设A的特征值为入i,入2,入3，因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P,使得因为入1，入2,入3两两不同，所以r(A)$2,又因为a3=a,+2a 2,所以a i,a 2,a 3线性相关，从而r(A)+2a 2 a+a 2+a 3得AX=P

13、的通解为X=|2|+11 j(k为任意常数).(21)【解】A=1/21I-1|,X=4 1a 1久2/、(219工29工3)=乂 AX 9由3=0 91工31=0.-41=3(a 2)=0,得 a=2.由 IA|=21-4 a41A 2由|AE-A|=因为入3=0,所以|A1-11A 2 1-1 A+14 1A(A+3)(入-6)=0,得入 i 一3,入 2=69入 3=0/5 1 _ 4/I 0 _ 1 由一3E-A 1 2 1-*0 1 1 得4 1 5/o 0 0/4-1 4/I 0 1由 6E-A=-1 7-1 0 1 0 得 4 1 4/0 0，心=6对应的线性无关的特征向量为a

14、2=由。Io0 1 2得入3=0对应的线性无关的特征向量为030 0 1故正交矩阵为11t X=QY,。/(!,X 2,久3)=X AX=一 31+6y 2.fi 2(22)【解】(I)E(Y)=夕 2yd_y=,32PYE(Y)卜冷夕(n)方法一 Fz(z)=PZ z=PX-Y z,当 z 3 时,Fz(z)=1;当 o z i 时,Fz(z)=Fx=o,yz-px=o,yz 1卜 J=PX=QPYz=-2ydy=-i/Jo Z当 1 z 2 时，Fz(n)=PX=0,YWz=PX=0PY1=；、u当 2z3 时，Fz(n)=PX=0,YWz+PX=2,ZWz 2=Fx=oFyi+Px-2P

15、yz-22ydy=*+*(z-2)2,0,z V 0,d,0 W z 1,即 Fz(z)1 1，I(z 2),2Wz3,1,z N 3,概率密度为/z（z）=*2,0,0 z 1,2 z 3,其他.方法二 由全概率公式得Fz(z)=PZ z=PX+YWz=PX=0PX+Y=n I X=0+PX=2PX+yz=PYz+PY z-2,当 z VO 时,Fz(z)=0；1 1 p 22当 0 z 1 时,Fz(z)=PY W J=石 2ydy=；Z Z J o Z当 1 z2 时，Fz(z)=*PY W 1=*;当 2gz 3 时,Fz(z)=*+卩丫 z 21 1I 1(z-2严T当 n$3 时

16、9Fz(z)=19z 9故/z(N)=F(N)=(n 2 9 kX=2+7.+200 z2 z 1,x _(23)【解】(I)由 X|N(p,/)得|N(O,1),Zi的分布函数为F（z）=PZ1 z,当 n VO 时9F（z）=0；当时,F（z）=P（冬匸上冬三二（三）（三）=2（三）一1,0,N0-(U)E(Z)=E(|X,|)=E(|X】一|)2(72(7a/27T*4-00top Ct)dto22c L-y.=-te dt+oo t2e _Yd02(7x/2t T由=丄乙=z，得a的矩估计量为i Z.72?n 7 2(in)似然函数为L=f5）.fzQ=：6（彳+）e 2ff（Nz0d=l，2，M），In L=72 In 2 一 z?In cf 一 n In a/2tt-+n：）92（j由 lnL=_ 7+占 3+“+=o 得&故。的最大似然估计量为6