2019数学一解析.pdf

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1、2019年数学(一)真题解析一、选择题(1)【答案】(C).【解】方法一.x 一 tan x.1 一 sec 2jc由忸二=!吧t得tan x-x 3 9 故工-tan x 为3阶无穷小9即k=3：应选(C).方法二由 tan x=jc+工3+。（工3）得 x 一 tan x x 3（乂*0）,0 O故b=3，应选(C).(2)【答案】(B).【解】由 lim 了-=lim|x|=0 得 f_(0)=0,工一 0 o_由 lim 巴-=lim In x=00 得 f；(0)不存在，L o+H 0 o+故広=0为/(jc)的不可导点；当工 V 0 时,f(x)0=/(0),当 0 工 V l,f

2、(x)v 0=y(0),故工=0为f(x)的极大值点，应选(B).(3)【答案】(D).【解】因为”单调增加有界，所以“”极限存在.n设hmu n=A,因为(况：+1 u)=况：+1 诟.心 n所以 lim 工(：+：)=lim(记+1 Uj)A2 u,应选(D).(4)【答案】(D).【解】因为曲线积分与路径无关，所以字=学=4,且)在上半平面内 dy dx y连续可偏导，所以可取PQ,y)=工一丄，应选(D).y(5)【答案】(C).【解】令AX=AX(XH0),由屮+A=2E 得(A?+A 2E)X=(F+入一2)X=0,从而有入$+入一2=0,即入=2或入=1,因为|A|=4,所以 A

3、!=1,A 2=A 3=一2,故二次型XVAX的规范形为碇一龙一工，应选(C).(6)【答案】(A).l a 11 a 12 Q13_ p 1a 12 a 13 d 1【解】A=|a 21 a 22 a 23,|，A=1 21a 22 a 23dAa 31 32S3/a 31 a 32 a 33dj因为任两个平面不平行，所以r(A)2,又因为三个平面没有公共的交点，所以r(A)r(A),再由 r(A)3 得 r(A)=2,r(A)=3,应选(A).(7)【答案】(C).【解】由减法公式得 P(AB)=P(A)-P(AB),P(BA)=P(B)P(AE),则 P(A)=P(B)的充分必要条件是

4、P(A)-F(AB)=P(B)-P(AB),即 P(AB)=P(BA),应选(C).(8)【答案】(A).【解】因为XN(，/),YN(2)且X,Y相互独立,X 一 y 所以 X Y N(0,22),或-N(0,l),屁即P X-Y 2+2)=ln(3e r),从而+2=3e J,故夕=一 2.方法二 令亍=u,则原方程化为半一“=2,Ax解得 u=(卜“djr+c)卜=(-2亍+C)eJ即夕2=(_2乂+C)e J=Ce-2,由 y(0)=1 得 C=3,故夕=y/3e d 2.（11）L答案】cos 4【解】S（z）=工 工”=o）！3?（12）【答案】y.(一1)2淙护（门=2:JJ d

5、jc dy=jj I y I dz dy,令 Dxy=(2,夕)I 工2+夕2 W 4，贝Ijj 4 j?2 4z 2 Ax dy=JJ|3/|djr dj/=jj y dx dy2%【解】a/4 jc 2 4z 2 djc dy=d0 I r2sin 0d 厂=4J o.2L2 sin Oddo（13）【答案】X=k【解】因为ct i 2线性无关9且S=a+2a 2,所以r（A）=2,于是方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量，由 a 3=:a 1+2a 2 得 a i 2a 2+a 3 0?-2|为AX=0的一个非零解，故AX=0的通解为X=引一2（k为任意常数）.2（14）【答案

6、】|【解】E（X）=2JC0 x 4 cLr=2 3FQ)=/(z)dz 9当工 VO 时,F(j?)=0；当 0 H 时，F(z)=J 0当心 2时，FQ）=1,即2 _*_T即x401 10 3F&)=20,X 2T1,攵 E(X)-1=”F(X)吕=1-P(X)*2=1-P=1卩J 02X 3C G.X=1-2 4 73=T-2 后03三、解答题(15)【解】(I)j/十工夕=6 2的通解为夕=(e 2 e 山 dr+C)e dz=(z 十 C)e 2,2 由 y(0)=0 得 C=0,故 y=_ze 2.工2 工2 工2(U)/=(1 z 2)e 2 q=(z 3)e 2=xx+73)

7、(：/3)e 2,令夕=0 得工=罷，工=0,无=3 9当工&(-oo,-V3)时，/0；当工 e(0,73)时7+5+e*=lim 1+2空+e n+1)Ttl2=0 2”y l&=十+2e1-e=1(1+21丿=*+丄，x n+1 a/1 x 2 W 云丿1 一 x 2(18)(I)【证明】因为当0 工冬1时二攵a/1 2 dr,即 a”+i V a”，故a”单调递减.J osin l t cos 2dz=0所以 卄1x=sin t2(sin 7 一 sin?+2Z)dzo2 sintdt on:sin d/F”一庄/”1刃+2Xa n-2=Fsin S cos ck=J 02(sin L

8、 sin)ckoA p-.2 sirT3df sin n zdz=In-2 o J 0n 一 1因为I”n-2 9 所以 I n-2于是a n2(n)【解】因为仏单调递减，所以sYl 1=丄-2(=2,3,).72十2n 一 1 n 1a”_2 IZZ+Z 7Z 十/nnn 一 1 J”,故 an 1n-1，从而有72厂 上-1,由夹逼定理得lim 丄=1.72 十 2 a n_x”(19)【解】设Q的形心坐标为(7 JJ),dydz由对称性得x=0 9且；y=务-jjj n dj?dy dz一 a，nIjj d:r dy dz=Q0|Jj dj?dy dz adj?dy=tv+(jz z)2

9、(l z)?jjj dj?dy dza(1 一 z)2 dz=善(之 一 1)3 o 31 7T o=Ty dr切2+(jz-)2(l-z)2.y 一 z=uydx dy-+(y z)2(l z)2IJJ y dr dydz a由2dzo(况+n)clz du2+2(l-z)2IJJ y djr dydz=tt q=|N djr du=TCZ(1 一 N)2 得j-2-u 2(l-z)2N(1 N)dN=；o 12dj?dy=7r+(y z)?W(1z)$故。的形心坐标为(o，+，+).n dj?dy dz=Qnc!n0N(1 zY dz=為，o 1Z7?+C+1=1 9(20)(I)【解】由

10、题意得 ba+ca 2+a 3=0，即v 2b+3c+b+2c+3=19(2=1，解得 a=3,6=2，c=2.2 HO,所以a2,a3.p线性无关,1 1 1 1 1 1（U）【证明】因为I a2,a3，P|=3 3 1 0 0-22 3 1 0 1-1故 a2,a3 设由a2,a 于是Q=.0为R3的一个基.3.0到a,a2,a3的过渡矩阵为Q,即（a2，a：3，0）（ai，a2，a3）.,a 2,a 3)=(x2,ct 3，0)Q，200010丄丄1 1 1:10-2-31-1 1 210 00 1 00 0 10-101j.丄1-21丄丄1，则1 1 11003311001I0001(

11、tt 2,0)010 0100101001101-11200丄2010丄丄220丄131001221-110得0丄 1Q=1_1 71 0-11 1 121 0 13233 j.210=tr B,即 x3、1(21)【解】(I)因为A B,所以trA再由|A I=I B I 得 一2(2工+4)=2夕，即 y=2工+4,0 05,121j_ 4=j/+1,或;y=2,解得工=3,夕=2.(2-2 1(2 10（n）a=2 3 2,B=0 1 00-2 0 0-2显然矩阵 A,B 的特征值为入1=-2 9入 2=一一 1 9入 31 0丄丄 11-21 由 2E+A 得A的属于特征值心=2的特征

12、向量为 2 00 10 0 00 0 0=/-I2 4-2/I 2-*(1 2 O由 E+A-*0 0 1A0 0 1o 0 o/o o d得A的属于特征值入2=1的特征向量为由 2E-A_21 得A的属于特征值入3=2的特征向量为-1-1-2 _2令Pi=2，则 PjAPia 2=a 310200100 0100202 14-1丄000100 00-1 00 2 0 0由 2E+B=0/4 1 F 0 0、/0 1 0 0 1 0 得B的属于特征值入i=2的特征向量为=0o 0 qo 0 oU3 1 1 0丄0 由 E+B=0 00 0 1得B的属于特征值入2=1的特征向量为0 0-10 0

13、 02=1 0/1由 2E-B=0 3 A001|得B的属于特征值入2=2的特征向量为03=()04/o0 V由 PjAPi=PBP2 得(P1P)TA(PPJ)=B,/-11、厂2 0令 p 2=0 3 0,则 pbp2=0 1 0100，0 0 2-1 1-1故 P=P1P71 2 1 20 0 4(1 一 e r,z 2 0,(22)【解】(I)因为XE(l),所以X的分布函数为FQ)=0,久 V 0.Fz(z)=PXY0=PY=-1PXYZ|y=-1+Fy=1PXYZ|Y=1=pP-X z+Cl-p)PX z=pPX z+(1)PXz=：l-PX)PX 口一 F(z)+(l p)F(z

14、),当 z VO 时,Fz(z)=pe 当 z 2 0 时,Fz(z)=p+(1)(1 亍)，0 e,z V 0,故/z(w)=KI-p)e z,z 0.(II)Cov(X,Z)=Cov(X,XY)=E(XY)E(X)E(XY)=E(X2)E(Y)E(X)2E(Y)=D(X)E(Y),因为 X E(l),所以 E(X)=1,D(X)=1,又因为 Y 1 1)，所以 E(Y)=(l)p+(1 p)=1 2p,p pX与Z不相关的充分必要条件是Cov(X,Z)=0,故当时X与Z不相关.(皿)设F(x,y)为(X,Z)的联合分布函数，F(l,l)=PXl,ZCl=PXCl,XyCl=py=-ipxi

15、,xyi|y=1+py=iPxi,xyi|y=1=yPX l,-Xl+yPXl=yP-lXl+yPXl=PX 1=F(1)=1 丄，Fx(l)=PX 1=1一一,efz(d=pxyi=py=-iPxvi|y=i+py=ipxyi|y=u=X w 1+*PX w 1=*PX 1+*PX w 1T-彩因为F（l,l）H Fx（l）Fz（l）,所以X与Z不相互独立.（23）【解】（I）由归一性得A e a丄（口/e 2a/27T2 dj?y_ f+oo 1 上A。”也 J=至解得A=（n）L（72）A7亡1?厂”eIn L(cr 2)=77 In A 一-ln o 2由-ln L(cr 2)=d(y/的最大似然估计值为即=丄（,一）？，n,=1故川的最大似然估计量为7=lj（X,）2.